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21.3实际问题与一元二次方程
2.（1）2 人握手，每人和他人握手
次，共握手 次。
单循环和双循环问题
（2）3人握手，每人和他人握手 次，
1.（1）2人互赠礼物，每人要送 份礼物，共
共握手 次。
赠出 份礼物
（3）4人握手，每人和他人握手 次，
（2）3人互赠礼物，每人要送 份礼物，共赠 共握手 次。
出 份礼物
（4）x人握手，每人和他人握手 次，
共握手 次。
（3）4人互赠礼物，每人要送 份礼物，共赠
出 份礼物
（4）x人互赠礼物，每人要送 份礼物，共赠
出 份礼物
总结：
（1）互赠问题∶若每两人之间进行2次活动，则x人共进行了x（x-1）次活动；
1
（2）握手问题∶若每两人之间进行1次活动，则x人共进行了 x（x-1）次活动；
2
1
（3）x人握手总次数=x人互赠总次数×
2
题型1：单循环和双循环问题
1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的
有x人，可得方程（ ）
A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380
【变式1-1】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90
场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
1 1
A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
2 2C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【变式1-2】某旅游团旅游结束时，其中一名旅客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两个参
加旅游的人互握一次手，共握了66次，问这次旅游的旅客人数是多少？
传播问题（2轮）：解决传播问题的关键点需要找清楚两个量：
１）每一轮传播的传播源的数量a，
２）每一个传播源每轮传播的数量x。
数量关系：传播总量=a+x+（a+x）x
化简得：传播总量=a（1+x）2
题型2：传播问题
2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染
中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81
C．（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81
【变式2-1】有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流
感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过 人．
【变式2-2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感
染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控
制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？
平均变化率问题：
（1）连续增长两次问题：原量×（1+x）2=新量；
（2）连续下降两次问题：原量×（1-x）2=新量.
题型3：平均变化率问题
3.由于受H7N9禽流感的影响，今年1月份市场上鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤25元经过
连续两次降价后，售价下调到每斤l6元．设平均每次降价的百分率为a，则下列所列方程中正确的是
（ ）
A．16（1+a）2=25 B．25（1﹣2a）=16
C．25（1﹣a）2=16 D．25（1﹣a2）=16
【变式3-1】扬州一农场去年种植水稻10亩，总产量为6000kg，今年该农场扩大了种植面积，并且引
进新品种“超级水稻”，使总产量增加到18000kg，已知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的
2倍，求平均亩产量的增长率．
【变式3-2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫
情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到
36300个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
面积问题：
（1）矩形面积=1条长×1条宽；
（2）正确写出长和宽（用x表达）；
（3）全封闭∶某条边=周长÷2-另一边
（4）一边靠墙∶平行于墙的 BC=篱笆总长-2AB（AB垂直墙）；当靠墙用篱笆围矩形养鸡
场时，平行于墙的边要小于墙长，否则鸡逃跑了.
题型4：面积问题（1）
4.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅
矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．
【变式4-1】如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下
的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．
【变式4-2】如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，
使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米 ❑ 2 ，问小
路宽为多少米？
题型5：面积问题（2）
5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为
300m2．
【变式5-1】如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边
各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞
AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
【变式5-2】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一
道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇
小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
商品销售利润问题（难点）：
（1）关系式∶（售价-成本）×销售量=总利润；
（2）一般都是设涨价（或降价）x元，然后间接求定价或进货量.
注意：实际销售量一般需要用含x的式子表示：实际销售量=原销售量±变化量
题型6：商品销售利润问题
6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，
尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每
天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
【变式6-1】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市
场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证
每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【变式6-2】某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高
售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．
（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；
（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润．
数字问题：
根据题设：十位上的数记得×10，百位上的数记得×100，以此类推
题型7：数字问题
7.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数
小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )
A．a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B．a2+(a+4)2=10a+a-4-4
C．a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D．a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4
【变式7-1】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的
积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数.
【变式7-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数
字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.
一、单选题
1．已知长方形的面积为48 ，若它的长比宽多2cm，则它的宽为（ ）
A．8cm B．6cm C． 4cm D．2cm
2．商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方
程正确的是( )
A．289(1-x)2=256 B．256(1-x)2=289
C．289(1-2x)=256 D．256(1-2x)=289
3．若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ）
A．11 B．15 C．﹣15 D．±15
4．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形
铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
5．用一根长为24cm的铁丝围成一个矩形，如果矩形的面积是35 cm2，那么这个矩形的长与宽分别是
（ ）
A．7 cm，5 cm B．8 cm，4 cm C．9 cm，3 cm D．6 cm，6 cm
6．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分
率为（ ）
A．20% B．11% C．10% D．9.5%
7．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多
少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
1
A．x2=21 B． x（x﹣1）=21
2
1
C． x2=21 D． x（x﹣1）=21
2
二、填空题
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数为133，则每个支干长出 个小分支
9．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是
．
10．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为 ．
11．某镇2014年有绿地面积50公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2016年达到72公顷，则该镇
2014年至2016年绿地面积的年平均增长率是 ．
三、解答题
12．将一段铁丝围成面积为 的矩形，且它的长比宽多 ，求矩形的长．
13．某县2013年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2015年教育经费实际投入
7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．
（1）求该县这两年教育经费平均增长率；
（2）若该县这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2016年教育经费会达到8000万元吗？
14．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿
地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行
通道的宽度．
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某
农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获
后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品
种全部售出后总收入为21600元.
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两
个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价
20
将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加
9a%.求a的值.
