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专题 24.14 圆章末十大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】.....................................................................................................1
【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】..............................................................................................................3
【题型3 垂径定理的实际应用】..............................................................................................................................4
【题型4 由点与圆的位置关系求求最值】..............................................................................................................6
【题型5 由圆的对称性求最短路线问题】..............................................................................................................7
【题型6 三角形的内切圆与内心】..........................................................................................................................9
【题型7 正多边形与圆】........................................................................................................................................10
【题型8 圆锥侧面积的相关计算】........................................................................................................................11
【题型9 动点的运动轨迹长度计算】....................................................................................................................12
【题型10 动态图形的扫过的面积的计算】...........................................................................................................14
【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】
【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
【例1】（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，
1
点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC= ∠BDC．
2
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若BC=6，AB=10，求⊙O的半径长．
【变式1-1】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦BC的中点，过点C的切线与OD的延长线相交于点E，连接BE．
(1)求证：BE是圆O的切线；
(2)当AB=10，AC=8时，求线段BE的长．
【变式1-2】（2023秋·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO
交⊙O于D，
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求
⊙O的半径．
【变式1-3】（2023秋·浙江·九年级期末）如图1，在⊙O中，点H是直径AB上的一点，过H点作弦
CD⊥AB，点E是BA´D的中点，过点E作BD的平行线交DC延长线于点F，连接BE，交CD于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：BD+EF=DF；BD
（3）如图2，连接DE，若 =k，则当k为何值时，线段DE=EF？
BG
【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】
【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【例2】（2023秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）如图，已知：过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，
且∠BAC=45°，(AB，AC都不经过O)过A作AC的垂线AF交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直
线BC，DA交于点F．
(1)证明：BE=BF；
(2)探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论．
【变式2-1】（2023秋·湖北·九年级期末）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接
DB，DC．
(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： ；
(2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【变式2-2】（2023秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，
AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F=30°，∠BAC=120°，BC=8．(1)求∠ADB的度数；
(2)求AC的长度；
(3)判定四边形AFBC的形状，并证明你的结论．
【变式2-3】（2023秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，
∠DAE是四边形ABCD的一个外角．
(1)若∠DAE=75°，则∠DAC= °；
(2)过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明；
(3)若AB=6、AE=2，求BD2-AD2的值．
【题型3 垂径定理的实际应用】
【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦
对的两条弧．
【例3】（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画
面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米．若从日前
太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是
；②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分．【变式3-1】（2023秋·浙江台州·九年级校考期中）我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交
车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭(图1)，图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，
PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m， FH=2.4m， 点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的
距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？
【变式3-2】（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，
大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟
分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，右边画出
了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（ ）
A．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为210米
B．桥拱正下方的桥面EF的实际长度约为500米
C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米D．桥面上BF段的实际长度约200米
【变式3-3】（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如
图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得
的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【题型4 由点与圆的位置关系求求最值】
【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；
当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
【例4】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点
A(0,2)，点B(0,2+t)，C(0,2-t)(t>0)，点P在以D(6,6)为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足
∠BPC=90°，则t的最小值是 ．
【变式4-1】（2023秋·山东德州·九年级统考期中）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），
点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ．【变式4-2】（2023秋·山东泰安·九年级校联考期末）如图，点P(3，4)，⊙P半径为2，
A(2.5，0)，B(5，0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最大值是（ ）
3 5 7 9
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式4-3】（2023秋·河南驻马店·九年级平舆县第二初级中学校考期末）如图，Rt△ABC中，
AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP的最小值为
．
【题型5 由圆的对称性求最短路线问题】
