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12.4全等三角形的九种模型
题型1：平移全等模型
1.如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【分析】（1）利用SSS即可证△ABC和△DEF全等；
（2）根据全等三角形的性质可得∠B＝∠DEF，然后根据同位角相等两直线平行即可
解决问题．
【解答】证明：（1）∵BE＝CF，BE+CE＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判断等知识，解决本题的关键
是得到△ABC≌△DEF．
【变式1-1】如图，A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF，求证：∠B＝∠E．
【分析】根据SSS证明△ABC≌△DEF，即可解决问题．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AC＝DF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到
△ABC≌△DEF．
【变式1-2】如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，BE＝CF．试说明AC∥DF．
【分析】欲证明AC∥DF，只要证明∠ACB＝∠F，只要证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形的条件解决问题，属于基础题，中考常考题型．
【变式1-3】如图，点A，B，D，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．请判断∠C与∠F是否相等？并说明你的理由．
【分析】由平行线的性质得出∠A＝∠EDF，证明△ABC≌△DEF（SAS），由全等三
角形的性质可得出结论．
【解答】解：∠C＝∠F．
理由：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
∵AD＝BE，
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠C＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确寻
找全等三角形全等的条件．
题型2：对称全等模型
2.如图，已知AD＝AB，AC＝AE，求证：∠B＝∠D．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的对应角相等即可得解．
【解答】证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
【变式2-1】如图，F、B、E、C四点共线，AB与DE相交于点O，AO＝DO，OB＝
OE，BF＝CE，求证：∠D＝∠A．
【分析】由OB＝OE得∠DEF＝∠ABC，由AO＝DO，BF＝CE得DE＝AB，EF＝
BC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△DEF≌△ABC，得∠D＝∠A．
【解答】证明：∵OB＝OE，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵AO＝DO，BF＝CE，
∴AO+OB＝DO+OE，CE+BE＝BF+BE，
∴DE＝AB，EF＝BC，
在△DEF和△ABC中，
，
∴△DEF≌△ABC（SAS），
∴∠D＝∠A．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，找到全等
三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．
【变式2-2】如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）若PO平分∠EPF，则PO与线段BC有什么关系？为什么？
【分析】（1）根据已知条件证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出结论；
（2）根据Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF为等腰三角形，又因为
PO平分∠EPF，根据三线合一可知PO垂直平分EF，从而得出PO垂直平分BC．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，BC＝CB，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，∵ ，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠E＝∠F；
（2）解：PO垂直平分BC，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠E＝∠F，
∴△PEF为等腰三角形，
又∵PO平分∠EPF，
∴PO⊥BC（三线合一），EO＝FO（三线合一），
又∵EB＝FC，
∴BO＝CO，
∴PO垂直平分BC．
【点评】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角
形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能
力．
【变式2-3】如图，C是AB的中点，AE＝BD，∠A＝∠B．求证：∠E＝∠D．
【分析】只要证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形对应角相等的性质即可解题．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的
关键．
题型3：旋转全等模型
3.如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，且 AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝
∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC．求证：AD平分∠BDE．
【分析】（1）由AD＝AB得∠B＝∠ADB＝70°，则∠BAD＝∠CAE＝40°，再根据平
行线的性质得∠C＝∠CAE＝40°；
（2）先证明△BAC≌△DAE，得∠B＝∠ADE，所以∠ADB＝∠ADE，则AD平分
∠BDE．
【解答】（1）解：∵AD＝AB，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝40°，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°．
（2）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
∵在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴∠B＝∠ADE，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、平行线的性
质、三角形内角和定理等知识，正确运用三角形内角和定理及证明△BAC≌△DAE是
解题的关键．
【变式3-1】如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在
同一条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，则∠ADE的度数为（ ）A．50° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【详解】
在 和 中
（ SAS）
故选：B．
【变式3-2】在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠ADE；
（2）如图②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，点C在线段BE上，则∠D＝ 30
度．
