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24.2.2 切线的判定与性质及切线长定理
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注意：切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一
是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
题型1：切线的判定-连半径证垂直
1.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD
是⊙O的切线．
【变式1-1】如图，在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且
AB=AC ， PE⊥AC 于点E，求证：PE是⊙O的切线．【变式1-2】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且 ∠CDA=∠CBD .求证：CD是
⊙O的切线.
题型2：切线的判定-作垂直证半径
2.ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
求证：AC是⊙O的切线．
【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为
半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.
1
【变式2-2】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝ 弧BC，经过点C与⊙O相切的直线
2CE交BA的延长线于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．
题型3：切线的判定多选项问题
3.下列说法中，不正确的是（ ）
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
【变式3-1】下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的
直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个
圆：其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【变式3-2】如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE的中
点，连接DF.给出以下五个结论：①BD＝DC；②AD＝2DF；③B´D=D´E ；④DF是⊙O的切线.其中
正确结论的个数是：（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
注意：切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
题型4：切线的性质-求长度
4.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4
，则OC的长为（ ）A．8 B．16√2 C．4√2 D．2√2
【变式4-1】如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C．若∠D=30°，
CD=2√3，则AC等于（ ）．
A．6 B．4 C．2√3 D．3
【变式4-2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC
相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
题型5：切线的性质-求角度
5.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，若∠ADC＝
40°，则∠P的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【变式5-1】如图，已知 PA ， PB 分别与 ⊙O 相切于点A，B，C为 ⊙O 上一点．若
∠P=70° ，求 ∠C 的大小．【变式5-2】如图，AB是 ⊙O 的直径，AC是 ⊙O 的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若
CA=CD ，试求 ∠A 的度数.
题型6：切线的性质-求半径
6.如图，在Rt 中，∠A=90°，点O在AC上，⊙O切BC于点E，A在⊙O上，若AB=5，
AC=12，求⊙O的半径．
【变式6-1】如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长
线于点C．
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝2 √3 ，CE＝2，求⊙O半径的长．
【变式6-2】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切
于点M，（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径.
切线长定理
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角.
圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
注意：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段；切
线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
题型7：切线长定理-求周长
7.如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的
右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（
）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
【变式7-1】如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D
两点，则△PCD的周长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【变式7-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O
的半径为2，则△ABC的周长为（ ）A．14 B．20 C．24 D．30
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
1
一半，即S= Cr(S为三角形的面积，C为三角形的周长，r为内切圆的半径).
2
题型8：三角形的内切圆-求半径
8.如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， BC=3 ， AB=5 ，⊙O是 Rt△ABC 的内切圆，则
⊙O的半径为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
【变式8-1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则其内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-2】若方程x2-7x+12=0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切
圆半径为 .
题型9：三角形的内切圆-求面积
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若
BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．【变式9-1】一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是
（ ）
c+2r c+r 2c+r c2+r2
A． B． C． D．
πr πr πr πr
【变式9-2】正三角形外接圆面积是 64πcm2 ，其内切圆面积是（ ）
A．32πcm2 B．8πcm2 C．9πcm2 D．16πcm2
题型10：三角形的内切圆-求角度
10.已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC等于（ ）
A．125° B．120° C．115° D．110°
【变式10-1】如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数
是（ ）
A．100° B．120° C．125° D．135°
【变式10-2】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠≝=50°，则
∠A的度数是（ ）A．50° B．100° C．90° D．80°
一、单选题
1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取
（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有
两个公共点，则r的取值范围是（ ）
24 24
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C． ＜r≤6 D． ＜r≤8
5 5
3．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接
BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
4．在平面直角坐标系中，以点(-1，2)为圆心，1为半径的圆必与( )
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
5．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是
^ABC 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是
（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
15 20
6．已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I为内心，CI交AB于D，BD= ，AD= ，则S =（ ）
7 7 △ACB
A．12 B．6 C．3 D．7.5
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等
于（ ）
A．40° B．50° C．65° D．130°
二、填空题
8．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，
那么r的取值是 ．
9．如图，△ABC内接于圆，点D是AC上一点，将∠A沿BD翻折，点A正好落在圆上点E处.若
∠C=50°，则∠ABE的度数为 .
10．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为2 √2 的圆与直线OA的位置关系是 ．
11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过C作⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于点
D，∠C＝42°．点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则∠AED的度数为 ．
三、解答题
12．在△ABC中， ∠C=90° ，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别
交AB，AC于点E，F
（1）如图①，连接AD，若 ∠CAD=25° ，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为 A´D 的中点， ⊙O 的半径为2，求AB的长．
13．已知PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，PO=13cm，⊙O的半径为5cm，求
△PDE的周长．14．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，
BA，CD的延长线相交于点E.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过
A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
