文档内容
24.4 弧长和扇形面积
弧长公式
半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)
题型1：运用公式计算弧长
1.已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【变式 1-1】如图，AB 是圆 O 的直径，CD 是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧 BD 的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．45
π π π π
【变式1-2】如图，AB是 O的直径，AC是 O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧 长为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
题型2：列方程求圆心角或半径
2.已知一段弧长为9.42cm，该段弧所在的圆的半径为6cm，求这段弧所对的圆心角度数．
【变式2-1】如图，劣弧AB的长为6 ，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径．
π
【变式2-2】已知圆上一段弧长为4 cm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径．
π
题型3：弧长计算中的最值问题（提升）
3.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，点D为弦AB上一动点（不与A，B两点重合），连
接OD并延长交 于点C，当CD为最大值时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
π【变式3-1】如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动
点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在 上，且∠AOC＝60°，点P是线段OB上一动
点，若OA＝2，则图中阴影部分周长的最小值是 ．
题型4：弧长计算与实际应用问题
4.有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精
确到0.1米）
【变式4-1】如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管
道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度，精确到1mm）
扇形面积公式半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
题型5：应用公式计算扇形面积
5.一个扇形的弧长是10 cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．30 cm2 B．60 cm2 C．120 cm2 D．180 cm2
π
π π π π
【变式5-1】已知一个扇形的圆心角的度数为120°，半径长为3，则这个扇形的面积为多少？（结果保留
）
π
【变式5-2】如图、A、B、C三点在半径为1的 O上，四边形ABCO是菱形，求扇形OAC的面积．
⊙
题型6：列方程求圆心角或半径
6.已知扇形的圆心角为30°，面积为3 cm2，则扇形的半径为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
π
【变式6-1】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，
则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A．180° B．120° C．90° D．60°
【变式6-2】已知 O的半径为2cm，扇形AOB的面积为 cm2，圆心角∠AOB是多少度？
⊙ π
题型7：扇形计算与实际应用问题
7.如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC 的夹角为 120°，AB长为 30cm，贴纸部分的宽 BD为
18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【变式7-1】某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径 OA＝24cm，OC
＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留 ）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
π
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．
【变式7-2】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台
的周围都是草地．
（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留 ）
（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到 6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最
π
大面积．（结果保留 ）
π
题型8：求阴影部分面积-规则图形
8（S =S -S ）.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以点B为圆心，AB为半径画
阴 扇 △
弧，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（S =S -S ） 如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若 AO＝5，BO＝2，∠AOD＝
阴 大扇 小扇
120°，则阴影部分面积为（ ）A．14 B．7 C． D．2
π π π
【变式8-2】（化零为整）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和
为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
π π π π
【变式8-3】（S =S -S ）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以
阴 △ 扇
A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 1 6 ﹣ 8 ．（结果保留 ）
π π
题型9：求阴影部分面积-不规则图形
9（割补法）.如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．【变式9-1】（等面积法）如图，A是半径为1的 O外的一点，OA＝2，AB是 O的切线，点B是切点，
弦BC∥OA，连接AC．则图中阴影部分面积等于（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【变式9-2】（构造法）求阴影部分面积．
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为 ，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积 ，
圆锥的全面积 .
注意：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展
开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
题型10：求圆锥的侧面积（全面积）
10.已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
π π
【变式10-1】一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则圆锥的全面积为（ ）A．36 cm2 B．52 cm2 C．72 cm2 D．136 cm2
π π π π
【变式10-2】如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为 100 ，扇形的圆心角为
120°，求这个扇形的面积．
π
题型11：计算底面半径或展开图圆心角
11.圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【变式11-1】一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm
【变式11-2】如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度
数．
题型12：圆锥计算与实际应用问题
12.用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．
（1）求圆锥的高；
（2）求所需铁皮的面积S（结果保留 ）．
π【变式12-1】一个圆锥形沙堆，底面半径是5米，高是2.5米．（ 取3）
（1）求这堆沙子有多少立方米？
π
（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？
（3）在（2）的条件下，一台压路机的前轮直径是 1m，前轮宽度是2m．如果前轮每分钟转动6周，这
台压路机压一遍这段路面大约需要多少分钟？（得数保留整数．）
【变式12-2】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用
毛毡搭建20个底面半径为4m，总高为4.5m，外围（圆柱）高为1.5m的蒙古包（不包含底面圆），至
少需要多少m2的毛毡？
题型13：圆锥与最短距离
13.如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，
其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【变式13-1】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧
面上的最短距离．
【变式13-2】圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一
周，再回到P点，求这根绳子的最短长度．一、单选题
1．如图， △ABC 内接于⊙O， ∠A=60° ， OM⊥BC 于点M，若 OM=2 ，则 B´C 的长为（
）
4 8 16
A．4π B． π C． π D． π
3 3 3
2．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（ ）
A．3 B．6 C．18 D．36
3．如图， AC⊥BC ， AC=BC=8 ，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心， BC
为半径作 A´B ，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则图中阴影部分的面积是（ ）
20π 20π 20π 20π
A． −8√3 B． +8√3 C．8√3− D．4√3+
3 3 3 3
4．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 √3 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中
阴影部分的面积是（ ）15√3 3 15√3 3
A． ﹣ π B． ﹣ π
4 2 2 2
7√3 π 7√3 π
C． ﹣ D． ﹣
4 6 2 6
5．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB=120°，半径
OA为9m，那么花圃的面积为( )
A．54πm2 B．27πm2 C．18πm2 D．9πm2
6．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧
面爬行到母线AC的中点P.则小虫爬行的最短路径是（ ）
A．3 B．3√5 C．3√3 D．4
7．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都
在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A．3 √2 cm B．2 √3 cm C．6cm D．12cm
8．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（ a≥2√3r ）的等边三角形内任意运动，则在该等边
三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
π (3√3−π)
A． r2 B． r2 C．(3√3−π)r2 D．πr2
3 3
二、填空题
9．如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为 .
10．如图，正方形ABCD的边长为6，分别以A、B为圆心，6为半径画 ^BD 、 ^AC ，则图中阴影
部分的面积为 ．
11．如图，在矩形 ABCD 中， AB=1,∠DBC=30° . 若将 BD 绕点 B 旋转后，点 D 落在 BC
延长线上的点 E 处，点 D 经过的路径为 D´E ，则图中阴影部分的面积为 .12．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB=2 ，当风车转动90°时，点 B 运动路径的长度为
.
13．若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 ．
14．用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为
．
三、解答题
15．如图，△OAB的底边与⊙O相切，切点为C，且OA=OB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点，
D、E分别为OA、OB的中点。
（1）求∠AOB的度数；
π
（2）若阴影部分的面积为√3− ，求⊙O的半径r
3
∧ ∧
16．如图，AB、CD为⊙O的直径，
AC
=
CE
，求证：BD=CE．17．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2cm ，扇
形的圆心角 θ=120° ，求该圆锥的母线长 l ．
四、综合题
18．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积.
19．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