【分析】（1）由AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理
“SAS”即可证明△ABC≌△ADE，则∠ABC＝∠ADE；
（2）由AC＝AE，AD平分∠CAE得AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，则
∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，所以∠D＝∠ABC＝30°．
【解答】（1）证明：如图①，在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ABC＝∠ADE．
（2）解：如图②，设AD与CE交于点F，
∵AC＝AE，AD平分∠CAE，
∴AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴∠ABC＝30°，
由（1）得∠ABC＝∠D，
∴∠D＝30°，
故答案为：30．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形
内角和定理等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
题型4：K字模型（一线三垂直/等角）
4.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点
D，BE⊥MN于点N，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠BEC＝90°，由同角的余角相等得：∠DAC＝
∠BCE，因此根据AAS可以证明）△ADC≌△CEB；（2）由（1）中的全等得：DC＝BE，AD＝EC，根据线段的和可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵ ，
∴△ADC≌△CEB；
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE，AD＝EC，
∵DE＝DC+EC，
∴DE＝BE+AD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型，熟练掌握全等三角形
的判定方法是关键；在证明角相等时常利用同角的余角相等来证明角的大小关系；要
注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【变式4-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于
D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出EC的长，解决问题．
【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°
∴∠BCE＝∠DAC
∵AC＝BC
∴△ACD≌△CBE
∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两
个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．再根据全等三角形的性质解决问题．
【变式4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA
＝∠AEC＝∠BAC＝ ，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
α
【分析】由∠AEC＝∠BAC＝ ，推出∠ECA＝∠BAD，再根据 AAS 证明
△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．
α
【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝ ，
∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣ ，
α
∠BAD+∠CAE＝180°﹣ ，
α
∴∠ECA＝∠BAD，
α
在△BAD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD＝3，
∵DE＝AD+AE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．
∴CE＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌△ACE是解题的关键．
【变式4-3】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分
别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F．
（1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE+BF．
（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证
明．
（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论．
【分析】（1）通过AAS证明△ACE≌△CBF，得AE＝CF，CE＝BF，即可证明结
论；
（2）由（1）同理可证△ACE≌△CBF（AAS），得AE＝CF，CE＝BF，则EF＝CF
﹣CE＝AE﹣BF；
（3）由（1）同理可证△CAE≌△BCF（AAS），得CE＝BF，AE＝CF，从而EF＝
CE﹣CF＝BF﹣AE．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ECA+∠FCB＝90°，
又∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEF＝∠BFC＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠FCB＝∠EAC，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∵EF＝EC+CF，
∴EF＝AE+BF；
（2）解：EF＝AE﹣BF，
理由如下：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠FCB＝90°，
又∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEF＝∠BFC＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠FCB，
又∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；
（3）解：EF＝BF﹣AE，
理由如下：∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，∵AC＝BC，
∴△CAE≌△BCF（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE，
即EF＝BF﹣AE．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，余
角和补角的性质等知识点，熟练证明三角形全等是解题的关键．
题型5：倍长中线模型
5.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是
（ ）
A．3＜AD＜13 B．1.5＜AD＜6.5 C．2.5＜AD＜7.5 D．10＜AD＜16
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB＝
AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，∴1.5＜AD＜6.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，倍长中
线等知识点的理解和掌握，能推出8﹣5＜2AD＜8+5是解此题的关键．
【变式5-1】已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
【分析】此题要证明AB＝CD，不能通过证明△ABE和△CED全等得到，因为根据已
