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24.2 点、直线、圆与圆的位置关系
点和圆的三种位置关系：
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类
点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
注意：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量
关系；知道数量关系也可以确定位置关系；
题型1：点和圆的位置关系
1.1．已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，
∴4＞2，
∴点P和⊙O外.
故答案为：B.
【分析】利用点与圆的位置关系：若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，当点P在圆内时则d
＜r；当点P在圆上时则d=r；当点P在圆外时则d＞r；据此可得到点P与⊙O的位置关系.
【变式1-1】已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置
关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），∴OP=√32+42=5
∵⊙O半径为4，5>4
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故答案为：C
【变式1-2】⊙O的半径r＝10cm，圆心O到直线l的距离OD＝6cm，在直线l上有A、B、C三点，且
AD＝6cm，BD＝8cm，CD＝5 √3 cm，问：A、B、C三点与⊙O的位置关系各是怎样？
【答案】解：∵OA＝ √OD2+AD2 ＝ √62+62 ＝ √72 (cm)＜r＝10cm，
OB＝ √OD2+BD2 ＝ √62+82 ＝10(cm)＝r，
OC＝ √OD2+DC2 ＝ √62+(5√3) 2 ＝ √111 (cm)＞r＝10cm，
∴点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外．
【解析】【分析】根据勾股定理求得OA、OB、OC的长，再通过点与圆心的距离和半径比较大小即
可。
题型2：确定圆的条件
2.如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ）
A．(1，0) B．(2，0) C．(0，0) D．(2，−1)
【答案】B
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：B．
【分析】作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，再求解即可。
【变式2-1】下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相
等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤【答案】D
【解析】【解答】解：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以①不符合题意；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不符合题意；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③符合题意；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以④符合题意；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以⑤符合题意．
故答案为：D．
【变式2-2】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
1
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
2
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中
点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以
三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆.
题型3：三角形的外接圆与外心
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，−3)．则△ABC
的外心坐标应是（ ）A．(0，0) B．(1，0) C．(2，−1) D．(−2，−1)
【答案】D
【解析】【解答】解：∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，-3），
∴直线BC∥x轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=-1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为-1，
设△ABC的外心为P（a，-1），
∴PA2=a2+(−1−3) 2=a2+16=PB2=(a−2) 2+(−1−1) 2=a2−4a+8，
∴a2+16=a2−4a+8，
解得a=−2，
∴△ABC外心的坐标为（-2，-1），
故答案为：D．
【 分 析 】 设 △ ABC 的 外 心 为 P （ a ， -1 ） ， 再 根 据 AP=PB 可 得
PA2=a2+(−1−3) 2=a2+16=PB2=(a−2) 2+(−1−1) 2=a2−4a+8，求出a的值，即可得到答案
【变式3-1】已知△ABC的外心为O，连结BO，若∠OBA=18°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．68° C．70° D．72°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA=18°，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠OAC+∠OCA+∠OBC+∠OCB=2（∠OCA+∠OCB）=2∠C=180°-（∠OAB=∠OBA）
=180°-36°=144°，
∴∠C=72°；
故答案为：D.
【变式3-2】如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.
①用尺规作图法找出 所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；
②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R.
【答案】解：①作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
1
②连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE= BC=
2
1
×8=4，在Rt△ABE中，AE= √AB2−BE2=√52−42 =3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
2
25 25
OB2=BE2+OE2，即R2=42+（R-3）2，∴R= (cm)，答：圆片的半径R为 cm
6 6
【解析】【分析】①分别作出AB和AC的垂直平分线，交点为 O，即O为所求圆的圆心；②连接
AO、BO，AO交BC于E，利用垂径定理求出BE的长，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的
长，然后在Rt△BEO中求出圆的半径即可。
题型4：反证法
4.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
【答案】B【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一
个内角都小于60°.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应找出其反面即可.
