文档内容
24.4 弧长和扇形面积
弧长公式
半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)
题型1：运用公式计算弧长
1.已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用弧长公式直接计算即可．【解答】解：这个扇形的弧长＝ ＝ ，
故选：A．
π
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝ ．
【变式 1-1】如图，AB 是圆 O 的直径，CD 是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧 BD 的长为
（ ）
A． B．4 C．2 D．45
【分析】求出圆心角∠BOD的度数，再根据弧长的计算公式进行计算即可．
π π π π
【解答】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°，
由弧长公式得，弧BD的长为 ＝ ，
故选：A．
π
【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的前提，求出圆心角的度数
是解决问题的关键．
【变式1-2】如图，AB是 O的直径，AC是 O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧 长为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【分析】连结CO，根据AO＝CO，得到∠A＝∠C＝20°，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，
根据直径的长求出半径，根据弧长公式l＝ 即可得出答案．
【解答】解：如图，连结CO，
∵AO＝CO，
∴∠A＝∠C＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝140°，
∵直径AB＝6，
∴半径r＝3，∴ 长＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝ 是解题的关键．
题型2：列方程求圆心角或半径
2.已知一段弧长为9.42cm，该段弧所在的圆的半径为6cm，求这段弧所对的圆心角度数．
【分析】根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数．
【解答】解：设圆心角的度数为n，
根据题意得， ＝9.42＝3 ，
∴n＝3 ×180°÷6 ＝90°．
π
故这段弧所对的圆心角度数为：90°．
π π
【点评】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键．
【变式2-1】如图，劣弧AB的长为6 ，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径．
π
【分析】根据弧长公式l＝ ，代入求出r的值即可．
【解答】解：由题意得，
6 ＝ ，
∴r＝12．
π
答：此弧所在圆的半径为12．
【点评】本题考查了弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
【变式2-2】已知圆上一段弧长为4 cm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径．
【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得．
π
【解答】解：设该圆的半径为Rcm，根据题意，得： ＝4 ，
π
解得：R＝ ，
答：该圆的半径为 cm．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝ （n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）．
题型3：弧长计算中的最值问题（提升）
3.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，点D为弦AB上一动点（不与A，B两点重合），连
接OD并延长交 于点C，当CD为最大值时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OD最短，此时CD最大，求出∠BOC的度数，再根据弧
π
长公式求出即可．
【解答】解：当OC⊥AB时，OD最短（垂线段最短），此时CD最大，
∵∠AOB＝120°，OD⊥AB，OD过圆心O，
∴ ＝ ，且弧的度数是60°，
∴∠BOC＝60°，
∴ 的长为 ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，垂线段最短等知识点，能求出∠BOC的度数是解此题的关键
【变式3-1】如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动
点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）A． B． C． D．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧
CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝ ＝ ＝2 ，
的长＝ ＝ ，
∴阴影部分周长的最小值为2 + ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称
解决路程最短问题是关键．
【变式3-2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在 上，且∠AOC＝60°，点P是线段OB上一动
点，若OA＝2，则图中阴影部分周长的最小值是 ．【分析】延长AO到D，使OD＝AO，得到点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P与
点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠OCD＝30°，过C作
CE⊥AO于E，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AO到D，使OD＝AO，
∵∠AOB＝90°，
∴点A与点D关于OB对称，
连接CD交OB于P′，
当点P与点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠DOC＝120°，
∵OD＝OA＝OC，
∴∠D＝∠OCD＝30°，
过C作CE⊥AO于E，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OE＝ OC＝1，
∴DE＝OE+OD＝3，CE＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝ ＝ ＝2 ，
∴AP′+CP′＝2 ，
∵ 的长＝ ＝ ，
π
∴图中阴影部分周长的最小值是2 + ，
π
故答案为：2 + ．
π【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的
关键．
题型4：弧长计算与实际应用问题
4.有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精
确到0.1米）
【分析】根据弧长公式计算即可得．
【解答】解：圆心角等于60°的圆弧形公路长为 ＝15 ≈47.1米，
答：圆心角等于60°的圆弧形公路长47.1米．
π
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【变式4-1】如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管
道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度，精确到1mm）
