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专题 10 旋转和中心对称
【思维导图】
◎考点题型1 旋转的相关概念
在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点
叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示， 是 绕定点 逆时针旋转 得到的，其中点 与点 叫作对应点，线段
与线段 叫作对应线段， 与 叫作对应角，点 叫作旋转中心， （或 ）的度
数叫作旋转的角度.
【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
A'
B'
A
45°
O B
例．（2021·全国·七年级课时练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．鼠标在鼠标垫上滑动B．拧开冰红茶瓶盖C．一轮红日缓缓升起D．空中下落的硬币【答案】B
【分析】根据旋转的意义，在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，因此旋转前、
后的图形全等．由此可作出选择．
【详解】解：A、鼠标在鼠标垫上滑动，不属于旋转．
B、拧开冰红茶瓶盖，是旋转．
C、一轮红日缓缓升起，不是旋转．
D、空中下落的硬币，不是旋转．
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，要根据旋转的定义来判断是否是旋转．
变式1．（2021·广东广州·七年级期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳
光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点 逆时针最小
旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．
【详解】解：由题意可得：
若要太阳光板于太阳光垂直，
则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，
故选：B．
【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．
变式2．（2021·全国·九年级单元测试）下列图形绕某点旋转后，不能与原来重合的是（旋转度数不超过
180°）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转对称图形的概念作答．
【详解】字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的最小的旋转角分别是180度，360度，180度，180度．
因而绕某点旋转（旋转度数不超过180°）后能与原字母重合的是X，Z，H．
故答案为：B．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
变式3．（2021·浙江宁波·九年级期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的
图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转变换的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】A．两个三角形的大小不一样，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
B．两个三角形成抽对称，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
C. 一个三角形可以通过另一个三角形平移得到，不能通过一个三角形绕一点旋转一次得到，
D．能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形，
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转变换的定义，掌握图形的旋转变换，是解题的关键．
◎考点题型2 旋转的性质
旋转中心、旋转方向和旋转角.
1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3.旋转前、后的图形全等.
例．（2022·山东威海·八年级期末）如图，一块直角三角板 （∠A=60°）绕点 顺时针旋转到
A′B′C，当 ， ，A′在同一条直线上时，三角板 旋转的角度为（ ）
△A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】A
【分析】根据旋转的定义可得 为旋转角，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：由旋转得： 为旋转角，
，
，
即三角板 旋转的角度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的旋转、三角形的外角性质，熟练掌握旋转的概念是解题关键．
变式1．（2022·河北邯郸·二模）如图，将线段 绕一个点顺时针旋转 得到线段 ，则这个点是
（ ）
A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
【答案】A
【分析】根据旋转中心到对应点的距离相等作图可以得解．
【详解】如图，连接 、 ，分别作 、 的垂直平分线，发现相交于 点，因此 点是旋转中
心.
故选A．【点睛】本题考查旋转的应用，熟练掌握旋转的性质、线段垂直平分线的性质及作法是解题关键．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到
，则旋转中心是点（ ）
A．O B．P C．Q D．M
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转
中心．
【详解】解：如图，连接 ， ，可得其垂直平分线相交于点P，
旋转中心是点P．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确
定方法是解题的关键．
变式3．（2021·河北承德·九年级期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心
的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．【详解】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转
角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
◎考点题型3 根据性质求解
例．（2022·福建三明·八年级期中）如图，在 ABC中，∠B＝50°，将 ABC绕点A按逆
时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在BC边上，则 的度数为（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【分析】根据旋转的性质得出 ， ，再由三角形内角和定理求得 ，最后根据旋转
性质得到结论．
【详解】解： 将 绕点 按逆时针方向旋转得到△ ，
，
，
，
，
，
由旋转性质知 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些的性质求解．变式1．（2022·广东·平远县教师发展中心八年级期末）如图，在平面内将Rt ABC绕着直角顶点C逆时针
旋转90°得到Rt EFC，若AB=10，BC=6．则线段BE的长为（ ） △
△
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】由勾股定理可得AC=8，由旋转的性质可得CE=AC=8，即可求解．
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=10，BC=6，
∴ ，
∵Rt ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt EFC，
∴CE△=AC=8， △
∴BE=BC+CE=14，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是明确旋转前后对应边相等．
变式2．（2022·湖南·株洲县教学研究室八年级期末）如图，已知正方形 的边长为3，E为CD边上
一点， ．以点A为中心，把 顺时针旋转90°，得 ，连接 ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得出 ， ，再由勾股定理可求解．
【详解】解： 四边形 是正方形， ，
， ， ，
把 顺时针旋转 ，得 ，
， ，∴ ，
，
点 ，点 ，点 三点共线，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质．
变式3．（2022·贵州贵阳·八年级期末）如图，在 中， ， ， ，将 绕
