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专题 08 二次函数的实际应用
【思维导图】
◎考点题型1 图形问题
例．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室九年级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃
园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂
直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40－x）B．y＝x（18－x）C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x）
【答案】C
【解析】
【分析】
由垂直于墙的一边的长为x米，用含x的式子表示平行于墙的边的长度，再利用面积公式即可求出．
【详解】
设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，所以平行于墙的边的长度为（40-2x）米，由题意则有：y=x(40-2x)，
∴y关于x的函数关系式为y=x(40-2x)，
故选择：C．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用问题，掌握几何问题的函数解析式的求法，解题时应注意用墙长限制自变量
的范围．
变式1．（2022·山东济宁·二模）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 的篱笆围成．
已知墙长为 若平行于墙的一边长不小于 则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2，根据二次函数的
图象及性质求最值即可．
【详解】
解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2
由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15
解得：2.5≤x≤6
∵-2＜0，二次函数图象的对称轴为直线x=5
∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；
当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；
故选C．
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
变式2．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，
现有围栏40米，设AB长x米．(1)BC的长为 米（用含x的式子表示）；
(2)求这个花园的面积最大值．
【答案】(1)（40-2x）
(2)200平方米
【解析】
【分析】
（1）由AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米可得答案；
（2）根据矩形的面积公式得出y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，再利用二次函数的性质求解即可．
(1)
解：由题意知AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米，
所以BC的长为（40-2x）米，
故答案为：（40-2x）；
(2)
解：设这个花园的面积为y 平方米，由题意得：
y=x（40-2x）
=-2x2+40x
=-2（x-10）2+200，
∵-2＜0，
∴当x=10时，y取得最大值，最大值为200，
答：这个花园的面积最大值为200平方米．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
变式3．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米
的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．
【答案】(1) ．
(2)当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【解析】
【分析】
（1）由 ，可得出 ，由墙长10米，可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出
的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出 关于 的函数关系式；
（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解．
(1)
解： ，
．
又 墙长10米，
，
．
．
(2)
解：由（1）可知： ，
∴当 时，矩形的场地面积最大，最大值为50；
答：当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．◎考点题型2 图形运动问题
例．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，矩形 中， ， ，动点 和 同时从点
出发，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达点 时停止，点 以每秒 的速度沿
的方向运动，到达点 时停止．设点 运动 （秒）时， 的面积为 ，则
关于 的函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用
时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜
x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
【详解】
解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C
运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝ •2x•4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝ ×4×8＝16，③当3＜x≤5时，
y＝ ×4×（4＋8＋4−4x）＝32−8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间
分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．
变式1．（2022·湖北咸宁·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为4， ，动点E从A开始，以每秒
2个单位的速度沿路径A—B—C—D移动，动点F从点A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—D移动，
F点到达终点D点后停下来不动，另一个动点继续向终点D点移动，直至终点D才停下来，设点E移动的
时间为x（单位：s）， 的面积记为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分当E在AB边上、在BC边上和在CD边上时，三种情况讨论，即可得出答案．
【详解】
解：当E在AB边上时，0＜x＜2，AE=AF=2x，
在Rt△AEF中，此时
y= AE×AF×sin60°= ，是一段开口向上的抛物线；
当E在BC边上时，2≤x≤4，此时△AEF的面积不变，为菱形面积的一半，
y= ×4×4×sin60°= ，是一条线段；
当E在CD边上时，4＜x≤6，DE=12-2x，
此时y= DE×AD×sin60°= ，也是一条线段；
综上，只有C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角函数及动态问题中线段长度的求法是解题的关
键．
变式2．（2021·宁夏·固原市原州区三营中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，
AC= cm，动点P从点B开始沿边BA向点A以2cm的速度移动（不与点A重合），动点Q从点C开
始沿边CB向B以4cm的速度移动（不与B重合）．如果P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为x
（s），四边形APQC的面积为y（cm2）
（1）求y与x的函数关系式：
（2）求自变量x的取值范围：
（3）四边形APQC的面积能否等于172cm2?若能，求出运动时间；若不能，请说理由．
【答案】（1）y＝4t2﹣24t+144；（2）0＜t＜6；（3）不能，理由见解析【解析】
【分析】
（1）先勾股定理求得 的长，再利用两个直角三角形的面积差求得答案即可；
（2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可；
（3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，AC= cm，
cm
∵出发时间为t，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为4cm/s，
∴PB＝2t，BQ＝24-4t，