【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度即可．
【解答】解：图中管道的展直长度＝2× +4000＝2000 +4000≈10280（mm）．
π
【点评】主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记．弧长公式为：l＝ （弧长为l，圆心角度
数为n，圆的半径为r）．
扇形面积公式半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
题型5：应用公式计算扇形面积
5.一个扇形的弧长是10 cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．30 cm2 B．60 cm2 C．120 cm2 D．180 cm2
π
【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．
π π π π
【解答】解：根据题意可得，
设扇形的半径为rcm，
则l＝ ，
即10 ＝ ，
解得：r＝12，
π
∴S＝ ＝ ＝60 （cm2）．
故选：B．
π
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
【变式5-1】已知一个扇形的圆心角的度数为120°，半径长为3，则这个扇形的面积为多少？（结果保留
）
π
【分析】根据扇形的面积公式S扇形 ＝ R2直接计算即可．
π
【解答】解：S扇形 ＝ R2＝ × ×32＝3 ，
答：这个扇形的面积为3 ．
π π π
【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记公式和准确计算是解题的关键．
π
【变式5-2】如图、A、B、C三点在半径为1的 O上，四边形ABCO是菱形，求扇形OAC的面积．
⊙【分析】连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，得∠AOC＝120°，利用扇形面积公式计算即
可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝BC＝OB，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOC＝120°，
∴S扇形OAC ＝ ＝ ．
【点评】本题考查扇形面积公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
题型6：列方程求圆心角或半径
6.已知扇形的圆心角为30°，面积为3 cm2，则扇形的半径为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm
π
【分析】设扇形的半径为r，再根据扇形的面积公式求出r的值即可．
【解答】解：设扇形的半径为r，
∵扇形的圆心角为30°，面积为3 cm2，
π
∴ ＝3 ，
解得r＝6（cm）．
π
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
【变式6-1】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，
则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A．180° B．120° C．90° D．60°
【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：根据题意得， ＝（ ）2 ，
解得：n＝90，
π
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【变式6-2】已知 O的半径为2cm，扇形AOB的面积为 cm2，圆心角∠AOB是多少度？
⊙ π
【分析】根据扇形的面积公式S＝ ，得n＝ ，代入数据计算即可．
【解答】解：设∠AOB＝n，
∵ O的半径为2cm，扇形AOB的面积为 cm2，
⊙ π
∴S＝ ＝ ＝ ，
解得：n＝90°，
π
∴∠AOB是90°．
【点评】本题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
题型7：扇形计算与实际应用问题
7.如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC 的夹角为 120°，AB长为 30cm，贴纸部分的宽 BD为
18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．
【分析】先求出AD的长度，再根据扇形的面积公式分别求出扇形DAE和扇形BAC的面积即可．
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝18cm，
∴AD＝AB﹣BD＝30﹣18＝12（cm），
∴纸扇上贴纸部分的面积S＝S扇形BAC ﹣S扇形DAE
＝ ﹣
＝300 ﹣48
＝252 （cm2）．
π π
【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：半径为 r，圆心
π
角为n°的扇形的面积为 ．
【变式7-1】某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径 OA＝24cm，OC
＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留 ）
π（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．
【分析】（1）主要是求阴影部分扇形环的外环和内环的弧长之和，即求优弧AB+优弧CD；直接利用弧
长公式求解即可．
（2）求扇环的面积，即S侧 ＝S阴影 ＝（ ×242﹣S扇形OAB ）﹣（ ×122﹣S扇形OCD ）．
π π
【解答】解：（1）优弧 的长为 （cm），
优弧 的长为 （cm），
至少需要花边的长度为30 +15 ＝45 （cm）；
（ 2 ） 灯 罩 的 侧 面 积 π ＝ πS 阴 π影 ＝ （ ×242﹣ S 扇 形 OAB ） ﹣ （ ×122﹣ S 扇 形 OCD ） ＝
π π
．
【点评】主要考查了利用弧长公式和扇形的面积公式，通过面积差求扇形的面积．
【变式7-2】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台
的周围都是草地．
（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留 ）
（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最
π
大面积．（结果保留 ）
π
【分析】（1）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可；
（2）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可．
【解答】（1）解：当绳子长为 4 米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积 S＝ +
＝13 （平方米），
答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是13 平方米；
π
π（2）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝ + +
＝ （平方米），
答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是 平方米．
【点评】本题考查了矩形的性质和扇形的面积计算，能根据扇形公式列出算式是解此题的关键．
题型8：求阴影部分面积-规则图形
8（S =S -S ）.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以点B为圆心，AB为半径画