点 顺时针旋转 得到 ，点 的对应点 落在边 上，连接 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出 ，再用旋转的性质得出 ， ， ，再用勾股定理求出 ，最
后求出周长，即可得出答案．
【详解】解：在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
由旋转知，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理、旋转的性质和三角形的周长等知识，掌握旋转的性质和运用勾股定理求出
边长是解本题的关键．◎考点题型4 根据性质说明线段相等或角相等
例．（2022·山东济南·八年级期中）如图所示，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得
到△ADE，连接EC，若 ，则∠CAD的度数为( )
A．15° B．25° C．35° D．40°
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得
∠AEC=∠ACE= 65°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，
∴ AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，
∴∠AEC=∠ACE，
∵ EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB = 65°，
∴∠AEC=∠ACE = 65°，
∴∠EAC =180°－2×65°= 50°，
∴∠CAD=∠CAB－∠CAE= 15°；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
变式1．（2022·四川资阳·七年级期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，若点E
恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】由旋转的性质及等腰三角形的性质可求得∠AEC=∠C=∠AED=40°，则可求得∠BED的度数．【详解】由旋转性质得：∠C=∠AED，AC=AE，∠CAE=100°，
∴ ，
∴∠AEC=∠C=∠AED=40°，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，掌握这两个性质是关键．
变式2．（2022·海南·海口实验中学九年级期中）如图，在 中， ， ， ，将
绕点A顺时针旋转90°得到 ，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在 中，由勾股定理解得AC的长，再关键旋转的性质得到 ，
，在 中，再利用勾股定理解得 的长即可．
【详解】解： ， ， ，
在 中， ，
由旋转的性质得 ， ，
在 中，
，
故选：D.
【点睛】本题考查旋转变换、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.
变式3．（2022·江苏·八年级）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE
的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出 AEB是等边三角形，再根据等边三角形
的三条边都相等可得BE=AB． △
【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到 AED，
∴AB=AE，∠BAE=60°， △
∴△AEB是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=4，
∴BE=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握图形旋转的性质是解答本题的关键.
◎考点题型5 旋转作图的步骤方法
1.先确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
2.找出图形上的关键点；
3.连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
4.按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.
例．（2022·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学八年级期末）如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转
90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D【分析】根据旋转及平移的性质画出图形，然后问题可求解．
【详解】如图，
A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''(-1,2)，
A''向下平移4个单位，得到A'(-1,-2)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形及平移的性质，熟练掌握旋转的性质、坐标与图形及平移
的性质是解题的关键．
变式1．（2022·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为
（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【答案】D
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
【详解】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：D．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．变式2．（2022·江苏·八年级）图，方格纸中的 ABC经过变换，可以得到 ABC ，则正确的变换方法是
1 1 1
（ ） △ △
A．将 ABC向右平移5格
B．将△ABC向右平移5格，再向下平移4格
C．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后，再向下平移3格
D．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格
【答案△】D
【分析】观察图象可知，先将 ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格即可得到．
【详解】解：根据图象知，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格即可得到 A
1
B
1
C
1
，
故选：D． △ △
【点睛】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到
了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，将 先向下平移1个单位，再绕点 按顺时针方向旋转
一定角度，得到 ，顶点 落到了点 处，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移及旋转定义画出图形，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，点 的对应点 的坐标是 ，故选：C．
【点睛】此题考查了平移的性质及旋转的性质，平移作图及旋转作图，正确理解性质作出图形是解题的关
键．
◎考点题型6绕原点旋转90°点的坐标
例．（2022·陕西安康·九年级期末）已知一直角坐标系内有点 ，将线段OA绕原点O顺时针旋转90°
后，A的对应点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出图形，利用图象法即可解决问题．
【详解】如图，观察图象可知 ，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会利用图象法解决
问题，属于中考常考题型．
变式1．（2022·山东·青岛大学附属中学八年级期中）如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转
90°，再向下平移4个单位，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标是（ ）A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【分析】根据旋转及平移的性质画出图形，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得如下图形：
∴由图象可知：点A的对应点C的坐标是（﹣1，﹣2）；
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形及平移的性质，熟练掌握旋转的性质、坐标与图形及平移
的性质是解题的关键．
变式2．（2022·山东青岛·二模）如图，将△ABC先向右平移两个单位，再绕原点O逆时针旋转90°，得
