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专题 10 解直角三角形及其应用
【思维导图】
◎考点题型1 解直角三角形
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出
其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
直角三角形五元素之间的关系：
1. 勾股定理（ ）
2. ∠A+∠B=90°
3. sin A= =
4. cos A= =
. tan A= =
5
例．（2022·广东深圳·二模）如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据三角函数的定义求出BC即可．
【详解】解：连接AC，
∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sinB= ，cosB= ，tanB= ，
∴AC=AB•sinB，BC=AB•cosB，AC=BC•tanB，
观察四个选项，选项B正确，
故选；B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学
在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使 （河的两岸平行）.若利用测量工
具测得 为m米， ，根据测量数据可计算得到小河宽度 为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】在Rt ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵△BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，
∴PA＝△PB•tanα＝mtanα（米），
∴小河宽度PA为mtanα米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与
地面的夹角为 ，则梯子底端A到墙面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴cosa= ，∴AC=4cosa米，
故选： A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握余弦三角函数的概念是解题关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）在 Rt△ABC 中， C 90 ， AB 5 ， AC 4 ．下列四个
选项，正确的是（ ）
A．tan B B．cot B C．sin B D．cos B
【答案】C【分析】由勾股定理求得BC的长，进而可求得相应的三角函数值，进而判断各个选项的正误得到答案．
【详解】解：如图：
∵C 90 ， AB 5 ， AC 4
∴
∴ ，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．
◎考点题型2 解非直角三角形
例．（2021·全国·九年级课时练习）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A
站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C
到海岸线l的距离是（ ）
A． km B． km C． km D． km【答案】C
【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°，即可求得答案．
【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3× = (km)，
故选择：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角
的正弦余弦正切值．
变式1．（2022·广西河池·二模）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡艇从A处沿着北偏东60°方向
巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．若取
结果保留一位小数，则A，B间的距离为（）
A．42.3海里 B．73.5海里 C．115.8海里 D．119.9海里
【答案】C【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可得，∠ACD=60°，∠BCD=45°，BC=20×3=60，然后根据
锐角三角函数即可求出A，B间的距离．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知： ∠ACD=60°，∠BCD=45°，BC=20×3=60，
∴在Rt△BCD中，CD=BD= BC= ，
在Rt△ACD中，AD=CD•tan60°= ，
∴AB=AD+BD= ≈115.8（海里）．
答：A，B间的距离约为115.8海里．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，解决本题的关键是掌握方位角定义．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在东西方向的海岸线上有 ， 两个港口，甲货船从 港沿东北方
向以 海里 时的速度出发，同时乙货船从 港口沿北偏西 方向出发， 后相遇在点 处，如图所示．
问 港与 港相距（ ）海里．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先作 于点 ，根据甲货船从 港沿东北的方向以5海里 小时的速度出发，求出
和 ，从而得出 的值，得出 的值，即可求出答案．
【详解】解：作 于点 ，甲货船从 港沿东北的方向以5海里 小时的速度出发，
， ，
，
乙货船从 港沿西北方向出发，
，
，
，
答： 港与 港相距 海里，
故选： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并
利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有 ， 两个港口.
变式3．（2019·全国·九年级单元测试）今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数
量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记
录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡
EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上
行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G
在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（ ）米．（精确
到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）
A．29.0 B．28.5 C．27.5 D．27.0
【答案】C
【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；【详解】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH是矩形．
在Rt FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，
∴FM=△BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，
∴CD=CM+EM+DE=45m，
∴GH=CD=45m，
在Rt AGH中，AH=GH•tan26°≈22.05m，
∵CH=△DG=51.5m，
∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
◎考点题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
例．（2021·全国·九年级专题练习）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制
的他家（点 ）到两个景点 ， 的示意图，景点 位于他家的东南（即南偏东 ）方向，景点 位于
他家的正南方向，并测得 ， ，则景点 位于景点 的（ ）
A．南偏东 方向 B．北偏东 方向 C．北偏东 方向 D．南偏东 方向
【答案】B
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中， ，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了
【详解】过B作BD⊥AC于D，
在Rt△ADB中， ，∠DAB=45º，
∴BD=AD=cos∠DAB•AB= ，
∵ ，
∴CD=AC-AD= km，
在Rt△CDB中，
∵BD=1km，CD= km，
∴tan∠C= ，
∵tan30º= ，
∴∠C=30º，
景点B在景点C北偏东30º方向，
故选择：B．
【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解
题关键．
变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝
∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．60 8 B．60 8 C．64 D．68
【答案】D
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，
可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可．
【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AE AC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．
故选择：D．
【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题．
