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24.1.4 圆周角定理
圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与
圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
注意：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
题型1：圆周角定理求角度
1.1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
【变式1-1】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=110°，那么∠ACB的度数是
（ ）A．40° B．45° C．50° D．55°
【变式1-2】如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，
则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
题型2：圆周角定理的有关证明
2.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F.
求证： A´E=B´F .
【变式2-2】如图，A、B、C、D四点共圆，且∠ACB＝∠ACD＝60°．求证：△ABD是等边三角形．圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
题型3：推论1-同弧或等弧所对圆周角相等
3.如图，在⊙O中，A´B＝A´C，若∠B＝70°，则∠A等于（ ）
A．70° B．40° C．20° D．140°
【变式3-1】如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数
为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式3-2】如图，已知在 O中，^AB=^BC=C^D，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
⊙
（2）四边形BCDE为菱形．题型4：推论2-直径所对圆周角是90°
4.如图，AB是⊙O的直径．若∠BAC＝43°，那么∠ABC的度数是（ ）
A．43° B．47° C．53° D．57°
【变式4-1】如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【变式4-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A＝30°，OD＝2．求CD
的长．
题型5：圆周角定理多结论问题
5.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】如图， AB 是⊙O的直径，点 P 是 ⊙O 上一个动点（点 P 不与点 A ， B 重
合），在点 P 运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点 P ，使得 PA>AB ；②若
P´B=2P´A ，则 PB=2PA ；③∠PAB 不是直角；④∠POB=2∠OPA ．上述结论中，所有正确结
论的序号是（ ）
A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②④
【变式5-2】如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有（ ）
①点C、O、B一定在一条直线上；②若点E、点D分别是CA、AB的中点，则OE=OD；③若点E
是CA的中点，连接CO，则△CEO是等腰直角三角形．
A．3个 B．2个 C．0个
圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
题型6：圆内接四边形的性质
6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=105°，则∠α=（ ）
A．150° B．130° C．105° D．75°
【变式6-1】如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（ ）A．125° B．120° C．110° D．130°
【变式6-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为B´D的中点．若∠DCE
＝110°，求∠BAC的度数．
题型7：圆周角定理综合
7.如图，已知⊙O是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是A´B上一点，连结BD并延长至点
E，连结AD，CD.
（1）求证：DA平分∠EDC.
（2）若∠EDA＝72°，求B´C的度数.
【变式7-1】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD=BD.连接AC
并延长，与BD的延长线相交于点E.（1）求证：CD=DE；
（2）若AC=6，半径OB=5，求BD的长.
【变式7-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于点
D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，此时BD//EG.
（1）求证：AB=BF；
（2）当F为BC的中点，且AC=3时，求⊙O的直径长.
一、单选题
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=35°，则∠ COB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°2．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若∠BAC=64°，则∠OCB的度数为（ ）
A．64° B．36° C．32° D．26°
3．如图， ⊙O 是 △ABP 的外接圆，半径 r=2 ， ∠APB=45∘ ，则弦 AB 的长为（ ）
A．√2 B．2 C．2 √2 D．4
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则
∠ABC的大小是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
5．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（ ）
A．192° B．120° C．132° D．l50
6．如图，AB是 ⊙O 的直径，C，D为 ⊙O 上的两点，若 AB=6 ， BC=3 ，则 ∠BDC 的大小是（ ）
A．60∘ B．45∘ C．30∘ D．15∘
二、填空题
7．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC的度数为 .
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A=15°，弦CD=4，那么AB的长是 .
9．已知点A、B、C、D均在圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC=120°，则∠ABC的度数为
．
10．如图， ⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知 ∠OBA=30° ，点A的坐标
为 (2,0) ，则点D的坐标为 .11．如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于 ．
三、解答题
12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求
∠BAC.
13．已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，求
证：AE=BE.
14．如图，AB是⊙O的直径，C是 B´D 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
（1）求证：CF=BF（2）若CD=6，CA=8，求AE的长
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一个动点（不与A、B重合）．设
∠OAB=α，∠C=β
（1）当α=35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
