文档内容
第 27 讲 电场能的性质
——划重点之精细讲义系列
一．电势 等势面和电势能
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零势点高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零势点的不同而不同，通常取
无限远或地球的电势为零．
2．等势面的特点
(1)同一等势面上的任意两点间移动电荷电场力不做功．
(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直．
(3)电场线总是从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
(4)等差等势面越密的地方场强越大，反之越小．
3．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点具有的势能，等于将电荷从该点移到零势点位置时电
场力所做的功．
(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即W
AB
＝E －E ＝－ΔE.
pA pB p
二．电势差 匀强电场中电势差与场强的关系
1．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时， 电场力 F 做的功 与移动的电
荷的电荷量的比值．
(2)定义式：U ＝.
AB
(3)电势差与电势的关系：U ＝φ － φ ，U ＝－U .
AB A B AB BA
(4)影响因素：电势差U 由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的
AB
功W 无关，与零电势点的选取无关．
AB
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U ＝Ed，其中d为电场中两点间沿场强方向的距离．
AB
(2)在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上降低的电势；
注意：电场中，场强方向是指电势降落最快的方向．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点一 电势 等势面和电势能
考向1：电势与电势能的判断
1．电势高低的判断
判断角度 判断方法
依据电场线
沿电场线方向电势逐渐降低
方向
依据场源电 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠
荷的正负 近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
依据电场力
根据U ＝，将W 、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
做功 AB AB
依据电势能
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
的高低
2.电势能大小的判断
判断角度 判断方法
电场力做正功，电势能减小
做功判断法
电场力做负功，电势能增加
正电荷在电势高的地方电势能大
电荷电势法
负电荷在电势低的地方电势能大
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式E ＝qφ，正
p
E 的绝对值越大，电势能越大；负 E 的绝对值越大，
公式法 p p
电势能越小
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能
能量守恒法 相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，
电势能增加
【典例1】(多选)如图所示，在x轴上相距为L的两点固定两个等量异种点电荷＋
Q、－Q，虚线是以＋Q所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其
中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称．下列判断正确的是( )
A．b、d两点处的电势相同
B．四个点中c点处的电势最低
C．b、d两点处的电场强度相同
D．将一试探电荷＋q沿圆周由a点移至c点，＋q的电势能减小
【典例2】 (多选)如图所示，有一对等量异种电荷分别位于空间中的a点和f点，
以a点和f点为顶点作一正立方体．现在各顶点间移动一试探电荷，关于试探电荷受电
场力和具有的电势能，以下判断正确的是( )
A．在b点和d点受力大小相等，方向不同
B．在c点和h点受力大小相等，方向相同
C．在b点和d点电势能相等
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．在c点和h点电势能相等
带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．
(2)判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指
向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断场强的方向．
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场
力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
考向2：几种常见的典型电场等势面的对比分析
电场 等势面(实线)图样 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇等间距平面
点电荷的电
以点电荷为球心的一簇球面
场
等量异种点
连线的中垂面上的电势为零
电荷的电场
等量同种正
连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势
点电荷的电
最高．关于中点左右对称或上下对称的点电势相等
场
【典例1】 关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正
功
【典例2】(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，
一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只
受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是( )
A．带正电
B．速度先变大后变小
C．电势能先变大后变小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．经过b点和d点时的速度大小相等
考点二 电场强中电势差与电场强度的关系
考向1：在匀强电场中由公式U＝Ed得出“一式二结论”
(1)“一式”：E＝＝，其中d是沿电场线方向上的距离．
(2)“二结论”
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φ ＝，如图1所示．
C
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U ＝U (或φ －φ ＝φ －
AB CD A B C
φ )，如图2所示．
D
【典例1】 (多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm
的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面
与电场线平行．下列说法正确的是( )
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
【典例2】(多选)如图所示 ，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上
的三个点，各点的电势分别为φ ＝5 V，φ ＝2 V，φ ＝3 V，H、F三等分AB，G为AC
A B C
的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向2：E＝在非匀强电场中的妙用
(1)解释等差等势面的疏密与场强大小的关系，当电势差U一定时，场强E越大，
则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密集．
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越
大，U越大；E越小，U越小．
(3)利用φ x图象的斜率判断沿x方向场强E 随位置的变化规律．在φ x图象中斜
x
率k＝＝＝E，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向．
x
【典例1】电场中某三条等势线如图甲中实线a、b、c所示．一电子仅在电场力作
用下沿直线从P运动到Q，已知电势φ>φ>φ，这一过程电子运动的v t图象可能是图
a b c
乙中的( )
【典例2】如图所示的同心圆是电场中的一簇等势线，一个电子只在电场力作用
下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的
是( )
A．电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小
B．电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大
C．电势差U ＝U
AB BC
D．电势φ <φ <φ
A B C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点三 电场中的功能关系
1．求电场力做功的四种方法
(1)定义式：W ＝Flcos α＝qEdcos α(适用于匀强电场)．
AB
(2)电势的变化：W＝qU ＝q(φ －φ )．
AB A B
(3)动能定理：W ＋W ＝ΔE.