∴ ＝4t2﹣24t+144．
（2）∵ ，
∴0＜t＜6．
（3）不能，
4t2﹣24t+144＝172，
解得：t＝7，t＝﹣1（不合题意，舍去）
1 2
因为0＜t＜6．所以t＝7不在范围内，
所以四边形APQC的面积不能等于172cm2．
【点睛】
此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
变式3．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有
动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P
的速度是2cm/s，点Q的速度是lcm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设
运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．
（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？【答案】（1） ；（2）当运动1或5秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2
【解析】
【分析】
（1）先表示出AP=2t，CP=12-2t，再利用三角形面积公式即可求解；
（2）把S=5代入 ，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：AP=2t，CQ=t，CP=12-2t，
∴S= ，即： ；
（2）当S=5时， ，
解得：t=1或5，
答：当运动1或5秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用以及解一元二次方程，根据数量关系，列出函数解析式是解题的关键．
◎考点题型3 拱桥问题
例．（2022·河北石家庄·三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，
并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
其中结论正确的是（ ）A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点
坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【详解】
①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得 ，
解得 ，池底所在抛物线解析式为 ，则②正确；
③将 代入解析式得 ，解得 ，则池塘最深处到水面CD的距离为
m,则③错误；
④设原宽度为 时最深处到水面的距离为 m，宽度减少为原来的一半时距离为
m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度
为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将 代入解析式
求得相应的x的值，进而求得答案．
【详解】
解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：
∴设抛物线解析式为： ，
∵观察图形可知抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ，
∴当水位下降 米后，即当 时，有 ，
∴ ， ，
∴水面的宽度为： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．变式2．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米
时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为 ，再把点A（-2，-2）代入，即可求解；
（2）根据题意可得水面AB下降1米，到CD处时，点D的纵坐标为-3，把y=-3代入，可得到水面的宽度，
即可求解；
（3）根据题意可得当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，把y=-1代入，可得到水面的宽度，
即可求解．
（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为 ，∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．
∴点A（-2，-2），B（2，-2），把点A（-2，-2）代入得： ，解得： ，∴该抛物线的
函数解析式为 ；
（2）解：∵水面AB下降1米，到CD处，∴点D的纵坐标为-3， 当y=-3时， ，解得：，∴此时水面宽度为 米，∴水面宽度增加 米；
（3）解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，当y=-1时， ，解得： ，
∴此时水面宽度为 米，∴水面宽度减少 米．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥
拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，
有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
船底与水面齐平）．
【答案】(1)y=- x2+2x （0≤x≤8）；
(2)不会碰到头，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y=a（x-4）2+4，再根据图
象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
（1）解：如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶
点B （4，4），点O （0，0），设二次函数的表达式为y=a（x-4）2+4，将点O （0，0）代入函数表达
式，解得：a=- ，∴二次函数的表达式为y=- （x-4）2+4，即y=- x2+2x （0≤x≤8）；
（2）解：工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得：工人距O点距离为0.4+ ×1.2=1，∴将x=1代入y=- x2+2x，解得：y= =1.75，∵1.75m＞1.68m，∴
此时工人不会碰到头．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
◎考点题型4 销售问题
例．（2022·全国·九年级课时练习）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．
经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价
多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据“总利润=每件衬衫的利润×销售量”列出一元
二次方程，解方程后根据题意取舍即可得．
【详解】
解: 设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，
根据题意，得 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方
程．
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：
当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店
平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
【答案】B【解析】
【分析】
设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为 元，平均每天售出
件， 根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求
解．
【详解】
解：设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为 元，平均每天售出
件， 根据题意得：
，
∵
∴当 时， 最大，
即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
变式2．（2021·四川成都·三模）习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上的讲话中指出，中国宣
布将提高“国家自主贡献”力度，力争2030年前二氧化碳排放达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．
为了响应习近平主席的号召，某新能源汽车制造商一次性投资9000万研发一款新型新能源汽车，如果按每
辆20万元定价能卖出4000辆，如果每辆车定价每提高1万元少卖出200辆．设销售数为y（辆），销售价
格为x（万元）．
(1)求销售数y（辆）与销售价格x（万元）之间的关系式；
(2)如果每生产一辆汽车，需要再投入18万元，当销售价格定为多少时，才能使得利润最大，最大利润为
多少？
【答案】(1)y=-200x+8000
(2)销售价格定为29万元时，才能使得利润最大，最大利润为15200万元
