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专题 06 二次函数的变换
【思维导图】
◎考点题型1二次函数的平移
（1） 平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
② 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2） 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，
上加下减”．
例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）将抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位
长度，所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x＋2）2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x＋1）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣1）2＋3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数图象平移的规律进行解答即可．
【详解】
解：抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度得y＝﹣3(x+2)2＋1，
抛物线y＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y＝﹣3(x＋2)2．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
变式1．（2021·山东烟台·九年级期中）将二次函数 的图象先向右平移2个单位，再向下平移
3个单位，所得图象的函数解析式为 ，则 、 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原
抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．
【详解】
由题意可得新抛物线的顶点为 ，
∴原抛物线的顶点为 ，
设原抛物线的解析式为 ，代入得： ，
∴ ， ．
故选：D．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，
只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
变式2．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）将抛物线 图像先向上平移 个单位，
再向左平移 个单位后的解析式是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据左加右减，上加下减的规律，可得答案．
【详解】
解：将抛物线 图像先向上平移 个单位，再向左平移 个单位后的解析式是
，即 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下
减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
变式3．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由 的图像经过平移得到函数 的图
像呢？
小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度；
小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度．
对于上述两种说法，正确的是（ ）A．小亮对 B．小丽对
C．小亮、小丽都对 D．小亮、小丽都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：
y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；
小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2
（x-6）2+7，则小丽说法正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
◎考点题型2
二次函数图象的对称
（1）关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
（2）关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
4. 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛
物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛
物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然
后再写出其对称抛物线的表达式．
例．（2022·河南周口·九年级期末）已知抛物线 经过 和 两点，则n的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 和 可以确定函数的对称轴 ，再由对称轴的 ，即可求解．
【详解】
解：抛物线 经过 和 两点，
可知函数的对称轴 ，
，
；
，
将点 代入函数解析式，可得 ；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的对称性．
变式1．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数
y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（ ）
A．第一或第四象限 B．第三或第四象限C．第一或第二象限 D．第二或第三象限
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由已知条件4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，得出此二次函数过点（-2，0），（3，0），然后根据二次函数
的对称性求出抛物线的对称轴，进而得出二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能所在的象限．
【详解】
解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，
∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象与性质求出对称轴为直线x= 是
解题的关键．
变式2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx
＋c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
1
﹣
x …… 0 2 3 4 ……
1
1
y …… 10 5 2 2 5 ……
若A（m，y）、B（m﹣1，y）两点都在函数的图象上，则当m满足（ ）时，y＜y
1 2 1 2
A．m≤2 B．m≥3 C．m D．m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据表格中的数据先确定抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，然后根据二次函数图象的性质，列出m
的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由表格可知，该函数图象开口向上，对称轴为直线x 2，
∵A（m，y）、B（m﹣1，y）两点都在函数的图象上，y＜y，
1 2 1 2
∴2﹣（m﹣1）＞m﹣2，
解得：m ，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，根据表格中的数据确定二次函数图象的对称轴，列出关于m的不等
式，是解题的关键．
变式3．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）点 （－1， ）， （3， ）， （5， ）均在二次函数
的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
已知函数表达式里面二次项系数和一次项系数，可以求出该函数图像的对称轴 ，结合对称轴，分析函
数的增减性即可．当a<0，x> 时，y随x的增大而减小；当a<0，x< 时，y随x的增大而增大．
【详解】
对称轴：x= =
到对称轴有1-（-1）=2个单位长度；
到对称轴有3-1=2个单位长度；
∴
∵a=-1<0∴当x> 时，y随x的增大而减小
∵ ，5>3>
∴
综上：
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的增减性，结合函数表达式求出函数图像的对称轴，根据二次项系数的正负和对
称轴分析函数的增减性是解题的关键．
◎考点题型3 二次函数的图象与系数的关系
y=ax2 +bx+c a≠0
二次函数 （ ）的系数与图象的关系
a
y=ax2 +bx+c 开口向上⇔a>0 开口向上⇔a>0
（1） 的符号由抛物线 的开口方向决定： ， ；
b y=ax2 +bx+c a y
（2） 的符号由抛物线 的对称轴的位置及 的符号共同决定：对称轴在 轴左侧
⇔a,b y ⇔a,b
同号，对称轴在 轴右侧 异号；
c y=ax2 +bx+c y y ⇔c>0 y
（3） 的符号由抛物线 与 轴的交点的位置决定：与 轴正半轴相交 ，与 轴
正半轴相交⇔c<0
二次项系数a
二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．
⑴ 当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
1 当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小．
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
1 在a>0的前提下，b
当b>0时，− <0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；
2a
b
当b=0时，− =0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