电 其 k
(4)电势能的变化：W ＝－ΔE ＝E －E .
AB pBA pA pB
2．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量．
(4)所有外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化．
【典例1】如图所示， 虚线PQ、MN间存在如图所示的水平匀强电场， 一带电
粒子质量为m ＝2.0 × 10－11kg、电荷量为q＝＋1.0×10－5 C，从a点由静止开始经电
压为U＝100 V的电场加速后，垂直于匀强电场方向进入匀强电场中，从虚线MN上的
某点b(图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ、MN间距离为
20 cm，带电粒子的重力忽略不计．求：
(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速度v；
1
(2)匀强电场的场强大小；
(3)ab两点间的电势差．
【典例2】如图所示，直线MN是某电场中的一条电场线(方向未画出)．虚线是一
带电的粒子只在电场力的作用下，由a到b的运动轨迹，轨迹为一抛物线．下列判断
正确的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．电场线MN的方向一定是由N指向M
B．带电粒子由a运动到b的过程中动能一定逐渐减小
C．带电粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
【典例3】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平
地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向
下压至某位置静止．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电
场力对小球所做的功分别为W 和W ，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上
1 2
述过程中( )
A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球的重力势能增加－W
1
C．小球的机械能增加W＋mv2
1
D．小球的电势能减少W
2
【典例4】 (多选)某导体置于电场后周围的电场分布情况如图所示，图中虚线表
示电场线，实线表示等势面，A、B、C为电场中的三个点．下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度小于B点的电场强度
B．A点的电势高于B点的电势
C．将负电荷从A点移到B点，电场力做正功
D．将正电荷从A点移到C点，电场力做功为零
【典例5】 (多选)光滑绝缘水平面上有两个带等量异种电荷的小球A、B，小球A
通过绝缘轻弹簧与竖直墙相连，如图所示．今小球 B在外力F作用下缓慢向右移动，
移动中两小球带电荷量不变，则对两小球和弹簧组成的系统的分析正确的是( )
A．外力F对系统做正功，弹性势能增大
B．外力F对系统做正功，弹性势能减小
C．静电力做正功，电势能减小
D．静电力做负功，两球间电势差增大
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)电荷在电场中运动时，电场力做功将引起电势能与其他形式的能相互发生转化，
电荷的机械能不再守恒．
(2)要搞清几个功能关系：重力做功等于重力势能的变化，电场力做功等于电势能
的变化，弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，合外力做功等于动能的变化．
(3)无论能量如何变化，总是满足能量守恒定律．
考点四 静电场中的三类图象问题
考向1: v t图象
根据v t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力
的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【典例1】(多选)如图(a)，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点，
将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放，粒子从a运动到b过程中的v t图线如图(b)
所示．设a、b两点的电势分别为φ、φ，电场强度大小分别为E、E，粒子在a、b两
a b a b
点的电势能分别为W、W，不计重力，则有( )
a b
A．φ＞φ B．E＞E
a b a b
C．E＜E D．W＞W
a b a b
考向2：φ x图象
(1)电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x图线存在极
值，其切线的斜率为零．
(2)在φ x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场
强度的方向．
(3)在φ x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用W ＝qU ，进而分析W 的
AB AB AB
正负，然后作出判断．
【典例2】两电荷量分别为q 和q 的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连
1 2
线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的
C点电势最高，则( )
A．N点的电场强度大小为零
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．A点的电场强度大小为零
C．NC间电场强度方向指向x轴正方向
D．将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功
考向3：Ex图象
在给定了电场的Ex图象后，可以由图线确定电场强度的变化情况，电势的变化情
况，Ex图线与x轴所围图形“面积”表示电势差．在与粒子运动相结合的题目中，可
进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
在这类题目中，还可以由Ex图象假设某一种符合Ex图线的电场，利用这种已知
电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题．
【典例3】(多选) 静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正
向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
A．在x 和x 处电势能相等