知条件无法证明它们全等；那么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把 AB
和CD通过作辅助线转化到一个等腰三角形中，而延长 DE到F，使EF＝DE，连接
BF就可以达到要求，然后利用全等三角形的判定与性质就可以证明题目的问题．
【解答】证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接BF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵在△BEF和△CED中
，
∴△BEF≌△CED（SAS）．
∴∠F＝∠CDE，BF＝CD．
∵∠BAE＝∠CDE，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF，
又∵BF＝CD，
∴AB＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；一般证明线段相等大多数是通过全等
三角形解决问题，有时没有全等三角形时，可以利用等腰三角形的性质解决问题．
【变式5-2】
题型6：手拉手模型
6.如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝
∠BAE，EF与AC交于点G．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若∠B＝62°，∠C＝24°，求∠EAC的度数．
【分析】（1）根据等式的性质得∠BAC＝∠EAF，再利用SAS证明△BAC≌△EAF即
可得出结论；
（2）根据三角形内角和得∠BAC＝94°，再由 AB＝AE，得∠B＝∠AEB＝62°，
∠BAE＝56°，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAF，
在△BAC和△EAF中，
，
∴△BAC≌△EAF（ASA），
∴AE＝AB．
（2）解：∵∠B＝62°，∠C＝24°，∴∠BAC＝180°﹣62°﹣24°＝94°，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝62°，
∴∠BAE＝56°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝94°﹣56°＝38°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明
△BAC≌△EAF是解题的关键．
【变式6-1】如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线
于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠CAB＝∠CBA＝60°，得出∠CAD＝
∠CAB＝30°，则可得出结论；
（2）证明△CAF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出 CE＝CF，∠ACF＝
∠BCE，根据等边三角形的判定可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD＝ ∠CAB＝30°，
又∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，
∴∠CAF＝∠CBE；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
在△CAF和△CBE中，，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，
∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明
△CAF≌△CBE是解题的关键．
【变式6-2】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，
连接AD，BE相交于点P．
（1）求证：BE＝AD．
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出 BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝
60°，证明△ACD≌△BCE（SAS），则可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠DAC＝∠EBC．则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠EBC．
∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°，
∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，
即∠APB＝60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，
全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．
【变式6-3】如图，已知△ABC与△DEC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）试说明：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝6，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．
【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE＝90°，得∠BCE＝∠ACD，根据△ABC与△DEC都
是等腰三角形得AC＝BC，DC＝EC，故△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）由△ACD≌△BCE得AD＝BE，根据AC＝BC＝6得AB2＝AC2+BC2＝72，又
∠BAC＝∠CAE＝45°，即知∠BAE＝90°，BE2＝AB2+AE2＝81，故BE＝9，AD＝9．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
又∵△ABC与△DEC都是等腰三角形
∴AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AC＝BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2＝72，
∵∠BAC＝∠CAE＝45°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△BAE中，AB2＝72，AE＝3，
∴BE2＝AB2+AE2＝81，
∴BE＝9，
∴AD＝9．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的全等及勾股定理的应用，解题的关键是掌握全
等三角形的判定定理，证明△ACD≌△BCE．
题型7：截长补短模型
7.如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，
BC=9，则BD的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【详解】解：如图，在 上截取 连接
平分
故选：
【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是
BC，CD上的
点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．
【分析】延长FD到G使DG＝BE，连接AG，如图，先证明△ABE≌△ADG得到AE
＝AG，∠BAE＝∠GAD，再证明△AEF≌△AGF得到∠EAF＝∠FAG＝55°，然后利
用∠BAE＝∠GAD得到∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．
【解答】解：延长FD到G使DG＝BE，连接AG，如图，
∵∠B+∠D＝180°，∠ADG+∠D＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，
