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专题 11 圆的相关概念和性质
【思维导图】
◎考点题型1 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
1 圆心；
2 半径，
3 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
例．（2022·青海海东·九年级期末）下列说法中错误的是（ ）
A．直径是弦 B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．两个半圆是等弧【答案】D
【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．
【详解】解：A. 直径是弦，故A正确；
B. 经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；
C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；
D. 两个半圆不一定是等弧，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1．（2021·全国·九年级课时练习） 、 是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴ ．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
变式2．（2021·四川凉山·中考真题）点P是 内一点，过点P的最长弦的长为 ，最短弦的长为
，则OP的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；
根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm．
根据勾股定理，得OP= =4cm．故选B．
【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
变式3．（2020·陕西·咸阳市秦都区教育局七年级阶段练习）一个圆柱的侧面展开图是长方形，这个长方形
的一组邻边长分别是6和8，则这个圆柱的底面半径是（ ）
A．3 B． C． D． 或
【答案】D
【分析】圆柱体的侧面展开图为长方形，其中一条边长为底面圆周长，另一条边为圆柱体的高，分类讨论，
（1）当6为底面圆周长时，（2）当8为底面圆周长时，分别计算出底面半径即可．
【详解】（1）当6为底面圆周长时，6= ，r= ；
（2）当6为底面圆周长时，8= ，r= ．
所以r= 或 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆柱体的侧面展开图以及圆的周长公式，由于底面圆周长的不确定，本题关键在于
分类讨论．
◎考点题型2 弦、弧、弦心距
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作 ，读作弧AB．在同圆或
等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
例．（2022·河北唐山·九年级期末）如图所示，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝34°，则∠A
的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【分析】先利用圆心角与所对弧的关系求出圆心角∠BOE度数，再用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵
∴∠DOC=∠DOE=∠BOC=34°，
∴∠BOE=∠DOC+∠DOE+∠BOC =102°，
∴∠A= ∠BOE=51°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角与所对弧的关系，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
变式1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径
AB⊥CD，连接AC、OD，∠A=26°，则∠D的度数是（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
【答案】B
【分析】根据垂径定理得出 ，根据弧与圆心角关系得出∠COB=∠BOD，利用圆周角定理得出
∠COB=2∠A=52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．
【详解】解：连接OC，∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴ ，
∴∠COB=∠BOD，
∵∠A=26°，
∴∠COB=2∠A=52°，
∴∠BOD=52°，
∴∠D=90°-∠BOD=90°-52°=38°．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，
弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关．
变式2．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】根据弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、因为等弦所对的弧有可能为优弧，也可能是劣弧，故本选项错误，不符合题意；
B、等弧所对的弦相等，故本选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误，不符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
变式3．（2022·安徽滁州·九年级期末）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂
足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：① = ；②OM=ON；
③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴ = ，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．◎考点题型3 圆周角
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
例．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，
所对圆周角的是（ ）
A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
【答案】C
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
变式1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则
的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长
公式求出答案．【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴ 的长为： π．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
变式2．（2022·湖南株洲·九年级期末）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O
的弦，∠ABD=56°，则∠BCD的度数是（ ）
A．46° B．56° C．34° D．24°
【答案】C
【分析】先判断出 ，从而可得 ，再根据同弧所对的圆周角相等可得答案．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
变式3．（2022·河南商丘·九年级期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则
∠ABD等于（）
A．54° B．56° C．64° D．66°【答案】A
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=∠BCD=36°，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-36°=54°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余．
◎考点题型4 圆心角
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组相等，那么他们
所对的其余各组量分别相等。
例．（2022·安徽·合肥市庐阳中学三模）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过
点C，则∠OCB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，
∴∠DOC＝40°，∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠OCB＝∠DOC＝40°，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．
变式1．（2020·安徽合肥·九年级期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，
∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和
定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知 ，点 是 平分线 上一点，当点
是 的外心时， （ ）
A．95° B．100° C．110° D．115°【答案】B
【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可．
【详解】解：如图示，∵点 是 的外心，
∴ ， ， 三点共圆，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（
）
A．160o B．120o C．100o D．80o
【答案】A
【分析】在⊙O取点 ，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周
角的2倍，可得答案．
【详解】解：如图，在⊙O取点 ，连接
四边形 为⊙O的内接四边形，
．
故选A【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知
识点是解题的关键．
◎考点题型5 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
常见辅助线做法（考点）：
1）过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
例．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，
则四边形ACBD的面积为( )
A．36 B．24 C．18 D．72
【答案】A
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理
即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中， ，
∴CD＝2CE＝6 ，
∴四边形ACBD的面积＝ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
变式1．（2019·浙江·丽水市实验学校一模）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两
弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
【答案】D
【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况，根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
【详解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，