变式2．（2020·浙江·宁波市惠贞书院八年级期末）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为
60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形
ABCD．若六角星纸板的面积为9 cm2，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．18cm B． cm C．（ +6）cm D．（ +6）cm【答案】D
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=x cm，则AD=3x,则 ,然后利用AB•AD= 求出x的值，
即可得到AD,AB的长度，则周长可求．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，
∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，
∴设AE=xcm，则AD=3x，
∵∠AEB=120°，
∴∠EAB=30°，
∴AB=2AF= ，
∵六角星纸板的面积为 cm2 ，
∴AB•AD= ，即 ，
解得x= ，
∴AD= ，AB=3，
∴矩形ABCD的周长= cm．
故选:D．
【点睛】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想
是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，
AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四
边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG= DO，
同理可得：BH= BO，
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形
= ×AC× ×（DO+BO）
= ，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
◎考点题型4 仰俯角问题
例．（2022·山东枣庄·中考真题）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实
践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门
测 楼最高点P的仰角为39°；
量
方案示意图 （2）前进了10米到达A处（选择
步
测点A，B与O在同一水平线上，
骤
A，B两点之间的距离可直接测得，
测角仪高度忽略不计），在A处测
得P点的仰角为56°．
参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼
PO的高度
（结果保留
整数）
【答案】台儿庄古城城门楼的高度约为17米
【分析】设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，利用锐角三角函数可得OP≈1.5OA＝1.5x米，
在Rt△BOP中，利用锐角三角函数可得OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，然后列出方程，即可求解．
【详解】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝ ＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x米，
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝ ＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝ ，∴OP≈1.5x＝1.5× ≈17米，
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意 ，准确构造直角三角形是解题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某学校九年级的学生去参加社会实践，在风景区看到一棵古松，不
知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：
甲：我站在此处看树顶仰角为45°.
乙：我站在此处看树顶仰角为30°.
甲：我们的身高都是1.5m．
乙：我们俩相距20m．
请你根据两位同学的对话，计算这棵古松DE的高度．（结果保留根号）．
【答案】 （m）
【分析】先在Rt△DBC中，∠DBC=45°，可得 ，再在Rt△ADC中，∠DAC=30°，可得
，即有 ，再根据 ，即可求解．
【详解】根据题意有：∠DCA=90°，∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=20m，CE=1.5m，
∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，
∴ ，
∵在Rt△ADC中，∠DAC=30°，
∴ ，
∴ ，
∵AB=20，∴ ，
∴ ，
∵CE=1.5m，
∴ （m），
即古松的高度DE为 m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义是解答本题的基础．
变式2．（2022·河南驻马店·九年级期末）驻马店新一代天气雷达楼位于驻马店市天中广场东南角，东临乐
山大路，南临通达路．建筑造型采用简洁现代的建筑风格，在结构上通过层层退台的裙房处理及塔楼6个
方向曲面变化，利用雷达独特的球形造型，充分体现了驻马店市腾飞的精神面貌，寓意驻马店市像一颗正
在冉冉升起的“天中明珠”，屹立于中原大地．某数学活动小组到天中广场测量雷达楼的高度，如图，他
们在测量点A处测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是28°，然后沿水平方向前进100米到达C点，此时
测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是45°；雷达楼底部D和A、C两点在同一水平线上．
(1)求雷达楼BD的高度（结果精确到1米，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
(2)雷达楼BD的实际高度是110米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．
【答案】(1)雷达楼 的高度约为113米
(2)误差为3米，可多次测量，取测量数据的平均值
【分析】(1)先设BD= x米；根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，Rt△ADB和等腰Rt∆CDB，
应利用其公共边BD以及等腰三角形的性质构造等量关系，解三角形可求得DB的值，即可求出答案；
(2)计算(1) 求得的结果与实际高度的差即可，建议多次测量，去测量数据的平均值．
（1）设BD= x米；由题意得： ．∴ ∴
∴ =x在 中， 即∴ 所以雷达楼 的高度约为113米．
（2）误差为： （米）减少误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函
数解直角三角形．
变式3．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角 为
30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角 为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高
度（结果保留整数）．（参考数据： ， ）
【答案】这栋大楼的高度约为188m
【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD
的长，从而可以求得BC的长．
【详解】解： ， ，
．
，
．
．答：这株大楼的高度约为188m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角定义，属于中考常考题
型．
◎考点题型5 方位角问题
例．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向
33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，
在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参
考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，
AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE
的长，最后在Rt ADE中，利用锐角三角函△数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．
【详解】解：过点△A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，
由题意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD= ≈ =80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
变式1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，一艘轮船在海面上由南向北航行，当该轮船行驶到B处时，
发现灯塔C在它的北偏东34°方向上，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的东
北方向上，已知轮船航行的速度是每小时40海里．求此时轮船与灯塔C的距离AC．(结果保留整数，参考
数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67， )
【答案】57海里
【分析】过点C作CE⊥BD于点E，根据题意求得 ,在 Rt△ACE 中, ∠CAD=45°设 ，则
, 在 Rt△BCE 中, 根据 ，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点C作CE⊥BD于点E.