【解析】
【分析】（1）由题意直接写出函数关系式即可；
（2）根据利润等于销量×定价-一次性投资-再投资列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
（1）解：由题意得：y=4000-200（x-20）=-200x+8000（x≥20），∴销售数y与销售价格x之间的关系式为
y=-200x+8000；
（2）解：设利润为w万元，由题意得：w=yx-9000-18y=（x-18）y-9000=（x-18）（-200x+8000）-
9000=-200x2+11600x-153000=-200（x-29）2+15200，∵-200＜0，∴当x=29时，w最大，最大值为15200万
元，∴销售价格定为29万元时，才能使得利润最大，最大利润为15200万元．
【点睛】
本题考查一次函数以及二次函数的应用，关键是根据已知条件列出函数关系式，利用二次函数的性质解答．
变式3．（2022·江苏淮安·九年级期末）某电脑科技公司开发出一种半导体软件，从研发到年初上市后，经
历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）
与销售时间x（月）之间的函数关系，根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)截止到几月末公司累计利润达到30万元？
【答案】(1)
(2)9月末
【解析】
【分析】
（1）设y=a（x-1）2-2，把图中坐标代入求解；
（2）令y=30，代入解析式求出x即可．
(1)
解：设y=a（x-1）2-2，
把（4，2.5）代入得：
2.5=a（4-1）2-2，
解得a= ，∴函数表达式为： ；
(2)
由题意得： ，
解得：x=9，x=-7（舍），
1 2
∴截止到9月末公司累计利润达到30万元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题时要从图像中寻找关键信息，获取点的坐标．
◎考点题型5 投球问题
例．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，
实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y
（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y= ，则该同学此次投掷实心球的成绩是
（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
【答案】D
【解析】
【分析】
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
【详解】
解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y=0，则 =0，
整理得：x2-8x-20=0，
解得：x=10，x=-2（舍去），
1 2∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实
心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．
已知该同学出手点A的坐标为 ，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意待定系数法求解析式，再令 ，即可求解．
【详解】
解：∵实心球运动的抛物线的解析式为 ，点A的坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
，
令 ， ，
即 ，
解得 （舍去） ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质是
解题的关键．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位：
）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间 0 1 2
飞行高度 0 15 20
(1)求小球的飞行高度 （单位： ）关于飞行时间 （单位： ）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？
(3)小球的飞行高度能否达到 ？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令h=0即可求解；
（3）令 ，得到方程无解即可判断．
(1)
由题意可设 关于 的二次函数关系式为 ，
因为当 ，2时， ，20，
∴ ，解得： ．
∴ 关于 的二次函数关系式为 ．
(2)
当 ， ，解得： ， ．
∴小球从飞出到落地所用的时间为 ．
(3)
小球的飞行高度不能达到 ．
理由如下：
当 时， ，方程即为 ，
∵ ，
∴此方程无实数根．
即小球飞行的高度不能达到 ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意
进行解答．
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异
成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是
如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起
跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
(1)当 时，求这条抛物线的解析式．
(2)当 时，求运动员落水点与点 的距离．
(3)图中 米， 米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的
取值范围．【答案】(1)y=-（x-3）2+4
(2)5米
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+4，将点A（2，3）代入可得；
（2）在（1）中函数解析式中令y=0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y=a（x-3）2+k，中，当
米，y>0，当 时，y=0，解不等式，即可求解．
(1)
解：如图，
根据题意得：抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）
可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+4，
∴3=a（2-3）2+4，解得：a=-1，
∴抛物线解析式为：y=-（x-3）2+4；
(2)
由题意可得：当y=0时， 0=-（x-3）2+4，
解得：x=1，x=5，
1 2
∴抛物线与x轴交点为：（5，0），
∴当k=4时，运动员落水点与点C的距离为5米；
(3)
解：根据题意，抛物线解析式为：y=a（x-3）2+k，
将点A（2，3）代入得：
a+k=3，即a=3-k，
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，当 时， ，即 ，
∴ ，解得： ，
当 时， ，即 ，
∴ ，解得： ，
∴跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，k的取值范围为 ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置
对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
◎考点题型6 喷水问题
例．（2022·全国·九年级专题练习）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高
度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC
＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A．9m B．10m C．11m D．12m
【答案】A
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
【详解】
解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，y＝9，
即AD＝9m，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题关键是用待定系数法求出函数的解析式．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物
线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可以求得抛物线的解析式，从而可以求得点B的坐标，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3，
2.25=a（0-1）2+3，
解得a=-0.75，
∴y=- （x-1）2+3，
当y=0时，- （x-1）2+3=0，
解得，x=-1，x=3，
1 2
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB=3，答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质