到 ，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（5，﹣2） D．（5，2）
【答案】B
【分析】先求出C点坐标(3,2)，在将C点向右平移2个单位得到 ，其坐标为(5,2)，连接 ，将线段
绕O点逆时针旋转90°即可得到 点坐标．【详解】通过网格图可知C点坐标(3,2)，向右平移2个单位得到 (5,2)，连接 ，将线段 绕O点逆
时针旋转90°即可得到 点，通过图形观察可知 坐标为(-2,5)，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移和旋转的性质，本题看似是三角形的平移和旋转，实则是点的平移和线段的旋转，
直接考虑C点的平移和旋转是快速解答本题的关键．
变式3．（2022·河北·模拟预测）如图，A点坐标为（－2，3），将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到新
△OAB，则A 的坐标是（ ）
1 1 1
A．（－3，－2） B．（3，2） C．（－2，－3） D．（2，3）
【答案】A
【分析】利用旋转的定义在图中找出旋转后A 点的位置即可求解．
1
【详解】解：如图所示，
将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到的新△OA1B1位于第三象限，
∵A点坐标为（－2，3），
∴ ， ，由旋转的性质可得， ， ，
∴A 坐标为（-3，-2），
1
故选A．
【点睛】本题考查旋转的性质和坐标变化，解题的关键是牢记：旋转不改变图形的大小与形状，也就是旋
转前后图形全等．
◎考点题型7 绕非原点旋转90°点的坐标
例．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，点 ， ，线段 绕点 顺时针方向旋转 得
线段 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作CD⊥x轴于点D，根据旋转的性质得∠BAC=90°，AC=BA，再利用等角的余角相等得到
∠BAO=∠C，则可证明△ABO≌△ CAD得到OA=CD=3，OB=DA=4，然后根据第一象限内点的坐标特征写
出C点坐标．
【详解】解：如图，作CD⊥x轴于点D，
由旋转的性质知：AB=AC，∠BAC=90°．
∵∠CAD+∠C=90°，∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠C．
在△ABO与△CAD中，，
∴△ABO≌△ CAD（AAS）．
∴OA=CD=3，OB=DA=4．
∴C（7，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是作CD⊥x轴于点
D后求出CD和OD的长．
变式1．（2022·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，将
先向右平移3个单位长度得到 ，再绕 顺时针方向旋转90°得到 ，则 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点位置，然后作图，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：△ABC ，△ABC 为所求：
1 1 1 2 2 1根据图像可知，A 的坐标是（2，2），
2
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题关键．
变式2．（2022·山东青岛·一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），
如果将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△A′BC′，将△A′BC′向下平移2个单位，得△A″B′C″，那
么点C的对应点C″的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别利用旋转变换，平移变换的性质画出图形可得结论．
【详解】解：如图，
由题意，C（2，1），
∴点C绕点B顺时针旋转90°得到C′（4，5），再向下平移2个单位得到C″（4，3），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质．
变式3．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，将正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°后，点B的坐标变为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用旋转的性质得出点B的对应点B′位置，进而利用坐标系直接得出点B′的坐标．
【详解】解：如图所示
：将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转90°后，点B旋转到点B′的位置，则点B′的坐标为：
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，利用旋转的性质得出B′位置是解题关键．
◎考点题型8 求绕原点旋转一定角的点的坐标
例．（2022·湖南·株洲二中一模）如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将
△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（ ）
A．（7，3 ） B．（7，5） C．（5 ，5） D．（5 ，3 ）
【答案】A
【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得
结论．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），
∴OB=6，
由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，
∵∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC=OA=4，∠ACO=60°，
∴∠DCE=60°，
∴CE= CD=3，DE= =3 ，
∴OE=OC+CE=4+3=7，
∴D（7，3 ），
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
变式1．（2022·广东珠海·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点 绕原点 逆时针旋转 ，得到的点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，根据旋转的性质把线段OA绕点O逆时针旋转90°到OA′位置，然后根据第二象限点的坐标
特征确定A′点的坐标．
【详解】解：如图，A点 绕原点 逆时针旋转 ，得到的A′点的坐标为 ．故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，利用旋转的性质求出相应的点的位置，再根据点的坐标特
征确定点的坐标．
变式2．（2022·广西南宁·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 坐标为 ，
绕 中点 旋转180°，则点 的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中点坐标公式求出点 的坐标，根据旋转可得点 为点 与其对应点的中点，再利用中点坐
标公式即可求解点 的对应点的坐标．
【详解】 为 的中点，点 （ ， ）， （ ， ）
点 （ ， ）
绕点 旋转
点 为点 与其对应点的中点
（ ， ）
点 的对应点的坐标为（ ，2）
故选：
【点睛】本题考查了旋转的性质，利用中点坐标公式求点的坐标，解题关键是根据旋转的性质得出点 为
点 与其对应点的中点是解题关键．
变式3．（2021·河南信阳·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点 逆时针旋转90°
得到点 ，则 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．
【详解】解：如图，点 ．
故选： ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 旋转，学会利用图象法解决问题是解题的关键．
◎考点题型9旋转综合题
例．（2022·山东·济南育英中学八年级期中）如图，平行四边形ABCD中， ， ． ，
E是边AD上且 ，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接
BG、CG，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
【答案】A
【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的
性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出