∵EF＝BE+FD，
∴EF＝DG+DF＝GF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠FAG＝55°，
∵∠BAE＝∠GAD，
∴∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的
性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条
件．解决本题的关键是构建△ABE≌△ADG．
【变式7-2】如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD
至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．
【答案】40°
【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，
∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线， ∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，
∠ADB=60°，∠BDC=120°，
BD=BD， △ABD≌△FBD，
DE=DA， DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，
DC=DC， △DEC≌△DFC，；
故答案为40°．
【变式7-3】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边
BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．
【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得
到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF＝ ∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明
△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，本题中通过全等三角形来实现线段的
转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条
件相关联全等三角形．
题型8：平行线+中点模型
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点．
（1）求证：S△CED ＝S△ADE +S△BCE ．
（2）当CE＝DE时，判断BC与CD的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，DE＝EF，进而
利用等底等高三角形的面积相等得出结论；
（2）由CE＝DE＝EF，得出∠F＝∠ECF，∠ECD＝∠CDE，进一步利用三角形的内
角和求得∠FCD＝90°，证得结论．
【解答】（1）证明：延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
在△AED与△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF（AAS），∴DE＝EF，S△AED ＝S△EBF ，
∴S△DEC ＝S△EFC ＝S△ADE +S△BCE ．
（2）解：当CE＝DE时，BC⊥CD．
理由：
∵△AED≌△BEF，
∴DE＝EF，
∵CE＝DE，
∴CE＝DE＝EF，
∴∠F＝∠ECF，∠ECD＝∠CDE，
∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°，
∴∠FCD＝90°，
∴BC⊥CD．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，垂线的意义，掌握三角形的全等的
判定方法是解决问题的关键．
【变式 8-1】如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 CD 的中点，AE 平分∠BAD，
AE⊥BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：AD+BC＝AB；
（3）若S△ABE ＝4，求梯形ABCD的面积．
【分析】（1）延长AE交BC的延长线于M，由平行线的性质和角平分线得出∠BAE
＝∠M，证出AB＝MB，由等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠CBE即可；
（2）由等腰三角形的性质得出AE＝ME，DE＝CE，由SAS证明△ADE≌△MCE，得
出AD＝MC，即可得出结论；
（3）证出△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，得出△ABM的面积＝8，由全等三角形
的性质得出△ADE的面积＝△MCE的面积，得出梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8即可．
【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠M＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠M，
∴AB＝MB，
∵AE⊥BE，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE，
∴AE＝ME，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△MCE中， ，
∴△ADE≌△MCE（SAS），
∴AD＝MC，
∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；
（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，
∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，
∴△ABM的面积＝2×4＝8，
∵△ADE≌△MCE，
∴△ADE的面积＝△MCE的面积，
∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、梯形面积的
计算；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式8-2】如图，点E在△ABC的CB边的延长线上，D点在AC边上，DE交AB于点
F，DF＝EF，AD＝BE，求证：△ABC是等腰三角形．【分析】过点D作DG∥BC，交AB于点G，利用平行线的性质可得∠GDF＝∠E，
∠DGF＝∠ABE，从而利用AAS可证△DGF≌△EBF，然后利用全等三角形的性质可
得DG＝BE，从而可得AD＝DG，进而可得∠A＝∠AGD，最后利用平行线的性质可
得∠AGD＝∠ABC，从而可得∠A＝∠ABC，再利用等角对等边即可解答．
【解答】证明：过点D作DG∥BC，交AB于点G，
∴∠GDF＝∠E，∠DGF＝∠ABE，
∵DF＝EF，
∴△DGF≌△EBF（AAS），
∴DG＝BE，
∵AD＝BE，
∴AD＝DG，
∴∠A＝∠AGD，
∵DG∥BC，
∴∠AGD＝∠ABC，
∴∠A＝∠ABC，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条
件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式8-3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC
＝DC．
【分析】延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD＝CF，进而利用等线段的代换可证得结论．
【解答】证明：延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F．
在△AED与△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF，