由题意知，AB (海里)在 Rt△ACE 中,∠CAD=45°
∴
设 ，则
在 Rt△BCE 中,
∴
∴ ，经检验 是原方程的根，
∴ (海里)
答:此时轮船与灯塔C的距离AC为57海里
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
变式2．（2022·湖北湖北·九年级专题练习）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测
得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东30°方向上．
(1)求 的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】(1)∠APB=30°；
(2)轮船继续向正东方向航行是安全的
【分析】（1）作PH⊥AB于H．根据平行线的性质求出∠APH，∠BPH，即可求出∠APB的度数；
（2）解直角三角形求出PH的值即可判定．
（1）
解：作PH⊥AB于H．则AC∥PH∥BD，
∴∠APH=∠CAP=60°，∠BPH=∠DBP=30°，
∴∠APB=∠APH-∠BPH=30°；
（2）
解：∵∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=50海里，
在Rt PBH中，∠PBH=180°-90°-30°=60°，
△
∴PH=PB•sin60°=50× =25 （海里），
∵25 ＞25，
∴轮船继续向正东方向航行是安全的．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练
掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
变式3．（2022·山东德州·二模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，
AB=8km．有一艘小船在点P处，从A处测得小船P在北偏西60的方向，从B处测得小船P在北偏东45°
的方向．
(1)求点P到海岸线 的距离（结果保留根号）；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．
求点C与点B之间的距离．（结果精确到0.1km， ， ）【答案】(1)
(2)点C与点B之间的距离约为5.6km．
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=x km，先字BD=PD=x km．再求出AD= PD= x
km，然后由BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt ABF，得出BF= AB=2km，再解Rt BCF，得出BC= BF，即
△ △
可求解．
（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=x km．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-
45°=45°，∴BD=PD=x km．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD= PD= x
（km），∵BD+AD=AB，∴x+ x=8，解得：x=4 -4，答：点P到海岸线l的距离为（4 -4）km；
（2）解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=90°+15°=105°，在Rt△ABF中，
∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF= AB=4（km），在△ABC中，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在
Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC= BF=4 ≈5.6（km），
答：点C与点B之间的距离约为5.6km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
◎考点题型6 坡度比问题
例．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2． 设
AE=30dm，BC=50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保
留根号）？【答案】（100+40 ）dm
【分析】首先在直角三角形ABE中求得AB和BE，然后就可以知道CF的长，然后在直角三角形CFD中求
得CD的长即可．
【详解】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，
∴BE=40dm，
∴AB= = =50（dm），
∵CF=BE=40dm，CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，
∴FD=2CF=2×40=80（dm），
∴CD= = =40 （dm），
∴她经过的总路程为：
AB+BC+CD=50+50+40 =（100+40 ）dm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡比的定义．
变式1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组
的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AP攀行了26
米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．
(1)求坡顶A到地面PQ的距离；
(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4）
【答案】(1) 米
(2)约19米【分析】（1）过点A作AH⊥PQ于H，根据斜坡AP的坡度为i=1：2.4，得出 ，设AH=5k，则
PH=12k， ，求出k值即可求解．
（2）延长BC交PQ于D，根据 ，AC∥PQ可得 ，从而得出四边形AHDC是矩形，再根
据 ，得出 ，利用 中， 即可求解．
（1）
解：过点A作AH⊥PQ于H，如图所示：
∵斜坡AP的坡度为i=1：2.4，
∴ ，
设AH=5k，则PH=12k，
则 ，
，解得 ，
，
坡顶A到地面PQ的距离为 米．
（2）
延长BC交PQ于D，如图所示：， ，
，
四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，
，
，
设BC=x，则 ，
，
在 中， ，
即 ，解得 ，
古塔BC的高度约19米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，
解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．
变式2．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图， 是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑
物底端 出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点 ，再经过一段坡路 ， 米，坡面 的坡
度 （即 ），然后再沿水平方向向左行走4米到达点 ，在 处测得建筑物顶端 的
仰角37°．
(1)求点 到建筑物 的水平距离；
(2)求建筑物 的高度．（参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ，
均在同一平面内．）
【答案】(1)18米；
(2)约为14.5米．