解答．
变式2．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷
水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为
1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．
请解决以下问题：
(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐
标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．
(2)求出水柱最高点P到地面的距离．
(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应
小于多少米？请说明理由．
【答案】(1) ； ；
(2) m
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合平面直角坐标系即可求得答案．
（2）根据（1）中点A、点C的坐标及抛物线的对称轴即可求得抛物线的解析式，根据顶点式即可求得函
数最大值，从而求得答案．（3）由（2）中函数的表达式，当 时求出函数的值，从而即可求得答案．
(1)
解：根据题意由坐标系可得，
点A的坐标为 ，
点C的坐标 ，
又由点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，
水流轨迹抛物线的对称轴 ，
故答案为： ； ； ．
(2)
设抛物线的表达式为： ，由（1）可得，
，
解得 ，
，
当 时， 有最大值为 ，
水柱最高点P到地面的距离 m．
(3)
物体的高度应小于 米，
由（2）得 ，
当 时， ，
物体的高度应小于 米．【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置
OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路
径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）
之间的关系式可以用 表示，且抛物线经过点 ， ．请根据以上信息，解答下
列问题：
(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】(1)喷水装置OA的高度为 米；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是 米；
(3)水池的半径至少要1+ 米，才能使喷出的水流不至于落在池外
【解析】
【分析】
（1）将点B、C坐标代入y＝﹣x2+bx+c列方程组求出b、c的值即可得解析式，令x＝0可得y的值，即喷
水装置OA的高度；
（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；
（3）令y＝0可得对应x的值．
（1）解：根据题意，将点B（ ， ），C（2， ）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+2x+ ，当x＝0时，y＝ ，∴喷水装置OA的高度为 米；
（2）解∵y＝﹣x2+2x+ ＝﹣（x﹣1）2+ ，∴当x＝1时，y取得最大值 ，故喷出的水流距水面的最大
高度是 米；
（3）解：当y＝0时，﹣x2+2x+ ＝0，解得：x＝1﹣ ，x＝1+ ，∵x＝1﹣ ＜0，不合题意，
1 2 1
舍去，∴x＝1+ ，答：水池的半径至少要1+ 米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
2
【点睛】
本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点、y轴交点的实际意义是解题的关键．
◎考点题型7 增长率问题
例．（2022·全国·九年级课时练习）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药
店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口
罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
【答案】B
【解析】
【分析】
月平均增长率为x，可求三月份销售量5000（1+x）2，该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系
式是：y＝5000（1+x）2．
【详解】
解：月平均增长率为x，
二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x),
三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）2，
该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2．故选择：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，掌握增长率问题中增加量=平均增长率×原销售量，抓住公式列函数式是解题关
键．
变式1．（2021·全国·九年级课时练习）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 辆单
车，计划第三个月投放单车 辆，若第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么
与 的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据增长率问题，一般“增长后的量 增长前的量 （1+增长率）”找出等量关系列方程即可
【详解】
第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为
第一个月投放 辆单车，
第二个月投放 辆
第三个月投放量
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量
增长前的量 （1+增长率）”．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万
元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安
装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安
装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种
型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【解析】
【分析】
(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，
即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩 个，所需资金为 万元，列不等式，求出a的范围，
再求出 的函数解析式，进而可求出答案.
【详解】
（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得： ，
解得: ， （舍去）.
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩 个，所需资金为 万元.
根据题意，得: ，
解得: ，
，
∵ ，
∴ 随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当 时， 最小，最小值为 （万元）.
此时， .
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【点睛】
本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一
元一次不等式，是解题的关键.
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数
关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价 (元 3.5 5.5
销售量 (袋 280 120
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1） 与 之间的函数关系式为 ；
（2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【解析】
【分析】
（1）根据每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数关系，可设 ，再将 ，
； ， 代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天的利润 每天每袋的利润 销售量 每天还需支付的其他费用，列出 关于 的函数解析式，
再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）设 ．
将 ， ； ， 代入，
得 ，解得 ．
则 与 之间的函数关系式为 ．
（2）由题意得：
．
∵3.5≤x≤5.5，
当 时， 有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
