文档内容
第 39 讲 直线与平面、平面与平面垂直
【基础知识全通关】
一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作
.直线 叫平面 的垂线；平面 叫直线 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
【点石成金】
(1)定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条
直线”不同，注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若 ，则 .
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：
特征：线线垂直 线面垂直
【点石成金】
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线
和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一
条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
二、直线与平面所成的角
1．直线与平面所成角的定义
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上
斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一
条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这
个平面所成的角.【点石成金】
(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
2．直线与平面所成的角 的范围：
直线和平面相交
直线和平面平行或直线在平面内， =0°．．
直线和平面所成角的范围是0°≤ ≤90°．
3．求斜线与平面所成角的一般步骤：
(1)确定斜线与平面的交点即斜足；
(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
三、二面角
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
表示方法：棱为 、面分别为 的二面角记作二面角 .有时为了方便，
也可在 内(棱以外的半平面部分)分别取点 ，将这个二面角记作二面角
.如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角 或 .
2.二面角的平面角
(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内
分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.
(2)二面角的平面角 的范围：0°≤ ≤180°．当两个半平面重合时， =0°；当两个半平面
相交时，0°＜ ＜180°；当两个半平面合成一个平面时， =180°．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(3) 二面角与平面角的对比
角 二面角
图形
定义 从半面内一点出发的两条射线（半直线）所 从空间内二直线出发的两个半平面所组
组成的图形 成的图形
表示 由射线、点（顶点）、射线构成，表示为 由半平面、线（棱）、半平面构成，表
法 ∠AOB
示为二面角
(4) 二面角的平面角的确定方法
方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
线．
如右图，在二面角 的棱 a 上任取一点 O，在平面 内过点 O 作
OA⊥a，在平面 内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角 的平面角．
方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面
产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如下图（左），已知二面角 ，
过棱上一点O作一平面 ，使 ，且 ， ．
∴ ， ，且 ⊥OA， ⊥OB，
∴∠AOB为二面角 的平面角．
方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，
利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，
具体步骤：一找，二证，三求．
如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．
过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．
∵AE⊥平面BCD，BC 平面BCD，∴AE⊥BC．
又EF⊥BC，AE∩EF=E，
∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角．
四、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面 与 垂直，记作 .
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直 面面垂直
【点石成金】
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通
常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直
问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到
两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.
五、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：
图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若 于 ， ，则 ．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
【点石成金】
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面
垂直关系的相互转化．
六、平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
【点石成金】
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角
经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的
重要思想方法．
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一
个平面内．
七、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定
义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而
架起条件与结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清．
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝．
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间．