阴 扇 △
弧，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据S阴 ＝S扇形BAD ﹣S△ABD 计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴cosA＝ ＝ ，
∴∠A＝60°，
∵BA＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴S阴 ＝S扇形BAD ﹣S△ABD ＝ ﹣ ×22＝ ﹣ ，
故选：B．
π
【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-1】（S =S -S ） 如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若 AO＝5，BO＝2，∠AOD＝
阴 大扇 小扇
120°，则阴影部分面积为（ ）A．14 B．7 C． D．2
【分析
π
】根据S阴影 ＝S扇形AOπD ﹣S扇形BOC ，求解即可．
π
【解答】解：S阴影 ＝S扇形AOD ﹣S扇形BOC
＝ ﹣
＝
＝7 ，
故选：B．
π
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的
扇形面积为S，则S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）．
π
【变式8-2】（化零为整）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和
为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影
π π π π
部分面积．
【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2，
∴S阴影 ＝ ＝4 cm2，
故选：D．
π
【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题
的关键．【变式8-3】（S =S -S ）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以
阴 △ 扇
A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 1 6 ﹣ 8 ．（结果保留 ）
π π
【分析】连接AD，根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝8，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，求出
圆的半径为4，再分别求出△ABC的面积和三个扇形的面积即可．
【解答】解：连接AD，则BD＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
即三个圆的半径都是4，
由勾股定理得：AD＝ ＝ ＝4 ，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC ﹣3S扇形BFD ＝ ﹣3× ＝16 ﹣8 ，
故答案为：16 ﹣8 ． π
【点评】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求
π
规则图形的面积是解此题的关键．
题型9：求阴影部分面积-不规则图形
9（割补法）.如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP画
弧叫AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于
是S阴影部分 ＝S扇形BAC ﹣S扇形BFQ ，然后根据扇形的面积公式计算即可；
（2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝
135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4 ，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在
Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．
【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，
以B为圆心，BP画弧叫AB于F点，如图，
∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，
∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，
∴S阴影部分 ＝S扇形BAC ﹣S扇形BFQ ＝ ﹣
＝12 ；
π
（2）连PE，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BEP＝45°，PE＝4 ，
∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，
∴PC＝ ＝ ＝9．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝ （其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考
查了正方形和旋转的性质．
【变式9-1】（等面积法）如图，A是半径为1的 O外的一点，OA＝2，AB是 O的切线，点B是切点，
弦BC∥OA，连接AC．则图中阴影部分面积等于（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【分析】△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面
积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中，根据OB、OA的
长，即可求得∠BOA的度数；由于 OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出
∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．
【解答】解：OB是半径，AB是切线，
∵OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴sinA＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∵OC＝OB，BC∥OA，
∴∠OBC＝∠BOA＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
因此S阴影 ＝S扇形CBO ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积
公式求解．
【变式9-2】（构造法）求阴影部分面积．【分析】构造图2，得到图1中的S 、S 、S 、S ，与图2中的S 、S 、S 、S 相等，易求得图2中
1 2 3 4 1 2 3 4
S +S +S +S 的值，得到图1中的阴影为 ﹣（S +S +S +S ）．
1 2 3 4 1 2 3 4
【解答】解：如图：图1中的S 、S 、S 、S ，与图2中的S 、S 、S 、S 相等，
1 2 3 4 1 2 3 4
由图2可知：S +S +S +S
1 2 3 4
＝（2a）2﹣ a2
＝4a2﹣ a2，
π
π
图1中的阴影为 ﹣（S +S +S +S ）＝ a2﹣（4a2﹣ a2）＝2 a2﹣4a2．
1 2 3 4
π π π
【点评】本题考查了图形面积的计算，利用图形的等面积变换可以简化计算．
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为 ，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积 ，
圆锥的全面积 .