【例5】（2023秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，
A´C=C´D=D´B，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②
1
∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10． 上述结论中正确的个数是
2【变式5-1】（2023秋·安徽淮北·九年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，
∠CAB=30°，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．2√2 B．√2 C．1 D．2
【变式5-2】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，
OB⊥MN．若AB=4，OB=5，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值为 ．
【变式5-3】（2023秋·广东广州·九年级校考期末）（1）如图①，在△ABC中，∠A=120∘，
AB=AC=5．尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，并直接写出△ABC的外接圆半径R的长．
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
（3）如图③所示，AB，AC、B´C是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60∘，
B´C所对的圆心角为60∘，新区管委会想在B´C路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、
F，也就是，分别在B´C、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资
站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快
捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点
与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）【题型6 三角形的内切圆与内心】
【方法点拨】三角形的内切圆及有关概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心
叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心是三角形各内角平分线的交点，这点
到三角形的各边的距离都相等．
【例6】（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，
E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
12√7 10√7 9√7 8√7
A． B． C． D．
7 7 7 7
【变式6-1】（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的
是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10
【变式6-2】（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，
且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是 ．
【变式6-3】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，四边形ABCD是矩形，点P是 ABD的内切圆的
圆心，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，则四边形PECF和矩形ABCD的面△积之比等于（）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．无法确定
【题型7 正多边形与圆】
【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半
径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边
心距。
【例7】（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，
E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
2√3-1 √3+1 √13-1
A．3-√3 B． C． D．
2 2 2
【变式7-1】（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，已知⊙O的半径为4，则该圆内接正六边形
ABCDEF的边心距OG（ ）
3
A．3√2 B． C．2√3 D．3
2
【变式7-2】（2023秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与EF
BC、CD分别相交于点G、H，则 的值是（ ）
GH
√6
A． B．√2 C．√3 D．2
2
【变式7-3】（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，⊙O的半
径是1，则下列四个结论中正确的是 ．
π
①D´F的长为 ；②DF=√2OF；③ΔODE为等边三角形；④S =AE⋅DF．
2 正八边形ABCDEFGH
【题型8 圆锥侧面积的相关计算】
【方法点拨】解决此类问题掌握圆锥侧面积的计算公式是关键，并且能够灵活运用.
【例8】（2023秋·全国·九年级专题练习）小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20cm，高
为40√2cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）
(1)你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？
(2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？
【变式8-1】（2012春·湖南永州·九年级阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=2,BC=6,以
A为圆心，AD为半径的圆与BC 边相切于点M，于 AB 交于点E，将扇形A-DME剪下围成一个圆锥，
则圆锥的高为 .【变式8-2】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图是一张直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，点
D、E分别在边AB、AC上，AD＝2 cm，DB＝4 cm，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的
几何体的表面积为 cm2．
【变式8-3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在一张四边形ABCD的纸片中，AB∥DC，
AD=AB=BC=2√2，∠D=45°，以点A为圆心，2为半径的圆分别与AB、AD交于点E、F．
(1)求证：DC与⊙A相切；
(2)过点B作⊙A的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)若用剪下的扇形AEF围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个
圆锥的底面？
【题型9 动点的运动轨迹长度计算】
【例9】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∠DAB=135°，且AB=2，AD=4√2．以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为
弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动
到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．【变式9-1】（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知∠ABC=90°，AB=10，BC=5，
半径为2的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是 ．
【变式9-2】（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，有一块长为4cm、宽为3cm的矩形木板在桌
面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为A→A →A ，其中，第二次翻滚时被桌面
1 2
上一个小木块挡住，使木板边沿A C与桌面成30°角，则点A翻滚到点A 的位置经过的路径长为（ ）
2 2
A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm D．2.5πcm
【变式9-3】（2023·浙江温州·校考三模）图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动
垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢．图2，图3是该装置的侧面示意图，
AB与地面所成的锐角为60°，AB=110cm, BC=30√3cm,CD=30cm．第一次转轴BC绕点B把竖直放
置垃圾桶旋转，转轴转至BC ，使A，B，C 共线，在此转动过程中，转轴BC与转轴DE所成锐角为30°
1 1
保持不变．第二次转轴D E 绕点C 旋转至D E ，使D ,E ，B，A共线．当转轴外端点D到达最高处时，
1 1 1 2 2 2 2
点D 离地面的距离为 cm．垃圾桶从举起到倒掉垃圾的整个过程中，转轴外端点D所经过的路径
2
长为 cm．【题型10 动态图形的扫过的面积的计算】
【例10】（2023秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是⊙O上任意两点，且AD=6，以
AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ．
【变式10-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，半圆O的直径AB=4，弦CD=2√2，弦CD在半圆
上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线
段BM扫过的面积为___________．
【变式10-2】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(3,1)，C(1,3)；(1)将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△A B C ，画图并写出C 的坐标____________；
1 1 1 1
(2)以A 点为旋转中心，将△A B C 逆时针方向旋转90°得△A B C ，画图并写出C 的坐标_____；
1 1 1 1 1 2 2 2
(3)在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为___________．
【变式10-3】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②
到图③，∠O=60°，OA=1．
(1)求O点运动的路径长；
(2)求点走过路径与射线围成的面积．