【分析】（1）延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，则四边形BMCN是矩形，首先根据CD的坡度求出CN和ND，进而可得EM的值；
（2）在Rt△AEM中，根据37°的正切可得AM，再根据AB＝AM+BM可得答案．
（1）解：延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，如图所示：
则四边形BMCN是矩形，在Rt△CDN中，∵tan∠CDF＝ ，∴设CN＝5a，则ND＝12a，∴CD＝
＝13a＝2.6，解得a＝0.2，∴CN＝1米，ND＝2.4米，∴EM＝EC+ND+BN＝4+2.4+11.6＝18
（米），答：点E到建筑物AB的水平距离是18米；
（2）解：在Rt△AEM中，∵AM＝EM•tan37°≈18×0.75=13.5（米），∴AB＝AM+BM＝13.5+1≈14.5（米）．
答：建筑物AB的高度约为14.5米．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键．
变式3．（2022·海南三亚·一模）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D
处测得楼房顶部A的仰角为 ，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处测得
楼房顶部A的仰角为 ，已知坡面 米，山坡的坡度 （坡度i是指坡面的铅直高度与水平
宽度的比）．
(1)填空： _______度；
(2)求楼房AB高度（结果保留根号）．
【答案】(1)30
(2)楼房AB高度为 米．【分析】（1）根据坡度的定义可知 ，即得出 ；
（2）过D作DG⊥AB于G，DF⊥BM于F，根据∠DCF=30°及CD的长，可求出DF和CF，在两个直角三
角形中，分别用AB表示BE、DG，建立方程求解即可．
（1）∵ ，∴ ，∴ ．故答案为： ；
（2）如图，过D作DG⊥AB于G，DF⊥BM于F，
则DG=FB，DF=GB．根据题意可知 米．∵CD=10米，∠DCF=30°，∴GB=DF= CD=5米，
∴CF= DF= 米．∵在Rt ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=60°， ，∴AB= BE，设
△
BE=x米，则 米，AB= x米，AG=AB−BG=( x−5)米．∵在
Rt ADG中，∠AGD=90°，∠ADG=30°， ，∴DG= AG．∴ ，
△
解得： ，∴ 米．答：楼房AB高度为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确的作出辅助线是解题关键．
◎考点题型7 其它问题
例．（2022·四川遂宁·九年级专题练习）某中学九年级数学课外学习小组某天下午实践活动课时，测量朝
西教学楼前的旗杆 的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆 的顶端A的影子落在教
学楼前的草坪地C处，测得影长 ， ， ， 与地面的夹角 ，在同
一时刻，测得一根长为0.5m的直立竹竿的影长恰为1m．根据这些数据求旗杆 的高度．【答案】旗杆 的高度为（12+2 ）米
【分析】延长CE交AB于H，过E作EG⊥BF于G，则四边形BGEH是矩形，得到EH=BG，BH=EG，利
用三角函数求出DG，EG，得到BH，CH，根据同一时刻物高与影长成正比列式求出AH即可．
【详解】解：延长CE交AB于H，过E作EG⊥BF于G，则四边形BGEH是矩形，
∴EH=BG，BH=EG，
在Rt△DEG中，DE=4，∠EDG=60°，
∴DG=EDcos60°=2，EG=EDsin60°=2 ，
∙ ∙
∵BD=16，CE=6，
∴CH=EH+CE=16+2+6=24，
∵在同一时刻，测得一根长为0.5m的直立竹竿的影长恰为1m．
∴ ，即 ，
∴AH=12，
∴AB=AH+BH=12+2 ，
答：旗杆 的高度为（12+2 ）米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键．
变式1．（2022·吉林·中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是
其侧面示意图． BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD
的度数为58°．当△AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【分析】根据正弦的概念即可求解．
【详解】解：在Rt ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
△
∵sin∠ACE= ，即sin58°= ，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
变式2．（2022·辽宁大连·二模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介
绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即 ，点B、F在线段AC
上，点C在DE上，支杆 ， ， ， ．
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求滑竿DE的长度；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据： ， ，
， ．
【答案】(1)70cm
(2)99cm【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，先利用 ， 计算FH、DH的长度，再解直角三角
形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
（1）过 作 于H． ∴ ．∵ ，
，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴
（cm）；
（2）过A作 交 的延长线于 ， ∵ ，∴
；∵ ，∴ ， （cm），答：
拉杆端点A到水平滑杆 的距离为99cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实
际问题．
变式3、为提高防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最
长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直
线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否
伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)15m
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析
【分析】（1）在Rt ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得△DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt ABD中，利用锐角三角函数的定义求出
AB的长，进行比较即可解答． △
（1）
解：在Rt ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
△
∴AB= =15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）
解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt ABD中，BD=9m，
△
∴AB= （m），
∵ m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