2 4
B．由x 运动到x 的过程中电势能增大
1 3
C．由x 运动到x 的过程中电场力先增大后减小
1 4
D．由x 运动到x 的过程中电场力先减小后增大
1 4
1．(多选)关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是( )
A．电场强度的方向处处与等电势面垂直
B．电场强度为零的地方，电势也为零
C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低
D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向
2. 如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A
点的电势φ ＝30 V，B点的电势φ ＝－10 V，则C点的电势( )
A B
A．φ ＝10 V
C
B．φ ＞10 V
C
C．φ ＜10 V
C
D．上述选项都不正确
3. 一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线分布如图所示．容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确
的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
4. 如图所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P
的电场中运动．运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅
受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为a 、a 、a，速度大小分别为
a b c
v、v、v，则( )
a b c
A．a>a>a，v>v>v
a b c a c b
B．a>a>a，v>v>v
a b c b c a
C．a>a>a，v>v>v
b c a b c a
D．a>a>a，v>v>v
b c a a c b
5．如图所示，一带电小球沿与CD平行方向，射入倾角为θ的光滑斜面上，斜面
所在区域存在和AD平行的匀强电场，小球运动轨迹如图中虚线所示，则( )
A．若小球带正电荷，则电场方向一定沿斜面向下
B．小球从M点运动到N点电势能一定增加
C．小球从M点运动到N点动能一定增加
D．小球从M点运动到N点机械能一定增加
6. 如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图中箭
头所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直
于MN.以下说法正确的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．O点电势与Q点电势相等
B．O、M间的电势差小于N、Q间的电势差
C．将一负电荷由M点移到Q点，电荷的电势能增加
D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
7．(多选) 如图所示，两电荷量分别为Q(Q＞0)和－Q的点电荷对称地放置在x轴
上原点O的两侧，a点位于x轴上O点与点电荷Q之间，b点位于y轴O点上方．取无
穷远处的电势为零．下列说法正确的是( )
A．b点电势为零，电场强度也为零
B．正的试探电荷在a点的电势能大于零，所受电场力方向向右
C．将正的试探电荷从O点移到a点，必须克服电场力做功
D．将同一正的试探电荷先后从O、b两点移到a点，后者电势能的变化较大
8．(多选)如图所示的水平匀强电场中，将两个带电小球M和N分别沿图示路径移
动到同一水平线上的不同位置，释放后，M、N保持静止，不计重力，则( )
A．M的带电量比N的大
B．M带负电荷，N带正电荷
C．静止时M受到的合力比N的大
D．移动过程中匀强电场对M做负功
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐
标原点O处的电势为零，点A 处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的
大小为( )
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
10. 如图，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】们的交点，四点处的电势分别为φ 、φ 、φ 、φ .一电子由M点分别运动到N点和P点
M N P Q
的过程中，电场力所做的负功相等．则( )
A．直线a位于某一等势面内，φ ＞φ
M Q
B．直线c位于某一等势面内，φ ＞φ
M N
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
11. (多选) 如图所示，一带电粒子在两个固定的等量正电荷的电场中运动，图中的
实线为等势面，虚线ABC为粒子的运动轨迹，其中B点是两点电荷连线的中点，A、C
位于同一等势面上．下列说法正确的是( )
A．该粒子可能带正电
B．该粒子经过B点时的速度最大
C．该粒子经过B点时的加速度一定为零
D．该粒子在B点的电势能小于在A点的电势能
12．两电荷量分别为q 和q 的点电荷固定在x轴上的O、M两点，两电荷连线上
1 2
各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中C为ND段电势最低的点，则下列说法正确
的是( )
A．q、q 为等量异种电荷
1 2
B．N、C两点间场强方向沿x轴负方向
C．N、D两点间的电场强度大小沿x轴正方向先减小后增大
D．将一正点电荷从N点移到D点，电势能先增大后减小
13．一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动．取该直线
为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能E 与位移x的关系如图所示，下列图象中合
p
理的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．(多选)如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面与竖
直平面重合．一光滑细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为 m
＝10 g的带正电的小球，小球所带电荷量 q＝5.0×10－4C.小球从C点由静止释放，其
沿细杆由C经B向A运动的v t图象如图乙所示．小球运动到B点时，速度图象的切
线斜率最大(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是( )