，求出EC即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BD，
∵AE=2DE，
∴AE=4，DE=2，
∵点N是AB的中点，
∴AN=NB=4，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≅△NEG（SAS)，
∴∠ENG=∠A=60°，
∴∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≅△BGN（SAS)，
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，
∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，
∴DH= =1，EH= ，
在Rt△ECH中，EC= ，
∴GB+GC≥ ，
∴GB+GC的最小值为
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题
型．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形 是菱形， ，且 ，
为对角线 （不含 点）上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，当
取最小值时 的长（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图：
∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴ΔBFG是等边三角形，
∴BF=BG=FG，
∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”，
∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示：
∴∠EBH=60°，
∵ ，
∴ ，EH=3，
∴EC=2EH=6，∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴ ,
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅
助线是解题的关键．
变式2．（2022·山东·临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐
标为(0，3)， ， ．将 绕点 顺时针旋转一定角度后得到 ，并且点 恰
好落到线段 上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过 作 ⊥AO于C点，先通过解解直角三角形求出OA，再证△ 是等边三角形，再在
Rt△ 中通过解解直角三角形求出 、AC，则问题得解．
【详解】过 作 ⊥AO于C点，如图，
∵B(0,3)，
∴OB=3，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠BAO=60°，
∴在Rt△AOB中，AO=BO×tan∠B=3×tan30°= ，
根据旋转的性质可知 ，∴△ 是等边三角形，
∴ ，
∴在Rt△ 中， ， ，
∴ ，
∵ 在第二次象限，
∴ 的坐标为： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转，主要考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识，
证明△ 是等边三角形是解答本题的关键．
变式3．（2021·河南·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，
且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用
旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S POQ OP•OQ 4×4＝8，最后由S
四边
△
OBPC＝S OCP+S OBP＝S OBQ+S OBP＝S POQ求解．
形
△ △ △ △ △
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置，
则△OCP≌△ OBQ，
∵∠BPC＝90°，
∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠OCP＝∠OBQ，
∴∠OBQ+∠OBP＝180°，
∴Q、B、P在同一条直线上，
∵PO＝4，△OCP≌△ OBQ，
∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，
∴∠QOP＝∠BOC＝90°，
∴△POQ是直角三角形，
∵S POQ OP•OQ 4×4＝8，
△
∴S OBPC＝S OCP+S OBP＝S OBQ+S OBP＝S POQ＝8，
四边形
△ △ △ △ △
故选：B．
【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出S
OBPC＝S OCP+S OBP＝S OBQ+S OBP＝S POQ是解题的关键．
四边形
△ △ △ △ △
◎考点题型10 中心对称
中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对
称点.
如图， 绕着点 旋转 后，与 完全重合，则称 和 关于点 对称，点 是
点 关于点 的对称点.A
D
O
B C
例．（2020·四川凉山·模拟预测）如图，AB垂直于BC且AB＝BC＝3cm， 与 关于点O中心对称，
AB、BC、 、 所围成的图形的面积是( )cm2．
A． B． π C． D． π
【答案】A
【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，
则题中所求面积等于△BAC的面积．
【详解】解：连AC，如图，
∵AB⊥BC，AB＝BC＝3cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵ 与 关于点O中心对称，
∴OA＝OC， ＝ ，
∴弓形OA的面积＝弓形OC的面积，
∴AB、BC、 与 所围成的图形的面积＝三角形ABC的面积＝ ×3×3＝ （cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都为 ；也考查了中心对称的性质以及三角形的面积公式．
变式1．（2022·福建漳州·模拟预测）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决
问题的关键．
变式2（2022·贵州黔东南·一模）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相
交于 ， 两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得A、B关于原点中心对称，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于A、B两点，
∴A、B关于原点中心对称，
∵点A的坐标是 ，
∴点B的坐标是 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性，是解题的关键．
变式3．（2021·河北保定·九年级期中）下列关于中心对称的描述不正确的是（ ）
A．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称B．关于
中心对称的两个图形是全等的
C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心 D．如果两个图形关于点O对称，点A与 是
对称点，那么
【答案】A
【分析】中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称
点．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的
连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．据此作出判断．
【详解】解：A．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形
就叫做中心对称图形．故选项错误，符合题意；
B．关于中心对称的两个图形是全等的，故选项正确，不符合题意；
C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故选项正确，不符合题意；
D．根据中心对称的性质可得此说法正确，故选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是
指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
◎考点题型11 中心对称的性质
中心对称的性质：
1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2.中心对称的两个图形是全等图形.
