第07讲章末检测二（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 07 讲 章末检测二 一、单选题 1、（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且 ， ，则下列不等关系一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号方向不变，则 ，A选项正确； 对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若 ， ，则 ，B选项错误； 对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变， ， ，C选项错误； 对于D选项，因为 ， ，所以无法判断 与 大小，D选项错误. 2、（2021·浙江高三期末）设一元二次不等式 的解集为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知方程 的根为 ， 由韦达定理得： ， ， 解得 ，所以 . 故选：B. 3、（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， ，且 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 故选：D． 4、（2023·山西·统考一模）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不 间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格 升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定， 则下列说法正确的是（ ） A．方案一更经济 B．方案二更经济 C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定 【答案】B 【分析】设第一次价格为 ，第二次价格为 ，进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可. 【详解】解：设第一次价格为 ，第二次价格为 ， 方案一：若每次购买数量 ，则两次购买的平均价格为 ， 方案二：若每次购买钱数为 ，则两次购买的平均价格为 ， 所以， ，即 ，当且仅当 时，“=” 号成立， 所以方案二更经济. 故选：B. 5、（2023·广东潮州·高三统考期末）正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】正实数 满足 ， 则 ， 当且仅当 ，即 且 时，等号成立，则 时， 取到最小值4， 要使不等式 恒成立，即 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 . 故选：C. 6、（山东省青岛市2020-2021学年高三模拟）“ ”的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，可得 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 因为 ，所以 ， 所以“ ” 的充要条件是 . 故选：D. x2 m3x3m0 x 3 7、（2021·山东威海市·高三期末）若关于 的不等式 的解集中恰有 个正整数，则 m 实数 的取值范围为（ ）2,1 3,4 5,6 6,7 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 x2 m3x3m0 3 因为不等式 的解集中恰有 个正整数， x3xm0 3 即不等式 的解集中恰有 个正整数， 3,m m3 所以 ，所以不等式的解集为 4,5,6 6m7 6a7 所以这三个正整数为 ，所以 ，即 8、（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力 争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研 部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y （单位：万元）与处理量x（单位：吨） 之间的函数关系可近似表示为 ，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ） A．120 B．200 C．240 D．400 【答案】D 【解析】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为 ， 当 时， ， 当 时， 取得最小值240， 当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 取得最小值200， 综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D 二、多选题 9、（2022年湖南邵阳市高三月考试卷）已知实数 ， ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为4 【答案】ABC 【解析】由题 ，所以有 ，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，当且仅当 即 时取等， 又因为 ，所以 ，即 无最小值，故D错误. 故选：ABC. 10、（2022年湖南湘阴县知源高级中学高三月考试卷）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（ ） A.B. 不等式 的解集是 C. D. 不等式 的解集为 【答案】ABD 【解析】关于 的不等式 的解集为 选项正确； 且－2和3是关于 的方程 的两根，由韦达定理得 ， 则 ，则 ，C选项错误； 不等式 即为 ，解得 选项正确； 不等式 即为 ，即 ，解得 或 选项正确. 故选： . 11、（2022·广东省梅江市梅州中学10月月考）已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】命题意图本题考查不等式的性质.∵ ，∴ ，∴ ，A错误； ，B错误； ，C正确， ，D正确． 故选：CD. 12、（2022年重庆市北山中学高三月考试卷）. 下列叙述不正确的是（ ） A. 的解是 B. “ ”是“ ”的充要条件 C. 已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件 D. 