∵CD=10cm， ，
∴ ，
∵圆的半径为13cm，
∴OD=13cm，
∴利用勾股定理可得：
，
同理可求OF=5cm，
∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；
第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样；
综上分析可知，两弦之间的距离为7cm或17cm，故D正确．
故选D．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用定理、注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧
两种情况讨论是解题的关键．
变式2．（2021·广东·珠海市斗门区实验中学九年级期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（
）
A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC
【答案】C
【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB，根据∠COD＝
∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，
∴∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB，
又∵∠COD＝ ∠AOB，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，
∴CD＝AE＝BE，
∵在△ABE中，AE＋BE＞AB，∴2CD＞AB，
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据
圆心角定理得出答案是解题的关键．
变式3．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）图，已知以 的边AB为直径的 经过点C，
交 于点D，连接BD．若 ，则 的度数为（ ）
A．32° B．27° C．24° D．18°
【答案】B
【分析】由AB为直径的 经过点C，得出∠C=90°，从而求出∠ABC=54°，再由垂径定理证得 ，
则可由圆周角定理得出∠ABD=∠CBD，所以∠ABD= ∠ABC=27°，最后由等腰三角形性质得出
∠ODB=∠ABD，即可求得答案．
【详解】解：∵AB为直径的 经过点C，
∴∠C=90°，
∵ ，
∴∠ABC=54°，
∵ 交 于点D，
∴ ，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD= ∠ABC= ×54°=27°，
∵OD=OC，
∴∠ODB=∠ABD=27°，
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及其推论，熟练掌握垂径定理＼圆周角定理及其推论是解题的关
键．◎考点题型6 垂径定理的推论
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
例．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确
的选项．
【详解】A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假
命题，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、如图，四边形ABCD，AB CD，∠A=∠C，
∵AB CD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，
∴AD BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定
方法及平行线的性质等知识，难度不大．
变式1．（2022·四川广安·二模）下列说法错误的是（ ）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C【分析】根据方差和抽样调查的特点、垂径定理的推论、平行公理逐项判断解答即可．
【详解】解：A、方差可以衡量一组数据的波动大小，正确；
B、抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，正确；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，错误；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，
故选：C．
【点睛】本题考查方差、抽样调查、垂径定理的推论、平行公理，明确题意，熟知相关知识是解答的关键．
变式2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，点 是 的中
点，过点 画 的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到
∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【详解】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58°，
∴∠B=90°-∠ADB=32°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58°，
∵点A是 的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=32°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题
的关键．变式3．（2022·内蒙古包头·模拟预测）下列说法中，正确的说法有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②一元二次方程x2﹣x﹣6＝0 的根是x＝3，x＝﹣2
1 2
③点P（1，2）关于x 轴对称点的坐标是（1，2）；
④对角线垂直且相等的四边形一定是菱形；
⑤在数据 1，4，4，0，2中，众数是4，中位数是4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据此弦可能过圆心，即可推出平分弦的直径不一定垂直于弦（直径）；通过解一元二次方程；
关于x轴对称的点的坐标的特征；菱形的判定定理；众数、中位数的概念进行分析解答，通过排除法即可
推出结论．
【详解】①若此弦为直径，则平分弦的直径不一定垂直于弦（直径）；故本项说法错误，
②通过对原方程变形得：（x﹣3）（x+2）＝0，即可推出x﹣3＝0或x+2＝0，推出x＝3，x＝﹣2，故本
1 2
项说法正确，
③点P（1，2）关于x轴对称点的纵坐标应在y轴的负半轴上，所以坐标是（1，﹣2），故本项说法错误，
④对角线垂直且相等的四边形不一定是菱形，还有可能为正方形或对角线互相垂直的等腰梯形，故本项说
法错误，
⑤在数据 1，4，4，0，2中，众数是4，中位数是2，故本项说法错误，
所以②一项说法正确，
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的推论，关于x轴、y轴的点的坐标的特征，菱形的判定定理，中位数的
概念等知识点，关键在于正确的根据相关的性质定理逐项分析解答，排除错误的项．
◎考点题型7 垂径定理的实际应用
例．（2022·湖北十堰·中考真题）如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ，
重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④ ，其
中一定正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得 ，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点 是 上一
动点，可得 不一定等于 ，故②错误；当 最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由
是等边 的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得 ，故③正确；延长DA至点E，使
AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到
DE=BD，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴ ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点 是 上一动点，
∴ 不一定等于 ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当 最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵ 是等边 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴ ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴ ，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的
判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角
形的判定和性质等知识是解题的关键．
变式1．（2022·广西大学附属中学八年级期末）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面
宽 ，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
【答案】D
【分析】如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作 于D，交圆于C，设圆的半径为r，而
再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作 于D，交圆于C，
则设圆的半径为r，而
解得：
圆柱形容器的截面直径为52cm．
故选D
【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．
变式2．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为 ，秋千向两边摆动
的角度相同，摆动的水平距离 为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即 ）为0.5
米．则秋千链子的长 为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D． 米
【答案】B
【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点D为 的中点，由垂径定理知OD⊥AB， AD= AB=1.5米．
再根据勾股定理求得OA即可．
【详解】解：∵点D为 的中点，
∴由垂径定理知OD⊥AB，AD=BD= AB= ×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
则OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，解得：OA=2.5(米)．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
变式3．（2022·湖北襄阳·九年级期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为
10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm．
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后
乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵ mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故选D
【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