注意：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展
开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
题型10：求圆锥的侧面积（全面积）
10.已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥
π π
的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．
【解答】解：它的侧面展开图的面积＝ ×2 ×4×6＝24 ．
π π故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
【变式10-1】一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则圆锥的全面积为（ ）
A．36 cm2 B．52 cm2 C．72 cm2 D．136 cm2
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥
π π π π
的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和．
【解答】解：圆锥的全面积＝ ×42+ ×2 ×4×9＝52 （cm2）．
故选：B．
π π π
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
【变式10-2】如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为 100 ，扇形的圆心角为
120°，求这个扇形的面积．
π
【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的
面积公式求得侧面积即可．
【解答】解：∵底面圆的面积为100 ，
∴底面圆的半径为10，
π
∴扇形的弧长等于圆的周长为20 ，
设扇形的母线长为r，
π
则 ＝20 ，
解得：r＝30，
π
∴扇形的面积为 rl＝ ×10×30＝300 ，
【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．
π π π
题型11：计算底面半径或展开图圆心角
11.圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到
这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，
∵它的轴截面是正三角形，
∴R＝2r，
∴2 r＝ ，
解得n＝180°，
π
故选：D．
【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
【变式11-1】一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm
【分析】设圆锥底面半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2 r＝ ，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，
π
根据题意得2 r＝ ，
解得r＝10，
π
即圆锥底面半径为10 cm．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
【变式11-2】如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度
数．
【分析】设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解．
【解答】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．
∴底面周长＝2 r，底面面积＝ r2，侧面积＝ ×2 r×R＝ Rr＝2× r2，
∴R＝2r，
π π π π π
∴ ＝2 r＝ R，
∴n＝180°．
π π
【点评】本题利用了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．注意圆锥的侧面积
＝底面周长×母线长÷2．
题型12：圆锥计算与实际应用问题
12.用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．（1）求圆锥的高；
（2）求所需铁皮的面积S（结果保留 ）．
π
【分析】（1）根据勾股定理即可求出高；
（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
AO＝ ＝ ＝30（cm），
∴圆锥的高为30cm；
（2） 80 ×50＝2000 （cm2），
答：所需铁皮
π
的面积为20π00 cm2．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关
π
键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【变式12-1】一个圆锥形沙堆，底面半径是5米，高是2.5米．（ 取3）
（1）求这堆沙子有多少立方米？
π
（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？
（3）在（2）的条件下，一台压路机的前轮直径是1m，前轮宽度是2m．如果前轮每分钟转动6周，这
台压路机压一遍这段路面大约需要多少分钟？（得数保留整数．）
【分析】（1）根据圆锥的体积公式求出这堆沙子的立方米数；
（2）根据体积相等列式计算；
（3）根据压路机一分钟压的面积，进而求出需要的分钟数．
【解答】解：（1）圆锥的体积＝ × ×52×2.5＝ ≈62.5（立方米），
答：这堆沙子约有62.5立方米；
π π
（2）用这堆沙子在 10m 宽的公路上铺 2cm 厚的路面，能铺的米数为：62.5÷（10×0.02）＝312.5
（米），答：用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺312.5米；
（3）压路机一分钟压的面积＝ ×1×2×6≈36（平方米），