【变式4-1】用反证法证明：“若 a>b>0 ，则 a2>b2 ”，应先假设（ ）
A．ab>0 ，则 a2>b2 ”，应先假设a2≤b2.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案。
【变式4-2】用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．
【分析】根据反证法的一般步骤、三角形内角和定理证明．
【解答】证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°，
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°，
这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，
∴在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛
盾；（3）假设不成立，则结论成立．
直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫
做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
注意：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置
关系的判定．
题型5：直线与圆的位置关系-相交
5.已知 O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是√2，则直线AB与
O的位置关系是 相交 ．
⊙
【分析】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点 O到直线AB的距离为d，若d＜r，则直线与圆相
⊙
交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：∵ O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，
解方程x2+6x﹣16⊙ ＝0，
（x+8）（x﹣2）＝0，
解得：x ＝﹣8（舍去），x ＝2，
1 2
∴r＝2，
∵点O到直线AB距离d是√2，∴d＜r，
∴直线AB与圆相交．
故答案为相交．
【变式5-1】已知一条直线l与半径为r的 O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 r ＞ 2
．
⊙
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：∵直线l与半径为r的 O相交，且点O到直线l的距离d＝2，
∴r＞2．
⊙
故答案为：r＞2．
【变式5-2】已知 ⊙O 的半径为10，直线AB与 ⊙O 相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围
是 ．
【答案】0≤d＜10
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相交，
∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即0≤d＜10；
故答案为：0≤d＜10．
【分析】根据直线AB和圆相交，则圆心到直线AB的距离小于圆的半径，即可得出答案。
题型6：直线与圆的位置关系-相切
6.若d、R是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，则m的值是 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵直线l与 ⊙O 相切，∴d=R ，
也就是方程 x2−4x+m=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0 ， (−4) 2−4m=0 ，解得 m=4 .
故答案是：4.
【分析】由直线与圆相切，得到 d=R ，从而根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m的值.
【变式6-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若以C为圆心，r为半径所作
的圆与斜边AB相切，则r的值是
12
【答案】
5
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB=√AC 2+BC2=5cm ，
❑
由题意可得 CD⊥AB ，
1 1 12
∴ AC⋅BC= AB⋅CD ，即 CD= ，
2 2 5
12
故答案为： ．
5
1 1
【分析】根据勾股定理求出AB的长，由于Rt△ABC的面积= AC⋅BC= AB⋅CD，据此即可求出
2 2
CD的长.
【变式6-2】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，
AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm，
1
∴AH= AB=8cm ， ∠AHO=90° ，
2
∵OA=OC=10cm ，
在 Rt△AOH 中，由勾股定理得
OH=√AO2−AH2=√102−82=6cm ，
∴CH=OC−OH=4cm ，
若l与⊙O相切，
则点 O 到直线l的距离等于OC=10cm，
∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 CH=4cm
即l沿OC所在直线向下平移 4cm 时与⊙O相切．
故答案为： 4 ．
1
【 分 析 】 根 据 垂 径 定 理 ， 可 求 出 AH= AB=8cm， 在 利 用 勾 股 定 理 可 得
2
OH=√AO2−AH2=√102−82=6cm，从而得出CH=OC−OH=4cm，再由l与⊙O相切，则点 O
到直线l的距离等于OC=10cm，从而得出l沿OC所在直线向下平移的距离等于 CH=4cm，即可求
出答案。
题型7：直线与圆的位置关系-相离7.已知圆的半径为10cm，如果圆心O到直线的距离为12cm，那么这条直线和这个圆的位置关系
是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都可能
【答案】A
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，
∵圆心O到一条直线的距离为12cm＞10cm，
∴直线和圆相离.
故答案为：A.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当dr时，直线与圆相离，据此判断.
【变式7-1】在平面直角坐标系中， P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与 P的位置关系是
相离 ．
⊙ ⊙
【分析】欲求 P与x轴的位置关系，关键是求出点P到x轴的距离d再与 P的半径5比较大小即可．
【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，
⊙ ⊙
∵r＝5，
∴d＞r，
∴ P与x轴相离．
故答案为：相离．
⊙
【变式7-2】已知 O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与 O的
位置关系是 相切或相离 ．
⊙ ⊙
【分析】先解方程，根据距离d与r的大小关系得出：直线与圆的位置关系．
【解答】解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x＝3或2，
当d＝3时，则d＞r，所以直线l与 O的位置关系是相离；
当d＝2时，则d＝r，所以直线l与 O的位置关系是相切；
⊙
则直线l与 O的位置关系是：相切或相离；
⊙
故答案为：相切或相离．
⊙
题型8：直线与圆的位置关系-交点个数
8.已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可
取（ ）
A．0 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交∴d＜r＝3，则d可取0.
