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专题 13 正多边形与圆、弧长和面积公式
【思维导图】
◎考点题型1 正多边形和圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：
1） 量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
2） 量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
3） 圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
例．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n边形的边数n等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
变式1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图， 和 分别为 内接正方形，正六边形和正n
边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
变式3．（2022·河南信阳·九年级期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
◎考点题型2 弧长
设 的半径为 ， 圆心角所对弧长为 ，
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
例．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O 与⊙O 的半径为
1 23米，且⊙O 经过⊙O 的圆心O．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
1 2 2
A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米
变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在扇形 中， ，将扇形 沿着
过点B的直线折叠，点O恰好落在弧 上的点D处，折痕交 于点C，则弧 的长为（结果保留 ）
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·浙江金华·九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋
转得到△ ，则 的长为（ ）
A． B． C．7 D．6
变式3．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的
边心距OM和 的长分别为（ ）A．4， B．3 ，π C．2 ， D．3 ，2π
◎考点题型3 扇形面积
：
扇形面积公式
例．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作
PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·湖北恩施·一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，
若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）如图，点A，B，C是 上的点，连接
，且 ，过点O作 交 于点D．连接 ，已知 半径为2，则图中
阴影面积为( )
A． B． C． D．
变式3．（2022·广东河源·二模）如图，已知平行四边形ABCD，以B为圆心，AB为半径作 交BC于E，然后以C为圆心，CE为半径作 交CD于F，若 ， ， ，则阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型4求圆心角
例．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（
）
A．90° B．100° C．120° D．150°
变式1．（2021·山东泰安·期中）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为 ，则这三个扇形的圆
心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·福建师范大学附属中学初中部九年级期中）已知扇形半径是9cm，弧长为 cm，则扇形
的圆心角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点 在半径为 的 上，劣弧 的长为 ，则
的大小是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型5 求某点的弧形运动长度
例．（2021·广东·江东镇初级中学一模）一个钟表的时针长10厘米，在中午12时到下午3时，时针的针尖
划过的弧长是（ ）厘米．
A． B． C． D．变式1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）如图，菱形ABCD的边长为3， ，将
菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点D和点C的对应点分别为点E，F，则点C的运
动路径弧CF的长为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，在扇形纸片 中， ， ， 在桌面
内的直线 上，现将此扇形沿 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当 落在 上时，停止旋转．则
点 所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ．将
绕直角顶点 逆时针旋转 得△ ；则点 转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型6 求扇形扫过的面积
例．（2022·内蒙古包头·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至 的位置，则边BA扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·四川·一模）如图，已知 所在圆的半径为4，弦AB长为 ，点C是 上靠近点B的
四等分点，将 绕点A逆时针旋转120°后得到 ，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（ ）
A． B． C．π D．
变式2．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段 绕点
C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形 的边 上时，记为点 ，则此时线段 扫过的图形的
面积为（ ）
A． B．6 C． D．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC
绕点A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． π－6 B． π C． π－3 D． ＋π
◎考点题型7 拱形面积
例．（2022·河北唐山·二模）如图， ABC内接于⊙O，若 ，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积
为（ ） △
A． B． C． D．
变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，
过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·云南·双柏县教师进修学校二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝
，则图中阴影部分的面积为( )
A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4
变式3．（2021·山东临沂·模拟预测）如图，点 、 、 在 上，若 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型8 求不规则图形的面积
例．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为6的正方形 中，以 为直径画半圆，则阴影部分
的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，
恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在
上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
变式3．（2022·山东省实验初级中学模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O
交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型9 求圆锥的侧面积
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式： （ 为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积＋底面圆面积
例．（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（
）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
变式1．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧
面积是( )
A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
变式2．（2021·云南·文山二中九年级阶段练习）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆
锥的侧面积为（ ）A．10cm2 B．10 cm2 C．20cm2 D．20 cm2
变式3．（2022·广西柳州·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧
面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
◎考点题型10求圆锥底面半径
例．（2022·浙江台州·九年级期末）将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆
锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．6 C．6 D．18
变式1．（2021·江苏镇江·九年级期中）已知圆锥的侧面展开图的面积是30πcm2，母线长是10cm，则圆锥
的底面圆的半径为（ ）
A．3cm B．6cm C．2cm D．4cm
变式2．（2022·黑龙江牡丹江·一模）如图，将圆锥沿一条母线剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面
圆的半径 ，扇形的圆心角 ，则该圆锥母线 的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
变式3．（2022·江苏宿迁·九年级期末）将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
底面半径是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
◎考点题型11 求圆锥的高
例．（2022·四川广元·一模）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则
这个圆锥的高为（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·江苏·九年级）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的
扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）
A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
变式2．（2022·山东淄博·九年级期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一
个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·广东广州·九年级期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一
个圆锥模型，若圆的半径为 ，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）．
A． B． C． D．
◎考点题型12 求圆锥展开图的圆心角
例．（2022·江苏南通·一模）如图是一个圆锥体的三视图（图中尺寸单位： ），则它的侧面展开图的圆
心角为( )A． B． C． D．
变式1．（2022·江苏·九年级）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，
则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）．
A．108° B．120° C．144° D．150°
变式2．（2022·广西·南丹县教学研究室二模）如图，圆锥体的高 ，底面圆半径 ，则该
圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
变式3．（2022·四川凉山·九年级期末）用半径为R，圆心角为n的扇形围成一个底面周长是2π、高是
的圆锥，则R和n的值分别为（ ）
A． ，90° B．2，360° C． ，180° D．2，180°
◎考点题型13 圆内侧面上最短路径问题
例．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形 ，粮堆
母线 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，
则小猫所经过的最短路程是（ ）A．3 B． C． D．4
变式1．（2021·全国·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着
圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
变式2．（2018·全国·八年级单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC
的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
变式3．（2021·辽宁鞍山·一模）如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从
点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）
A．6 B． C．3 D．3