则这台压路机压一遍这段路面大约需要的时间＝312.5×10÷36≈87（分）．
π
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的体积公式、圆的面积公式是解题的关键．
【变式12-2】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用
毛毡搭建20个底面半径为4m，总高为4.5m，外围（圆柱）高为1.5m的蒙古包（不包含底面圆），至
少需要多少m2的毛毡？
【分析】由底面圆的半径＝4米，由勾股定理求得母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的
面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．
【解答】解：∵底面半径＝4米，高为4.5m，外围（圆柱）高1.5m，
∴圆锥高为：4.5﹣1.5＝3（m），
∴圆锥的母线长＝ ＝5（m），
∴圆锥的侧面积＝ ×4×5＝20 （平方米）；
圆锥的周长为：2 ×4＝8 （m），
π π
圆柱的侧面积＝8 ×1.5＝12 （平方米）．
π π
∴故需要毛毡：20×（20 +12 ）＝640 （平方米）．
π π
【点评】此题主要考查了勾股定理，圆面积公式，扇形的面积公式，矩形的面积公式等，分别得出圆锥与
π π π
圆柱侧面积是解题关键．
题型13：圆锥与最短距离
13.如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，
其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【分析】先把圆锥侧面展开得到扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，利用弧长公式
得到2 ×3＝ ，解得n＝180，则∠CAB′＝90°，利用勾股定理计算出B′D，然后根据两点
之间线段最短求解．
π
【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，根据题意得2 ×3＝ ，解得n＝180，
∴∠CAB′＝90°，
π
∵D为AC的中点，
∴AD＝3，
在Rt△ADB′中，B′D＝ ＝3 ，
∴蚂蚁爬行的最短距离为3 ．
故答案为3 ．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
【变式13-1】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧
面上的最短距离．
【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．
需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．
【解答】解：圆锥的底面周长是8 ，则8 ＝ ，
∴n＝120°，
π π
即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．
∴∠APB＝60°，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等边三角形，
∵C是PB中点，
∴AC⊥PB，∴∠ACP＝90度．
∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6，
∴在圆锥侧面展开图中AC＝ ＝6 cm．
最短距离是6 cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．
【变式13-2】圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一
周，再回到P点，求这根绳子的最短长度．
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇
形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．
【解答】解：将圆锥侧面沿AB剪开展平，连BB′，则BB′就是所求绳子长．
由2 ×3＝ 得n＝120，
作AC⊥BB'，则∠2＝60°BB'＝2BC，
π
∴∠3＝30°∴AC＝ ，BC＝ ，
∴BB′＝9 ．
【点评】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
一、单选题
1．如图， △ABC 内接于⊙O， ∠A=60° ， OM⊥BC 于点M，若 OM=2 ，则 B´C 的长为（
）
4 8 16
A．4π B． π C． π D． π
3 3 3
【答案】C
【解析】【解答】解：如图示，链接OC，OB，
∵∠A=60°
∴∠COB=120° ,
∵OM⊥BC ， OM=2
OM 2
OC= = =4
∴∠COM=60° ， cos60∘ 1 ，
2
2×π×4 8
∴B´C=120∘× = π ，
360∘ 3
故答案为：C
【分析】链接OC，OB，利用圆周角定理可得 ∠COB=120° ，根据 OM⊥BC ， OM=2 ，可求
出 OC=4 ，利用弧长公式即可求出 B´C 的长度.2．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（ ）
A．3 B．6 C．18 D．36
【答案】B
【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．
60πr2
【解答】扇形的面积= =6π．
360
解得：r=6，
故选：B．
3．如图， AC⊥BC ， AC=BC=8 ，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心， BC
为半径作 A´B ，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则图中阴影部分的面积是（ ）
20π 20π 20π 20π
A． −8√3 B． +8√3 C．8√3− D．4√3+
3 3 3 3
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8.
