文档内容
第 51 讲 直线与平面、平面与平面垂直
知识梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平
面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
一条直线与一个平面内的
定理 两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直
性质
垂直于同一个平面的两条
定理
直线平行
2. 直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂
直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角．
(2)范围：
3. 平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射
线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
一个平面过另一个平面的垂
定理
线，则这两个平面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
性质
两个平面垂直，则一个平
定理 面内垂直于交线的直线与
另一个平面垂直1、【2022年全国乙卷】在正方体ABCD−A B C D 中，E，F分别为AB,BC的中点，则（ ）
1 1 1 1
A．平面B EF⊥平面BDD B．平面B EF⊥平面A BD
1 1 1 1
C．平面B EF//平面A AC D．平面B EF//平面A C D
1 1 1 1 1
2、【2021年新高考2卷】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶
点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
3、【2021年新高考1卷】在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中
， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
4、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．(1)证明：BD⊥PA；
5、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中
点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
1、(2022·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是( )
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
2、已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A．m⊥l，m⊂β，l⊥α
B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．l⊥α，m∥l，m∥β
3、.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(
)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
4、如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，
M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN∥AB
B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45°
D．OC⊥平面VAC
5、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点
M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
考向一 线面垂直的判定与性质
例1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，
E是PC的中点．
求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．变式1、如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上
的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：
(1) PH⊥平面ABCD；
(2) EF⊥平面PAB.
变式2、如图，在直三棱柱ABC-AB C 中，已知AC⊥BC，BC＝CC .设AB 的中点为D，B C∩BC ＝E，
1 1 1 1 1 1 1
连接DE.求证：
(1) DE∥平面AA C C；
1 1
(2) BC ⊥AB .
1 1
方法总结；1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，
α∥β a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a⇒，l⊥a，l β l⊥α).
⇒ ⊂ ⇒2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与
性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
考向二 面面垂直的判定与性质
例2、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝ ，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，
DE⊥PA.
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PDE.
变式1、如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别
为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：
(1) CE∥平面PAD；
(2) 平面EFG⊥平面EMN.方法总结：(1)判定两个平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角是直二面角；②利用判定定理：a⊂α，
a⊥β⇒α⊥β.(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判
定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平面解析几何条件．
考向三 平行与垂直的探索性问题
例3 如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．
(1)证明：AE∥平面BDF；
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，
并加以证明；若不存在，请说明理由．
变式、如图，在三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1) 设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2) 若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定
点G的位置；若不存在，请说明理由．
方法总结：平行与垂直中探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据
条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识
建点．
1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命题中，假命题是（ ）
A．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β
B．若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β
C．若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β
D．若平面α∥平面β，任取直线l α，则必有l∥β
2、（2022·江苏如东·高三期末）（多选题）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（
）
A．若m//n，nα，则m//α B．若m⊥n，nα，则m⊥α
C．若m⊥α，n⊥α，则m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n
3、（2022·江苏常州·高三期末）（多选题）已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 上的
定点，且 ．点 是棱 上的动点，则（ ）
A．当 时， 是直角三角形
B．四棱锥 的体积最小值为
C．存在点 ，使得直线 平面
D．任意点 ，都有直线 平面4、（2022·山东莱西·高三期末）（多选题）设a，b是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，P
是一个点，则下列选项正确的为（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ， ， ，则
D．若 ， ，则
5、（2022·湖南娄底·高三期末）（多选题）在三棱锥 中，已知 ， ， ，
平面 平面ABC，且 ，则（ ）．
A．
B．平面 平面ABC
C．三棱锥 的体积为
D．三棱锥 的外接球的表面积为