【考点研习一点通】
考点01直线和平面垂直的定义
例1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；
②如果直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；
③如果直线 不垂直于 ，则 内没有与 垂直的直线；
④如果直线 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当直线 与平面 平行或在平面 内时，在平面 内都有直线与直线 垂直，故
在平面 内存在一组平行线（无数条）与 垂直，因此①②③均错，④正确．
【总结】“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多，而“任意条直线”除能说明直线无
穷多条外，还说明直线的位置关系是任意的，是不受限制的．解题时一定要加以区别．
【变式1-1】下列命题中正确的个数是( )①如果直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；
②如果直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；
③如果直线 不垂直于 ，则 内没有与 垂直的直线；
④如果直线 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当直线 与平面 平行或在平面 内时，在平面 内都有直线与直线 垂直，故
在平面 内存在一组平行线（无数条）与 垂直，因此①②③均错，④正确。
【总结】
“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多，而“任意条直线”除能说明直线无穷多条
外，还说明直线的位置关系是任意的，是不受限制的。解题时一定要加以区别。
【变式1-2】设直线 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面 内有且只有一条直线与直线 垂直
B．过直线 有且只有一个平面与平面 垂直
C．与直线 垂直的直线不可能与平面 平行
D．与直线 平行的平面不可能与 垂直
【答案】B
【解析】可以通过观察正方体 进行判断，取 为直线 ，平面
为平面 ，由 均与 垂直知，选项 错；由 与 垂直且与 平行
知，选项 错；由平面 与 平行且与 垂直知，选项 错，故选B。
考点02直线与平面垂直的判定
例2．如图，已知空间四边形 ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂
足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD．
【点拨】要证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平
面BCD中两条相交直线即可．
【解析】
证明：取AB中点F，连CF，DF，
∵BC=AC，∴CF⊥AB．
又∵AD=BD，∴DF⊥AB，
∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD．
又BE⊥CD，且AB∩BE=B，
根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE．
∴CD⊥AH．
而AH⊥BE，CD∩BE=E，∴AH⊥平面BCD．
【总结】本题主要考查线面垂直的判定，关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现
线线垂直与线面垂直的互相转化．
【变式2-1】如图，已知直三棱柱ABC—ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA=4，D是
1 1 1 1
棱AA 上的任一点，M，N分别为AB，BC 的中点．
1 1
（1）求证：MN∥平面DCC ；
1
（2）试确定点D的位置，使得DC ⊥平面DBC．
1
【点拨】
（1）连接AC ，由中位线定理即可得出MN∥AC ，故而MN∥平面DCC ；（2）由BC⊥
1 1 1
平面ACC A 可得BC⊥C D，故当C D⊥CD时有DC ⊥平面DBC，设
1 1 1 1 1
AD=x，根据勾股定理列方程解出x，从而确定D的位置．
【证明】（1）连接AC ，
1
∵M，N分别是AB，BC 的中点，
1
∴MN∥AC ，
1
又MN 平面ACC A，AC 平面ACC A，
1 1 1 1 1
∴MN∥平面ACC A．
1 1
即MN∥平面DCC ．
1
（2）∵CC ⊥平面ABC，BC 平面ABC，
1
∴CC ⊥BC，
1
又AC⊥BC，AC 平面ACC A，CC 平面ACC A，
1 1 1 1 1
∴BC⊥平面ACC A，∵C D 平面ACC A，
1 1 1 1 1
∴BC⊥C D．
1
故当C D⊥CD时，C D⊥平面BCD．
1 1
设AD=x，则AD=4－x，
1
， ．
又CC =4，
1
∴CD2+C D2=CC 2，即x2+4+(4－x)2+4=16．解得x=2．
1 1
∴D为AA 中点时，C D⊥平面BCD．
1 1
【总结】
（1）判定线面垂直的方法：
①利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．
②用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．③用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．
（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实
现线线垂直与线面垂直的相互转化．
考点03直线和平面所成的角
例3．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC。
求直线AS与平面SBC所成的角。
【点拨】确定AS在平面SBC上的射影是关键，即找过点A的平面SBC的垂线。因为
∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，所以△ASB与△ASC都是等边三角形。
因此，AB=AC。
【解析】
取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC。
设SA=a，则在Rt△SBC中， ， 。
在Rt△ADC中， ，则AD2+SD2=SA2，所以AD⊥SD。
又BC∩SD=D，所以AD⊥平面SBC。因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角。
在Rt△ASD中， ，所以∠ASD=45°，即直线AS与平面SBC所成的角为
45°。
【总结】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；
证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值。其中作角是关键，而确
定斜线在平面内的射影是作角的突破口。
考点04二面角
例 4．已知 Rt△ABC，斜边 BC ，点 ，AO⊥ ，O 为垂足，∠ABO=30°，
∠ACO=45°，求二面角A-BC-O的大小。
【答案】60°
【解析】 如图所示，在平面 内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD。
设OC=a，∵AO⊥ ，BC ，∴AO⊥BC。
又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD。
而AD 平面AOD，