又∵OE∥AC，
∴∠ACB＝∠COE＝90°.
∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，
∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝4 √3 ，
∴S ＝S −S −S
阴影 扇形BCE 扇形BOD △OCE60π×82 1 1
＝ − ×42π− ×4×4√3
360 4 2
20π
= −8√3
3
故答案为：A.
【分析】如图，连接CE.图中S ＝S −S −S .根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝4，
阴影 扇形BCE 扇形BOD △OCE
BC＝CE＝8，∠ECB＝60°，OE＝4 √3 ，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.
4．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 √3 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中
阴影部分的面积是（ ）
15√3 3 15√3 3
A． ﹣ π B． ﹣ π
4 2 2 2
7√3 π 7√3 π
C． ﹣ D． ﹣
4 6 2 6
【答案】A
【解析】【解答】解：如图连接OD、CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵BC是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2 √3 ，
∴AB=4 √3 ，AC=6，
∴S =S ﹣S ﹣（S ﹣S ）
阴 △ABC △ACD 扇形OCD △OCD
1 1 60π⋅32 √3
= ×6×2 √3 ﹣ ×3× 3√3 ﹣（ ﹣ ×32）
2 2 360 4
15√3 3
= ﹣ π．
4 2
故答案为：A．
【分析】如图连接OD、CD．根据圆周角定理及三角形内角和及同圆的半径相等得出△OCD是等边
三角形，由切线的性质定理，及含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB，AC的长，进而根据
S =S ﹣S ﹣（S ﹣S ）计算即可。
阴 △ABC △ACD 扇形OCD △OCD
5．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB=120°，半径
OA为9m，那么花圃的面积为( )
A．54πm2 B．27πm2 C．18πm2 D．9πm2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵扇形圆心角∠AOB=120°，半径OA为9m，
120×π×92
∴花圃的面积= =27π，
360
故答案为：B。
nπR2
【分析】利用扇形的面积公式： （n是圆心角的度数，R是扇形的半径），代入计算就可求出花
360
圃的面积。
6．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧
面爬行到母线AC的中点P.则小虫爬行的最短路径是（ ）A．3 B．3√5 C．3√3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n°，
nπr
则： ＝6π，其中r＝6
180
∴n＝180，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB＝6，AP＝3，
∴BP＝ √AB2+AP2 ＝ √62+32 ＝ 3√5 （米），
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是 3√5 米.
故答案为：B.
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n°，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长
等于圆锥的底面圆周长可求得扇形的圆心角为n的值，在Rt△ABP中，用勾股定理可求得BP的值，
根据两点之间线段最短可知蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短.
7．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都
在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．3 √2 cm B．2 √3 cm C．6cm D．12cm【答案】A
BC 24
【解析】【解答】解：AB＝ = =12√2 cm，
√2 √2
90π×12√2
∴B´C= =6√2π
180
∴圆锥的底面圆的半径＝ 6√2π ÷（2π）＝3 √2 cm．
故答案为：A．
【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得 B´C 的长度，圆锥的底面圆的半径＝
圆锥的弧长÷2π．
8．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（ a≥2√3r ）的等边三角形内任意运动，则在该等边
三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
π (3√3−π)
A． r2 B． r2 C．(3√3−π)r2 D．πr2
3 3
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，
过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D，E，
1
连AO ，则Rt△ADO 中，∠OAD=30°，OD=r， AD=√3r ．
1 1 1 1
1 √3
∴S = O D⋅AD= r2 ．由 S =2S √3r2 ．
△ADO 1 2 1 2 四边形AOD 1 E △ADO 1
π
∵由题意，∠DO E=120°，得 S = r2 ，
1 扇形O 1 DE 3
π
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为 3(√3r2− r2 ) = (3√3−π)r2 ．
3
故选：C．【分析】过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO ，则在Rt△ADO 中，可求
1 1 1
得 AD=√3r ．四边形ADO E的面积等于三角形ADO 的面积的2倍，还可求出扇形ODE的面积，
1 1 1
所求面积等于四边形ADO E的面积减去扇形ODE的面积的三倍．
1 1
二、填空题
9．如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为 .
