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第 52 讲 空间几何体的表面积与体积
知识梳理
1. 空间几何体
(1)多面体
①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由
这些面所围成的几何体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥．
如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥．底面与截面之间的部分，叫棱台．棱台的各侧棱延
长后交于一点．
(2)旋转体
①旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面．
②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体．
③圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．
④圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥．
⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围
成的几何体叫做圆台．(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥．底面与截面之间的部分，叫做圆台．)
圆台的母线延长后交于一点．
⑥球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．经过
球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离．
2. 柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积 体积
圆柱
圆锥
圆台
＝π(r＋r＋rr)h
1 2
直棱柱
面积 体积
正棱锥
正棱台
球
3. 几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 ．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 与底面面积
之和．1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.
已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面
的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上
升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
2、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
[ 81] [27 81] [27 64]
A． 18, B． , C． , D．[18,27]
4 4 4 4 3
3、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为（ ）
A．100π B．128π C．144π D．192π
4、【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：
m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三
点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C点测得B点的仰
角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差
约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
5、【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 ，
则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
6、【2021年新高考2卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）
A． B． C． D．
7、【2020年新课标1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与
底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
8、【2020年新课标1卷理科】已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的
面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1、已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. cm
2、 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积( )
A. 32 B. 48 C. 64 D.
3、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O ，O ，过直线OO 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正
1 2 1 2
方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
4、（深圳市高级中学集团期末试题）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
考向一 空间几何体的的表面积
例1、1．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm．
则三棱台的斜高为 ；三棱台的侧面积为 ；表面积为 ．
2．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．
3．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为________．
变式1、（1）（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若圆柱的底面直径和高
都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为 、 则有
（2）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底
面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______.
变式2、（1）（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
（2）（2023·广东·统考一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角
形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：几何体的表面积的求法
(1) 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何
的主要出发点．
(2) 求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、
台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．
考向二 空间几何体的体积
例2、如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到空间图形D-ABC，如图2所示．
(1) 求证：BC⊥平面ACD；
(2) 求空间图形D-ABC的体积．
图1 图2
变式 1、（1）（江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三阶段测试）如图正四棱柱
的体积为27，点E，F分别为棱 上的点（异于端点）且 ，则四棱锥
的体积为___________.
（2）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）已知长方体 的体积
为 ，则三棱锥 的体积为______.
方法总结：本题考查空间几何体的体积运算．应注意：(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几
何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不
规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．
考向三 与球有关的切、接问题
例3、已知直三棱柱ABC-ABC 的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA ＝12，
1 1 1 1
则球O的半径为( )
A. B. 2
C. D. 3
变式1、 (1) 如图，在圆柱OO 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱OO 的
1 2 1 2体积为V，球O的体积为V，则的值是________；
1 2
(2) 已知正三棱锥的高为1，底面边长为 2，内有一个球与四个面都相切，则该正三棱锥的内切球的半
径为________．
变式2、（2020·河南高三期末（文））张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率
的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 底面 ，
，且 ， ，利用张衡的结论可得球 的表面积为（ ）
A．30 B． C．33 D．
变式3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，
以 为折痕进行折叠，使折后的 ，则过 ， ， ， 四点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：解决与球相关的切、接问题的解题要领：(1)球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解
答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对
角面来作．(2)把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的
特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
1、（2023·广东广州·统考一模）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，
， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022年广东省高三大联考模拟试卷） 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建
筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸
露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为 ， 到平面
的距离为 ， 为 ，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
3、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则
圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为
，则此圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5、（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD的各边长为2， .将 沿AC折起，折起后记点B
为P，连接PD，得到三棱锥 ，如图所示，当三棱锥 的表面积最大时，三棱锥 的
外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