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角。
由AO⊥ ，OB ，OC 知AO⊥OB，AO⊥OC。
又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴AO=a， ，AB=2a。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴ ，∴ 。
在Rt△AOD中， 。
∴∠ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60°。
【总结】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平
面角，再把平面角放到三角形中求解。
【变式4-1】 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，
BC∥AD，CD=1， ，∠BAD=∠CDA=45°。
（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
（2）证明：CD⊥平面ABF；
（3）求二面角B—EF—A的正切值。
【答案】（1） （2）略（3）
【解析】（1）因为 ，所以 所成的角就是异面直线 AF所成角，
余弦值为 。
（2）如右图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BGA=∠CDA=45°。由∠BAD=45°，可得BG⊥AB。
从而CD⊥AB。又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF。
（3）如图， 与 所成的角即为二面角B—EF—A的平面角，所以
二面角B—EF—A的正切值为 。
考点05平面与平面垂直的判定
例5．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中
点．
（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．
【点拨】
（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO，证明PA∥EO，利用直线与平面平行的判定定理
证明PA∥平面BDE．
（2）在△PAC中，推出∠APC=90°，求出PC，然后证明BE⊥DE，BE⊥PC，得到BE⊥面
PDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PDC．
【证明】（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，
又E为PC中点，∴PA∥EO
又EO 面BDE，PA 面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）在△PAC中，易得
∴∠APC=90°，∴
∴在△PDC中可求得 ，同理在△PBC中可求得
∴在△BDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE
又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC
BE⊥面PDC，又BE 面PBC
∴平面PBC⊥平面PDC
【考点易错】
1. 如 图 ， 已 知 ⊥ 平 面 ABC ， ∥ ， AB=AC=3 ，
，点E和F分别为BC和 的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的大小．
【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ）30°
【点拨】本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成
的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．【证明】（Ⅰ）证明：如图，连接 ．
在△ 中，因为E和F分别是BC和 的中点，
所以EF∥ ．
又因为 平面 ，
所以EF∥平面 ．
（Ⅱ）证明：因为AB=AC，E为BC中点，
所以AE⊥BC．
因为 ⊥平面ABC， ∥ ，
所以 ⊥平面ABC，从而 ⊥AE．
又因为BC∩ =B，
所以AE⊥平面 ，
又因为AE 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
（Ⅲ）取 的中点M和 的中点N，连接 ， ，NE．
因为N和E分别为 和BC的中点，
所以NE∥ ， ，
故NE∥ 且NE= ，
所以 ∥AE，且 =AE．
又因为AE⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
从而 为直线 与平面 所成的角．
在△ABC中，可得AE=2，所以 =AE=2．
因为BM∥ ，BM= ，
所以 ∥AB， =AB，
又由AB⊥ ，有 ⊥ ．
在Rt△ 中，可得 ，在Rt△ 中， ，因此 ．
所以，直线 与平面 所成的角为30°．
2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，
PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证
得CD⊥AE；
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得 AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面
PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面
平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
3.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥
平面ACE。
（1）求三棱锥D—AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面
DAE。
【点拨】
（1）转化顶点，以平面ADC为底，则AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求
解；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC
于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论。
【答案】（1） （2）详见证明
【证明】取AB中点O，连接OE，
因为AE=EB，所以OE⊥AB。
因为AD⊥面ABE，OE 面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD。
因为BF⊥面ACE，AE 面ACE，所以BF⊥AE。
因为CB⊥面ABE，AE 面ABE，所以AE⊥BC。
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE。
又BE 面BCE，所以AE⊥EB。
所以△AEB为等腰直角三角形，所以 ，所以AB边上的高OE为 ，
所以 。
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC
于N点，连MN，所以 。
因为MG∥AE，MG 平面ADE，AE 平面ADE，
所以MG∥平面ADE，
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