【答案】
【解析】【解答】
nπr 60π×6
根据弧长的公式l= = =2π.
180 180
【分析】直接根据弧长公式进行计算．
10．如图，正方形ABCD的边长为6，分别以A、B为圆心，6为半径画 ^BD 、 ^AC ，则图中阴影
部分的面积为 ．
【答案】9 √3 ﹣3π
【解析】【解答】解：如图：
阴影部分的面积=S ﹣S ﹣2（长方形AFED的面积﹣扇形DAG的面积﹣三角形AGF的面
正方形ABCD 扇形ABC
90⋅π×62 30⋅π×62 1
积）=36﹣ ﹣2（3×6﹣ ﹣ × 3×3 √3 ）=9 √3 ﹣3π，
360 360 2
故答案为：9 √3 ﹣3π．
【分析】连接AG，过点G作GF⊥AB于点F，交DC于点E，观察图形可知阴影部分的面积=S
正方形
﹣S ﹣2（长方形AFED的面积﹣扇形DAG的面积﹣三角形AGF的面积），即可求得结果。
ABCD 扇形ABC
11．如图，在矩形 ABCD 中， AB=1,∠DBC=30° . 若将 BD 绕点 B 旋转后，点 D 落在 BC
延长线上的点 E 处，点 D 经过的路径为 D´E ，则图中阴影部分的面积为 .π √3
【答案】 −
3 2
【解析】【解答】由矩形的性质得： ∠BCD=90°,CD=AB=1
∵∠DBC=30°
∴BD=2CD=2,BC=√BD2−CD2=√3
1 1 √3
∴RtΔBCD 的面积为 S = BC⋅CD= ×√3×1=
ΔBCD 2 2 2
π
扇形BDE所对的圆心角为 ∠DBC=30°= ，所在圆的半径为BD
6
1 π 1 π π
则扇形BDE的面积为 S = × ⋅BD2= × ×22=
扇 形BD2E 6 2 6 3
π √3
所以图中阴影部分的面积为 S =S −S = −
阴影 扇 形BDEΔBCD 3 2
π √3
故答案为： − .
3 2
【分析】先利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD和BC的长，再求出 RtΔBCD 和扇形BDE的
面积，两者作差即可得.
12．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB=2 ，当风车转动90°时，点 B 运动路径的长度为
.
【答案】π
90×π×2
【解析】【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝ ＝ π ，
180
故答案为： π .
【分析】根据题意，点B旋转的路径是一个半径为AB，圆心角为90°的圆弧，然后根据弧长公式“nπr
l= ”计算即可.