b
当b<0时，− >0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）．
2a
2 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b>0时，− >0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
2a
b
当b=0时，− =0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
b
当b<0时，− <0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b同号）．
2a
【总结起来】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
常数项c
⑴ 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
3 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
例．（2021·山东烟台·九年级期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
逐图分析系数a，b的符号，即可判断．
【详解】
A．由 的图象可知， ， ，由 的图象可知， ， ，此选项错误；
B．由 的图象可知， ， ，
由 的图象可知， ， ，此选项错误；
C．由 的图象可知， ， ，
由 的图象可知， ， ，此选项正确；
D．由 的图象可知， ， ，
由 的图象可知， ， ，此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题关键是会根据图象判断系数a，b的符号．
变式1．（2022·云南玉溪·九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正
确的是( )
A．abc<0 B．b=－4a C．4a+2b≥m(am+b) D．a－b＋c>0
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据抛物线的开口向下可知a<0，与y轴的交点在y轴的负半轴可知c<0，由抛物线的对称轴x=2可得出
a、b的关系，再对四个选项进行逐一分析．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即
∴4a+b=0，故B正确，不符合题意；；
∴ ，
∴abc<0，故A正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，a＜0，
∴当 时， 取得最大值为
对于任意实数 ，
∴4a+2b+c≥m(am+b)+ c
∴4a+2b≥m(am+b)，
故C正确，不符合题意；
当x=﹣1时，抛物线与y轴的交点在x轴上，即a﹣b+c=0，故D错误， 符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数y= ²+bx+c(a≠0)的图象，
当a<0时，抛物线向下开口，当a与b同号时(即ab>0，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab<0)，对称
轴在y轴右．
变式2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线 的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A
在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：① ；②当 时，y随x增
大而减小；③ ；④若方程 没有实数根，则 ；⑤ ．其中正确结
论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C【解析】
【分析】
利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【详解】
解：根据题意得：二次函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故①错误；
∵抛物线 的顶点为D（-1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线开口向下，
∴当x>-1时，y随x增大而减小，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和-2，0）之间，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故③正确；
∵抛物线 的顶点为D（－1，2），抛物线开口向下，
∴函数的最大值为2，
∴当m>2时，抛物线与直线y=m没有交点，
∴方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，故④正确；
∵抛物线 的顶点为D（-1，2），抛物线开口向下，
∴当x=-1时， ， ，
∴ ，故⑤正确，
∴正确的有4个．
故选：C
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，利用数形结合思想解答，属于中考常考题型．
变式3．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的
图象经过（ ）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．
【详解】
解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根
据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
◎考点题型4二次函数与一次函数的综合判断
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 、
两点，则函数 的图像可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数图象和二次函数的性质判断即可．
【详解】
解： 由 =x2+bx+c图象可知，对称轴x= ＞0， ，
，抛物线 与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误，
抛物线 的对称轴为 ，
∴ ，
∴抛物线y=x2+（b-1）x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数 中各项系数的意义及利用数形结合的思想是
解答本题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
题干中二次函数 的图象开口向下，可以判断出a的符号为负，一次函数 的图象与x轴正方
向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，可以据此判断出b、c的符号皆为正，再去判断各选项哪
个符合二次函数 的图象．
【详解】
∵二次函数 的图象开口向下，
∴a<0，
又∵一次函数 的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，
∴b>0，c>0，
则 >0，
可知二次函数 开口方向向下，对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在y的正半轴，选项B图象
符合，
故选：B．【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的
关系．
变式2．（2021·河南驻马店·九年级期中）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由一次函数图象可确定a的符号，再确定二次函数图象的大致形状和位置即可．
【详解】
解：根据四个选项中一次函数图象在一、二、三象限，可以确定a＞0时，
∴a＞0，函数y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象开口向上，
对称轴为直线 ； 在y轴左侧，
只有C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，
准确进行判断推理．
变式3．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数 与一次函
数 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解．
【详解】
解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、由二次函数图象，可得 ， ，一次函数图象，可得 ， ，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键．
◎考点题型5
根据图像判断式子符号
例．（2021·广东湛江·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②a-
b+c=0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【详解】
①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a> 0，c< 0
∴ac<0
故结论①正确；
②从图中可以看出，抛物线经过点(-1，0)，
当x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点
∴b2- 4ac> 0
即4ac- b2< 0
故结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1
所以当x < 1时，y随x的增大而减小
故结论④错误
故正确的结论有①②③共3个；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结
合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
变式1．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四
条信息：
①c＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③a＋b＋c＜0；
④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．