所以平面MGE∥平面ADE，
又MN 平面MGN，所以MN∥平面ADE。
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点。
4．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是
PC中点，G为AC上一点。
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（3）当二面角B—PC—D的大小为 时，求PC与底面ABCD所成角的正切
值。
【点拨】
（1）要证：BD⊥FG，先证BD⊥平面PAC即可。
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，FG∥平面PBD内的一条直线即可。
（3）当二面角B—PC—D的大小为 时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。
只要作出二面角的平面角，解三角形即可求出结果。
【证明】（1）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，
∵FG 平面PAC，∴BD⊥FG
（2）当G为EC中点，即 时，FG∥平面PBD，
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG 平面PBD，PE 平面PBD，
故FG∥平面PBD。
（3）作BH⊥PC于H，连接DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD就是二面角B—PC—D的平面角，即 ，
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角
连接EH，则EH⊥BD， ，EH⊥PC，
∴ ，而BE=EC，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 。
5．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【点拨】
（1）由 PA⊥底面 ABCD，可得 CD⊥PA，又 CD⊥AC，故 CD⊥面 PAC，从而证得
CD⊥AE；
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】
（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
⊂
∵AE 面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
⊂
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
⊂
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面
平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
6.如图，三角形ABCD中， ，ABED是边长为1的正方形，平面
ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）求证：AC⊥平面EBC；
（3）求几何体ADEBC的体积V。
【答案】（1）（2）证明详见解析；（3） ．
【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，
又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴GM∥BE，且 ，
NF∥DA，且 ，
又∵ADEB为正方形 ∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN 平面ABC，
∴GF∥平面ABC
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF∥AC，
又AC 平面ABC，
∴GF∥平面ABC
（2）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE
（3）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN 平面ABC，∴CN⊥平面ABED。∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴ ，
∵C—ABED是四棱锥，
∴
7.如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形 ADEF 为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面
ABCD⊥平面ADEF， ，点G为AC的中点。
（1）求证：EG∥平面ABF；
（2）求三棱锥B—AEG的体积；
（3）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。
【点拨】
（1）取AB中点M，连接MG，则EF∥MG，①即得证。
（2）转换三棱锥B—AEG为E—ABG即可求得体积。
（3）只要证明AE⊥CDE即可。
【答案】（1）略（2） （3）略
【证明】（1）证明：取AB中点M，连FM，GM。
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且 ，
又∵FE∥ ，
∴GM∥FE且GM=FE。
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM。
又∵EG 平面ABF，FM 平面ABF，
∴EG∥平面ABF。
（2）作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E—ABG的高
∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，∴ △AEF是正三角形
∴ ∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴
∴ 三棱锥BAEG的体积为
（3）平面BAE⊥平面DCE，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴ CD⊥平面AFED，
∴ CD⊥AE
∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AEF=60°，
∴ ∠FAD=120°
又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，
由余弦定理，得
∴
∴ ED⊥AE
又∵ ED∩CD=D
∴ AE⊥平面DCE
又 AE 面BAE
∴ 平面BAE⊥平面DCE
【巩固提升】
1．下列表述正确的个数为（ ）
①若直线a∥平面 ，直线a⊥b，则b⊥ ；
②若直线a 平面 ，b ，且a⊥b，则a⊥ ；
③若直线a平行于平面 内的两条直线，则a∥ ；
④若直线a垂直于平面 内两条直线，则a⊥ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】 ①中b与 还可能平行、斜交或b在平面 内；②中a与 还可能平行或斜
交；③中a还可能在平面 内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．
2．经过平面 外一条直线的平面中，与平面 垂直的平面（ ）
A．有且只有一个 B．一定有无数多个
C．有1个或无数多个 D．不一定存在
【答案】C【解析】 直线垂直于 时有无数个，否则1个．