360
13．若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
90⋅π⋅1
根据题意得8π＝ ，解得l＝16，
180
即该圆锥的母线长为16．
故答案为：16
【分析】圆锥底面圆的周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，所以用弧长公式列出方程，求得扇
形的半径即为圆锥的母线长。
14．用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为
．
【答案】4√2
4√2×120π
【解析】【解答】解：扇形的弧长即圆锥的底面周长是 ，若底面半径是R，则
180
6×120π
=2πR ，∴R=2，
180
∴圆锥的高是 √62−22=4√2 ．
【分析】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径，圆锥的高，母线
长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决．
三、解答题
15．如图，△OAB的底边与⊙O相切，切点为C，且OA=OB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点，
D、E分别为OA、OB的中点。
（1）求∠AOB的度数；
π
（2）若阴影部分的面积为√3− ，求⊙O的半径r
3【答案】解：（1）连接OC，由AB与圆O相切，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，得到OC为角
平分线，再由D、E分别为OA、OB的中点，得到OD=AD=OE=EB，即OC为OA的一半，OC为OB
的一半，可得出∠A=∠B=30°，即可求出∠AOB=120°；
（2）设OC=r，可得出OA=2r，利用勾股定理表示出AC，进而确定出AB的长，由三角形OAB的面
积-扇形DOE的面积表示出阴影部分面积，分别利用三角形及扇形的面积公式，以及已知阴影部分的
面积列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆O的半径r。
【解析】【分析】考查三角形与圆重合，求阴影问题，需注意直角三角形斜边上的中线，扇形的面积，
图形的位置。
∧ ∧
16．如图，AB、CD为⊙O的直径，
AC
=
CE
，求证：BD=CE．
∧ ∧
【答案】证明：∵ = ，
AC CE
∴AC=CE．
∵∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD，
∴BD=CE．
∧ ∧
【解析】【分析】先由
AC
=
CE
，得出AC=CE，由∠AOC=∠BOD得出AC=BD，等量代换即可得到
BD=CE．
17．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2cm ，扇
形的圆心角 θ=120° ，求该圆锥的母线长 l ．【答案】解：圆锥的底面周长 =2π×2=4π(cm) ，
120⋅π⋅l
由题意可得 =4π ，解得 l=6 ，
180
所以该圆锥的母线长为 6cm
【解析】【分析】根据题意求出 ，最后计算求解即可。
四、综合题
18．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OE。 ∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。
∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。
∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。
（2）解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。
∴∠DAE=∠EAO=30°。
1
∵AB=6，∴在Rt△ABE中，BE= AB =3， AE= 3√3
2
√3 9
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE= 3√3 ，∴AD=AEcos30∘=3√3× = 。
2 2
②连接OE ∵∠EAO=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°−∠EAO−∠AEO=1800−300−300=1200 。
1
∵OA=OB，∴S =S = S ❑ 。
ΔAOE ΔBOE 2 ΔAB E
1 120π×9 1 1 9
∴S =S −S =S − S = − ⋅ ⋅3⋅3√3=3π− √3
阴影 扇 形AOEΔAOE 扇 形AOE2 ΔABE 360 2 2 4
【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得出OE⊥CD，根据同一平面内垂直于同一条直线
的两条直线互相平行得出AD∥OE，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠AEO，根据等边对等
角得出∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，即AE平分∠DAC；
（2）①根据圆周角定理得出∠AEB=90°，根据三角形的内角和得出∠EAO=30°，故
∠DAE=∠EAO=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BE，AE的长，在Rt△ADE中，利
用余弦函数的定义，由AD=AEcos30∘即可算出AD的长；②连接OE，根据三角形的内角和算出
1
∠AOE的度数，根据三角形的中线将三角形分割成面积相等的两个三角形得出S =S = S
ΔAOE ΔBOE 2 ΔABE，
1
然后由 S =S −S =S − 即可算出答案。
阴影 扇形AOE ΔAOE 扇形AOE 2SΔABE，
19．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）解：如图，连接OC， ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2 √3 ，
1
易求S = ×2 √3 ×1= √3
△AOC 2
120π×4 4π
S = = ，
扇形OAC 360 3
4π
∴阴影部分面积为 −√3
3
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等边对等角得出∠BAC=∠OCA，又∠BCD=∠BAC，故
∠BCD=∠OCA，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°根据等量代换得出∠OCD=90°，从而
得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，故AB=2r，根据三角形的内角和及含30°直角三角形的边之间的关系得出
OD=2r，∠COB=60°故r+2=2r，求解得出r的值，根据邻补角的定义得出∠AOC=120°，然后利用勾股
定理算出AC的长，根据阴影部分的面积=S S ，扇形面积计算方法，及三角形的面积计算方
扇形OAC- △AOC
法，即可算出答案。