其中正确信息的个数有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由图象可得x=1时y＞0可
判断③，根据（-5，m）、（1，n）与对称轴的距离可判断④．
【详解】
解：∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，②正确．
由图象可得x=1时y＞0，
∴a+b+c＞0，③错误．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），
∴n＞m，④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的
关系．
变式2．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的
部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 0 1 0 ﹣3 …下列结论正确的是（ ）
①ab＞0；②a+b+c＜0；③若点（﹣7，y），点（7，y）在二次函数图象上，则y＜y；④方程ax2+bx+c
1 2 1 2
＝﹣3有两个不相等的实数根.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为x=1，再根据二次函数的性质，即可判断
题目中的各个小题是否正确．
【详解】
解：由表格可知，
该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，故①正确；
由表格可知，当x=1时，y=a+b+c=-3＜0，故②正确；
∵点（-7，y）到对称轴x=-1的距离小于点（7，y）到对称轴的距离，
1 2
∴y＞y，故③错误，
1 2
∵图象经过（-3，-3）和（1，-3）两个点，
∴方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根，故④正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的
关键．
变式3．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，
0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x
＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③﹣1≤a≤ ；④3≤n≤4中，其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①
作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a，将其代入
（3a+b），并判定其符号；③利用一元二次方程根与系数的关系可得 ，然后根据c的的取值范围利
用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到 ，利用c的取值范
围可以求得n的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴对称轴直线是x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
观察图象得：当x>3时，y<0，故①正确；
②观察图象得：抛物线开口方向向下，
∴a<0，
∵对称轴 ，
∴ ，
∴ ，即3a＋b＜0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两根为-1，3，
∴ ，即 ，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
∵ ， ，∴ ，
∵顶点坐标为（1，n），
∴当x=1时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共2个．
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称
轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．
◎考点题型6 抛物线y=ax2+bx+c最值
抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）
公式法：y=ax2+bx+c=a ( x+ b ) 2 + 4ac−b2 ，
2a 4a
b 4ac−b2 b
∴顶点是（− ， ），对称轴是直线x=− .
2a 4a 2a
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x−h) 2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴
是直线x=h.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
例．（2022·浙江金华·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的
函数表达式为 ，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离
为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米
【答案】A
【解析】【分析】
先根据滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，求出函数的
解析式，然后求出函数的最大值即可．
【详解】
解：∵ 时， ； 时， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，S最大，且最大值为600，
即飞机的最大滑行距离为600米，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了求二次函数解析式和最大值，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x
（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【答案】D
【解析】
【分析】
将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．
【详解】
解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250
∵－2＜0
故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故选：D．
【点睛】
此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．变式2．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】
解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质
解答．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为
1，则a值为（ ）
A． B． C． 或 D．﹣1或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据顶点的位置分两种情况讨论即可．
【详解】
解： ，图象开口向上，对称轴为直线 ，
∵﹣1≤x≤3，
∴当 时，即 ， 时有最大值1，
，
，
当 时，即 ， 时有最大值1，
，
，
或 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
◎考点题型7
待定系数法求函数解析式
例．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【答案】（1） ；（2）直线
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式 求解即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，∴－2＝1－2m＋5m，
解得 ；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线 ；
故二次函数的对称轴为：直线 ；
【点睛】
本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公
式．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y=ax2+c的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二
次函数的表达式．
【答案】二次函数的表达式为 ．
【解析】
【分析】
将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．
【详解】
解： 二次函数y=ax2+c的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，
，解得： ．
∴二次函数的表达式为 ．
【点睛】
本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数
的表达式．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线经过点 ， ， ，求该抛物线的函数
关系式
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为 ，将点 代入求解即可．
【详解】
解：∵抛物线经过点 ， ， ，
∴设抛物线的表达式为 ，
将点 代入得： ，解得： ，
∴ ．
∴该抛物线的函数关系式为 ．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为
，与 轴的交点坐标为 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，将 ， 两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．
【详解】
解：（1）把 ， 代入 得：
，解得： ，
所以抛物线解析式为： ；
（2） ，
所以抛物线的顶点坐标为 ．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式及二次函数的顶点式，熟练掌握待定系数法确定函数解析式
是解题关键．