找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
例．（2014·辽宁阜新·中考真题） 与 在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点
成中心对称，其中点 ，则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由于点A 与点A关于原点O成中心对称，点A（4，2），所以点A 的坐标为（-4，-
1 1
2），故选B．
考点：中心对称．
变式1．（2019·全国·八年级课时练习）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用轴对称
知识的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果
旋转后的图形与原图形重合，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线
就叫做对称轴，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；
B、利用了轴对称，故本选项错误；
C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项正确；
D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义．
变式2．（2019·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作
菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C
的对应点C″的坐标是（ ）A．(2,-1) B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1)
【答案】A
【分析】先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可.
【详解】如图，
.
故选A.
【点睛】本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关
键，中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的
连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
变式3．（2019·山东济宁·九年级期中）如图，将 绕点 旋转 得到 设点 的坐标为
， 则点 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】根据题意，点A、A′关于点C对称，
设点A’的坐标是（x，y），
则 ， ，
解得x＝−a+2，y＝−b+2，
∴点A’的坐标是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称
是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
◎考点题型12 中心对称图形
中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
（1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的.
（2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形.
区别
（3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上.
（4）对称中心在两个图形之间. （4）对称中心在图形上.
（1）都是通过把图形旋转180°重合来定义的.
（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），
联系 那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对
称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
例．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和
艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
变式1．（2021·湖北恩施·一模）如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】找出两组对应点，然后连接每组对应点，则两组对应点连线的交点即为对称中心．
【详解】解：如图所示：
点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B，
所以点B是对称中心．
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的对称中心的找法，找出其中的两组对应点，然后连线是解决此类
问题的关键．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在 的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将
图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．
【详解】如图所示：5种不同的颜色即为使整个图案构成一个轴对称图形的办法．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称定义得出是解题关键．
变式3．（2015·浙江·江北初级中学九年级期中）把抛物线y=（x﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的
解析式为（ ）
A．y=﹣（x+1）2﹣2 B．y=﹣（x﹣1）2﹣2
C．y=﹣（x﹣1）2+2 D．y=﹣（x+1）2+2
【答案】A
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口
方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（-1，-2），
∴所得到的图象的解析式为y=-（x+1）2-2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
◎考点题型13 关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
例．（2021·辽宁大连·九年级期末）平面直角坐标系内与点 （1，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1， 1） B．（ 1，1） C．（1， 2） D．（ 1， 1）
【答案】D
【分析】平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，记忆方法是结合平面直角坐
标系的图形记忆．
【详解】解：平面直角坐标系内与点 关于原点对称的点的坐标是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是正确记忆横纵坐标的符号．
变式1．（2022·广东深圳·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．四边形的外角和是360°
B．如果 ，那么
C．点 关于原点对称的点的坐标是
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据选项给出的命题，判断正误即可．
【详解】A． 四边形的外角和是360°——故A选项正确；
B． 如果 ，那么 ——根据不等式额性质，不等号两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方
向不变；不等号两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；故B选项错误．
C． 点 关于原点对称的点的坐标是 ——关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，则
点 关于原点对称的点的坐标是 ；故C选项错误．
D． 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形——一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形；故D选项错误．
故选：A
【点睛】本题主要考查了判断各个命题的正确性，熟练地掌握各个定理和真命题地内容是解题的关键．
变式2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）已知点 在第二象限，且 ，则点M关于原点对称
的点的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，先求出 ，得到点M的坐标，然后求出关于原点对称的点的坐标即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点 在第二象限，
∴ ，
∴点 ，
∴点M关于原点对称的点的坐标是 ；
故选：D
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点
对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
变式3．（2022·贵州遵义·九年级期末）如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是（﹣
3，2），为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点A′，则点A'的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】解：∵A点关于原点O的对称点A′，A（−3，2），
∴A′（3，−2），
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，中心对称等知识，解题的关键是利用中心对称的性质
