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专题 12 点、直线与圆的位置关系
【思维导图】
◎考点题型1 点和圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r P
点在圆外 点在圆的外部 d>r⇔点P在⊙O的外部.
O
点在圆上 r P 点在圆周上 d=r⇔点P在⊙O的圆周上.
O
点在圆内 r P 点在圆的内部 d<r⇔点P在⊙O的内部.
O
例．（2022·河北邯郸·九年级期末）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若 ，则点P与⊙O的位
置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
变式1．（2021·江苏淮安·九年级期中） 的半径为 ，点 到圆心 的距离 ，则点 与
的位置关系为（ ）
A．点 在 上 B．点 在 内 C．点 在 外 D．无法确定变式2．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，4为半径作圆，点P的坐
标是（5，5），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或在⊙O外
变式3．（2021·江苏常州·九年级期中）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a， B半
径为4．若点A在 B内部，则a的取值范围是（ ） ⊙
A．a＜2或a＞10⊙ B．2＜a＜10 C．a＞2 D．a＜10
◎考点题型2 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
A A A
B C
O B O C O
B C
图1 图2 图3
例．（2022·江苏·九年级）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．则△ABC的外心坐
标为（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，⊙O是等边 ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（
） △
A． B． C． D．
变式2．（2022·全国·九年级）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1
C．DB＝ AB D．点C是 ABD的外心
△
变式3．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）如图，△ABC和△DBC中，点D在△ABC内，AB
＝AC＝BC＝2，DB＝DC，且∠D＝90°，则△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
◎考点题型3 三点定圆的方法
1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
2） 经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作
出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在
的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为
半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
例．（2022·江苏镇江·九年级期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最
有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐
标系，使点A的坐标为(0，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A．(－1，2) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(2，1)
变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(
)
A．0 B．1 C．2 D．0或1
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四
个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◎考点题型4 直线与圆的位置关系
设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置
图形 定义 性质及判定
关系
r O
相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离
d l
直线与圆有唯一公共点，直线
r
相切 O 叫做圆的切线，公共点叫做切 直线 与 相切
d l
点
r 直线与圆有两个公共点，直线
相交 d O 直线 与 相交
l 叫做圆的割线
例．（2022·江苏·九年级专题练习）P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，下列
叙述正确的是（ ）
A．点P在⊙O外
B．点Q在⊙O外
C．直线l与⊙O一定相切
D．若OQ＝5，则直线l与⊙O相交
变式1（2021·上海金山·九年级期末）如图，已知 中， ， ， ，如果以点
为圆心的圆与斜边 有公共点，那么⊙ 的半径 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
变式2．（2022·广西钦州·九年级期末）若直线 与半径为 的⊙O相交，则圆心O到直线 的距离可能为
（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦
AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
◎考点题型5 切线的判定定理
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
例．（2019·山东·九年级单元测试）下列四个命题中正确的是( )
①与圆有公共点的直线是该圆的切线;
②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线;
③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;
④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
变式1．（2019·全国·九年级课时练习）如果L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是( )
A．AB经过圆心O B．AB是直径
C．AB是直径,B是切点 D．AB是直线,B是切点
变式2．（2021·全国·九年级课时练习）如图， 内接于 ，过A点作直线 ，当 （ ）
时，直线 与 相切．A． B． C． D．
变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，P是 的直径 的延长线上一点， ，则当
（ ）时，直线 是 的切线．
A． B． C． D．
◎考点题型6切线的性质定理
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
例．（2022·河北保定·九年级期末）如图， 是 的切线， 是切点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．都不对
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，
连接BC，PA.若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°变式2．（2021·福建南平·九年级阶段练习）如图，点 为 上一点，点 为 延长线上一点， 切
于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若 ，则
∠ACB的大小为（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型7 切线长定理
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，P为⊙ 外的一点，PA，PB分别切⊙ 于点A，B，CD切⊙
于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若 ，则 的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
变式1．（2022·浙江·金华市第九中学九年级阶段练习）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（
）A．90°﹣α B． α C．2α D．90°﹣ α
变式2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知 、 是 的两条切线， 、 为切点，连接
交 于 ，交 于 ，连接 、 ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2
C．2，6 D．1，6
变式3．（2022·山东德州·九年级期末）如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，
使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
◎考点题型8 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
例．（2021·全国·九年级课时练习）若 的外接圆半径为R，内切圆半径为 ，则其内切圆的面积与
的面积比为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC
都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在
圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 中， ， 是内心，则 等于（A．120° B．130° C．150° D．160°
变式3．（2019·湖北武汉·三模）在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，AC=3，BC=4，分别用r、r、r、
1 2
表示△ABC，△ACD，△BCD内切圆的半径，则( )
A．r+r+r= B．r+r+r=
1 2 1 2
C．r﹣r﹣r=﹣ D．r﹣r﹣r=﹣
1 2 1 2
◎考点题型9 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆
叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
例．（2022·广西梧州·九年级期末）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（
）
A．120° B．130° C．140° D．150°
变式1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则
∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若
AD=2，则AB的长为（ ）A． B．2 C．2 D．4
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（ ）
A． B．3 C． D．
◎考点题型10 圆和圆的位置关系
设 的半径分别为 （其中 ），两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
两个圆没有公共点，并且每
r R 两 圆 外
外离 个圆上的点都在另一个圆的
O1 O2
离
外部．
两个圆有唯一公共点，并且
r R 除了这个公共点之外，每个 两 圆 外
外切
O1 O2
圆上的点都在另一个圆的外 切
部．
相交 两个圆有两个公共点．
O1
R
O2
两圆相交
两个圆有唯一公共点，并且
内切
r O 1O
2
除了这个公共点之外，一个 两 圆 内
R 圆上的点都在另一个圆的内 切
部．
两个圆没有公共点，并且一
R 个圆上的点都在另一个圆的 两
内含
r O1 O2 内部，两圆同心是两圆内含 圆内含
的一种特例．
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外
离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【圆和圆的位置关系小结】例．（2021·全国·九年级单元测试）已知⊙O 和⊙O 的半径分别为3和4cm， 且OO=8cm，则⊙O 与
1 2 1 2 1
⊙O 的位置关系是（ ）
2
A．外离 B．相交 C．相切 D．内含
变式1．（2022·上海·一模）已知点 ， ，如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与
⊙B的位置关系（ ）
A．内切 B．外切 C．内含 D．外离
变式2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与
圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
变式3．（2021·上海·九年级专题练习）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，
BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