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆有两个交点可知：直线与圆相交，则点O到直线的距离小于半径，据此判断.
【变式8-1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个
数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3个或3个以上
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ⊙O的半径等于r为8cm，圆心O到直线l的距离为d为9cm，
∴d＞r，
∴ 直线l与⊙O相离，
所以直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故答案为：A
【分析】先求出d＞r，再求出直线l与⊙O相离，最后求解即可。
【变式 8-2】已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为 1 的圆的公共点可能有
个．
【分析】根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直
线的交点从没有到最多4个．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴三角形为直角三角形，
1 1
设内切圆半径为r，则 （3+4+5）r= ×3×4，
2 2
解得r＝1，
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆与三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0或1或2或3或4个．
故答案为0或1或2或3或4圆与圆的五种位置关系
设⊙O 的半径为r ，⊙O 半径为r ， 两圆心O O 的距离为d，则：
1 1 2 2 1 2
两圆外离 d＞r +r
1 2
两圆外切 d=r +r
1 2
两圆相交 r -r ＜d＜r +r (r ≥r )
1 2 1 2 1 2
两圆内切 d=r -r (r ＞r )
1 2 1 2
两圆内含 d＜r -r (r ＞r )
1 2 1 2
注意：
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分
类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
题型9：圆和圆的位置关系
9.(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
(2)已知⊙O 与⊙O 相切，⊙O 的半径为3cm，⊙O 的半径为2cm，则OO 的长是( )
1 2 1 2 1 2
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm
【答案】（1）C ； （2）C.
【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．
∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．
(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O 与⊙O 外切时，d＝OO＝R+r＝3+2＝5(cm)；
1 2 1 2
当⊙O 与⊙O 内切时，d＝OO＝R-r＝3-2＝1(cm)．
1 2 1 2
【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离 d＞R+r；②两圆外切 d＝
R+r；③两圆相交 R-r＜d＜R+r；④两圆内切 d＝R-r；⑤两圆内含 d＜R-r．
【变式9-1】如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相
切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少?
【答案与解析】
(1)当⊙P与⊙O外切时，则有5+r＝8，
∴ r＝3．
当⊙P与⊙O内切时，则有r-5＝8，
∴ r＝13．
∴ 当r＝3或13时，⊙O与⊙P相切．(2)当⊙P与⊙O相交时，则有| r-5|＜8＜r+5，
解得3＜r＜13，
即当3＜r＜13时，⊙P与⊙O相交．
【总结】 两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为 d＝R+r和d＝R-r(R＞
r)，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：
【变式9-2】已知⊙O 与⊙O 相切，⊙O 的半径为3cm，⊙O 的半径为2cm，则OO 的长是( )
1 2 1 2 1 2
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm
【答案】C
提示：两圆相切包括外切和内切，当⊙O 与⊙O 外切时，d＝OO＝R+r＝3+2＝5(cm)；
1 2 1 2
当⊙O 与⊙O 内切时，d＝OO＝R-r＝3-2＝1(cm)．故选C.
1 2 1 2
一、单选题
1．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
【答案】C
【解析】【解答】解：经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一
个圆，因为只有C选项中的三点能构成三角形，故答案为：C.
【分析】根据经过不在同一直线上的三点可以确定圆可求解。
2．若☉O的直径为5，直线l与☉O相交，圆心O到直线l的距离是d，则d的取值范围是( )
A．45 C．2.5r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离；
当d=2时，则d=r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切；
则直线l与⊙O的位置关系是：相切或相离.
故答案为：相切或相离.
【分析】利用因式分解法可得方程的解，然后根据d>r时，直线与圆相离；d=r时，直线与圆相切；
d4，∴√5>√4，√5>2，∴2√5>4 ，即PA>PQ，
∴点（ −2 ，0）在⊙P内．
【分析】（1）设P坐标为（x，y），根据PA=PB，PA=PC列方程组求解，即可确定点P的坐标；
（2）求出PA的长，即为⊙P的坐标，再求出AC的长，利用勾股定理逆定理即可判断出△APC为等
腰直角三角形，要判断点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离，与半径比较即可判断.