函数 的最小值是 【答案】AD 【解析】选项A： 的解是 或 ，故A不正确； 选项B：由 得 ， 恒成立则 或 ，解得 ，所以“ ”是“ ”的充要条件，故B正确； 选项C：由 得 ，解得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 C正确； 选项D：由均值不等式得 ，当且仅当 时等号 成立，此时 无实数解，所以 的最小值大于 ，故D不正确； 故选：AD 三、填空题 13、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）不等式 的解集为___________.【答案】 【解析】由不等式 ，可得 ， 结合分式不等式的解法，可得 ，即不等式 的解集为 . 故答案为： . 14、（2022·湖北·一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 的矩形空地，并计划在 该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 ，各试验区之间也空0.5 .则 每块试验区的面积的最大值为___________ . 【答案】6 【解析】设矩形空地的长为 m，则宽为 m， 依题意可得，试验区的总面积 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以每块试验区的面积的最大值为 . 故答案为：6 15、(2022·沭阳如东中学期初考试)已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是_______． 【答案】9 【解析】由ab－b＋1＝0可得，因为＞0且b＞0得b＞1，所以＋5，则≥2＝4，所以≥9，当且仅当4(b－ 1)，即时等号成立，故的最小值为9． 16、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知x＞0，y＞0，且 ，则 的取值范围是 ___________． 【答案】【解析】因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 设 ，则 ，即 ，即 ， 解得 或 （舍去）. 所以 的取值范围是 . 故答案为： . 四、解答题 17、（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值 （1） ； （2） . 【解析】 （1） ∵ （当且仅当 ，即x=1时取“=”） 即 的最小值为3； （3）令 ，则 可化为：当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 18、(2022·江苏连云港灌云县第一中学10月月考) 已知关于 的不等式 的解集为 或 . （1）求 、 的值； （2）当 ， 且满足 时，有 恒成立，求实数 范的围. 【解析】（1）因为不等式 的解集为 或 . 所以，关于 的方程 有两个实根分别为 ， ，且有 ， 所以得 ； （2）由（1）知 ，不等式 恒成立，则 ， ， 当且仅当 时，取等号， 所以： ，即 ，即 . 19、(2022·江苏镇江期中)(本小题满分10分)设函数(a，b∈R，a≠0)，关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的 解集为(－3，1)． (1)若k＝0，求实数a，b的值； (2)当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，试求a的取值范围． 【解析】(1)当k＝0，关于x的不等式f(x)＜0，即ax2＋bx－3＜0的解集为(－3，1)， 可得－3，1是方程ax2＋bx－3＝0(a＞0)的两根， 则－3＋1＝－，－3×1＝－， 解得a＝1，b＝2； (2)关于x的不等式f(x)＜k(k为常数)的解集为(－3，1)， 可得－3，1是方程ax2＋bx－3－k＝0(a＞0)的两根， 则－3＋1＝－，即有b＝2a， 当x∈[1，3]时，f(x)＜x－2恒成立，即ax2＋2ax－3＜x－2， 即有a(x2＋2x)＜x＋1，即a≤对1≤x≤3恒成立． 设g(x)＝＝＝， 由1≤x≤3，可得2≤x+1≤4， 又y＝x＋1－在[1，3]递增，可得x＝3时，y＝x＋1－取得最大值， 所以g(x)的最小值为， 所以a≤，即a的取值范围是(－，]． 20、 (本小题满分12分)某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的 深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米， 池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计． (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低， 并求出最低总造价． 【解析】 (1)设污水处理池的宽为 米，则长为 米． 总造价 （元）， 当且仅 ，即 时取等号． ∴当污水处理池的长为16．2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知 ∴ 设 ， 在 上是增函数，∴当 时(此时 )， 有最小值，即 有最小值， 即为 (元)． ∴当污水处理池的长为16米，宽为 米时总造价最低，总造价最低为38 882元． 21、（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 （1）若a=－2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 （2）若a>0解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 【解析】 (1) 时，不等式为 ，即 ， ， 不等式的解集为 或 . (2)当a>0时，不等式可化为 (x－1)<0 ，故 (x－1)<0 当01，不等式的解集为 . 当a＝1时，不等式的解集为∅. 当a>1时， <1，不等式的解集为 . 综上，当01时，解集 . 22、 (本小题满分13分) 已知函数 ，对任意的 ，恒有 ．(1)证明：当 时， ； (2)若对满足题设条件的任意 ，不等式 恒成立，求 的最小值． 【解析】 (1)证明 易知 ．由题设，对任意 ，即 恒成 立， ，从而 ． 于是 ，且 ， ∴ ． 故当 时，有 ． 即当 时， ． (2)解 由(1)易知， ． 当 时，有 ． 令 ，则 ． 而函数 的值域是 ． ∴当 时，M的取值集合为 ． 当 时，由(1)易知， ． 此时 或 , ， 从而 ． 综上所述， 的最小值为