∴AD＝BF，DE＝EF，
∵CE⊥DF，
∴CD＝CF＝BC+BF，
∴AD+BC＝DC．
【点评】本题考查梯形的知识，因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，
这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．
题型9：角平分线+垂直模型
9.已知，如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，
∠BDC＝90°，求证：CE＝2BD．
【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE＝BF；再证
△CBD≌△CFD，得出BD＝DF；由此得出结论即可．
【解答】证明：如图，延长BD交CA的延长线于F，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAF＝∠BAC＝90°，∠ACE+∠AEC＝90°，
∵∠BDC＝90°
∴∠BDC＝∠FDC＝90°
∴∠ABF+∠BED＝90°
∵∠AEC＝∠BED
∴∠ACE＝∠ABF
∵AB＝AC
∴△ACE≌△ABF（ASA）
∴CE＝BF
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD
∵CD＝CD
∴△CBD≌△CFD（ASA）
∴BD＝FD＝ BF
∴BD＝ CE
∴CE＝2BD．
【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅
助线是解决问题的关键．
【变式9-1】如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求
证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得到 CE＝CF；利用 HL 即可判定
△CBE≌△CDF；（2）已知EC＝CF，AC＝AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE＝AF，最后证得
AB+AD＝2AE即可．
【解答】证明：（1）如图，过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F点，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝ ∠DAB．
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵CB＝CD，∠CEB＝∠CFD＝90°，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠CDF，EB＝DF．
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°．
（2）∵∠CAF＝∠CAE，∠F＝∠CEA＝90°，AC＝AC，
∴△AFC≌△AEC（AAS）．
∴AF＝AE．
∵AF＝AD+DF，EB＝DF，
∴AF＝AD+EB．
∵AE＝AB﹣EB，
∴AF+AE＝AD+AB，
∴AD+AB＝2AE．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线
构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用．
【变式9-2】已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；
（2）在图2中，∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然
成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图2中，∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝ AC（直
接写出答案）．【分析】（1）由角平分线的性质可证∠ACB＝∠ACD＝30°，又由直角三角形的性
质，得AB+AD＝AC．
（2）根据角平分线的性质过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，可证
AE+AF＝AC，只需证AB+AD＝AE+AF即可，由△CED≌△CFB，即可得AB+AD＝
AE+AF．
（3）由（2）知 ED＝BF，AE＝AF，在直角三角形 AFC 中，可求 AB+AD＝
2cos30°AC．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAB＝∠CAD＝60°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，
∴AB＝AD＝ AC，
∴AB+AD＝AC．
（2）成立；证明：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，
∵AC平分∠MAN，
∴CE＝CF．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABC，
∵∠CED＝∠CFB＝90°，
∴△CED≌△CFB，
∴ED＝FB，
∴AB+AD＝AF+BF+AE﹣ED＝AF+AE，由（1）知AF+AE＝AC，
∴AB+AD＝AC．
（3）解：过点C分别作CE⊥AM与E，CF⊥AB于F，由（2）知，ED＝BF，由（1）知，AE＝AF，
∵∠MAN＝60°，AC平分∠MAN，
∴∠CAF＝∠CAD＝30°．
在Rt△AFC中，CF＝ACsin∠CAF＝ AC，
∴AF＝ACcos∠CAF＝ AC，
∴AB+AD＝AF+BF+AE﹣ED＝AF+AE＝2AF＝ AC．
故答案为： ．
【点评】本题综合考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键
是熟练的运用直角三角形的性质．
【变式9-3】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是
AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四边形AEDF的面积．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
【分析】（1）先证明△AED≌△CFD，再根据全等三角形的面积相等得出 S四边形
AFDE
＝S△ADC ＝ S△ABC ，根据三角形的面积公式计算即可．
（2）延长 ED 至点 G，使得 DG＝DE，连接 FG，CG，易证 EF＝FG 和
△BDE≌△CDG，可得BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，即可求得∠FCG＝90°，根据勾
股定理即可解题．
【解答】（1）解：连接AD，如图1，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，∴∠EDA＝∠CDF，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE＝CF，
∵BE+CF＝4，
∴AB＝BE+AE＝4．
所以S四边形AFDE ＝S△AFD +S△AED
＝S△AFD +S△CFD
＝S△ADC
＝ S△ABC
＝ × AB2
＝ ×42
＝4．
（2）证明：延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG，如图2，
∵DE＝DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF＝FG，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE＝90°，
∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，
∵CG2+CF2＝FG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等
三角形的判定与性质，三角形的面积，本题中求证△AED≌△CFD是解题的关键．