A．在O点右侧杆上，B点场强最大，场强大小为E＝1.2 V/m
B．由C到A的过程中，小球的电势能先减小后增大
C．由C到A电势逐渐降低
D．C、B两点间的电势差U ＝0.9 V
CB
1．（2022·重庆·高考真题）（多选）如图为两点电荷Q、 的电场等势面分布示意图，
Q、 位于x轴上，相邻等势面的电势差为 。若x轴上的M点和N点位于 等势
面上，P为某等势面上一点，则（ ）
A．N点的电场强度大小比M点的大
B．Q为正电荷
C．M点的电场方向沿x轴负方向
D．P点与M点的电势差为
2．（2022·海南·高考真题）（多选）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点的电场强度为 ，电势为 ，B点的电场强度为 ，电势为 ，则有（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·海南·高考真题）（多选）如图，带正电 的物块A放在水平桌面上，
利用细绳通过光滑的滑轮与B相连，A处在匀强电场中， ，从O开始，
A与桌面的动摩擦因数 随x的变化如图所示，取O点电势能为零，A、B质量均为 ，
B离滑轮的距离足够长，则（ ）
A．它们运动的最大速度为
B．它们向左运动的最大位移为
C．当速度为 时，A的电势能可能是
D．当速度为 时，绳子的拉力可能是
4．（2022·江苏·高考真题）如图所示，正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点
电荷，电荷量相等，O是正方形的中心。现将A点的电荷沿OA的延长线向无穷远处移
动，则（ ）
A．在移动过程中，O点电场强度变小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．在移动过程中，C点的电荷所受静电力变大
C．在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功
D．当其移动到无穷远处时，O点的电势高于A点
5．（2022·湖北·统考高考真题）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属
板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油
滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差
为U时，电荷量为q、半径为r的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调
整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（ ）
A．q，r B．2q，r C．2q，2r D．4q，2r
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、
N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t=0时刻，M板中点处的粒子源发
射两个速度大小为v 的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为 ；
0
平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（
）
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度
D．粒子从N板下端射出的时间
7．（2022·河北·统考高考真题）如图，真空中电荷量为 和 的两个点电荷
分别位于 点与 点，形成一个以 延长线上 点为球心，电势为零的等势面（取
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】无穷处电势为零）， 为 连线上的一点，S为等势面与直线 的交点， 为等势
面上的一点，下列说法正确的是（ ）
A． 点电势低于 点电势 B． 点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点 D．将正试探电荷
从T点移到P点，静电力做正功
8．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所
加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电
粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的
时间t。
9．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨在
B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止
释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为 ，之后沿轨道 运动。以O为坐标
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与x轴夹角为 的匀强电场，进
入电场后小球受到的电场力大小为 。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力
加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
10．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因
此获得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相
距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰
撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为 、位于同一竖直线上的球形小油
滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离 。此时给两极板加上电压U（上极板接正
极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内
上升了距离 ，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动
直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为 ，其中k为比例系数，m为
油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离 电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