3．对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面 ，使得（ ）
A． ， B． ，b∥
C．a⊥ ，b⊥ D．a ，b⊥
【答案】B
【解析】 若A项正确，则必有a∥b，在原题意中显然不一定具备该条件；若C项正确，
也必有a∥b，也不符合题意；若D项正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B．
4． ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
1 2 3
A． ⊥ ， ⊥ ∥
1 2 2 3 1 3
B． ⊥ ， ∥ ⊥
1 2 2 3 1 3
C． ∥ ∥ ， ， 共面
1 2 3 1 2 3
D． ， ， 共点 ， ， 共面
1 2 3 1 2 3
【答案】B
【解析】 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一
条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一
定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧
棱，故D错．
5．设有直线m、n与平面 、 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，m ，n ，则 ∥
B．若m⊥ ，m⊥n，n ，则 ∥
C．若m∥n，n⊥ ，m ，则 ⊥
D．若m⊥n，n⊥ ，m ，则 ⊥
【答案】C
【解析】 构造图形，结合所学过的定理逐一判断．
6．在三棱柱ABC—AB C 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D是侧面BB C C的中
1 1 1 1 1
心，则AD与平面BB C C所成角的大小是（ ）
1 1
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】 如图是三棱柱ABC—AB C ，不妨设各棱长为1．
1 1 1
取BC的中点E，连接AE，DE，∵CC ⊥底面ABC，
1
∴侧面BB C C⊥底面ABC，
1 1
又E为BC的中点，且△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，
由两平面垂直的性质定理知，AE⊥平面BB C C，
1 1
∴∠ADE的大小就是AD与平面BB C C所成角的大小．
1 1容易计算∠ADE=60°．故选C．
7．三棱锥S—ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以
下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；
③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和
平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【答案】D
【解析】由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；
再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；
取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离
，④正确，故选：D．
8．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，
Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ）
A．O—ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45° D．二面角D—OB—A为45°
【答案】B
【解析】 依题意，将正四面体补成一个正方体，且点 O恰好是正方体的一个顶点，由此不
难得知O—ABC是正三棱锥，直线OB与平面ACD相交（注意观察与直线OB平行的直线与平
面ACD是相交的），直线AD与OB所成的角是45°，二面角D—OB—A为45°．综上所述，
选B．
9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿
AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为
H，那么，在这个空间图形中必有（ ）
A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
【答案】B
【解析】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面
AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；
∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．
故选B．
10．已知m、 是直线， 、 是平面，给出下列命题：
①若 垂直于 内两条相交直线，则 ；
②若 平行于 ，则 平行于 内的所有直线；
③若 ， ，且 ，则 ；
④若 ，且 ，则 ；
⑤若 ， ，且 ，则 ．
其中正确的命题的序号是________．
【答案】①④ 对于②， ，但 不能平行于 内的所有直线；对于③，不能
保证 ；对于⑤， ，但在 ， 内的直线 与m可能平行，也可能异面．
11．如图，二面角 的大小是60°，线AB ，B∈ ，AB与 所成的角为30°，
则AB与平面 所成的角的正弦值是________．
【答案】
【解析】如图，作AO⊥ 于O，AC⊥ 于C，连接OB、OC，则OC⊥ ．
设AB与 所成角为 ，则∠ABO= ，
由图得 ．
12．已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使
PM⊥DM，则a的值为________．
【分析】连结AM，根据条件，要使PM⊥MD，则DM⊥面PAM，即DM⊥AM即可．然后
利用圆的性质，只要保证以AB为直径的圆和BC相切即可．
【答案】1.5
【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DM，若BC边上存在点M，使PM⊥MD，
则DM⊥面PAM，即DM⊥AM，
∴以AD为直径的圆和BC相交即可．
∵AD=BC=3，∴圆的半径为3，
要使线段BC和半径为3的圆相切，
则AB=1.5，即a=1.5，
∴a的值是1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查线面垂直的性质的应用，将线面垂直转化为直线垂直进而利用圆的
性质是解决本题的关键．
13．如图，在圆锥 PO 中，已知 ，⊙O 的直径 AB=2，点 C 在 上，且
∠CAB=30°，D为AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面POD；
（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．
【解析】（1）因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD．
又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以AC⊥PO．
而OD，PO是底面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD．
（2）由（1）知，AC⊥平面POD，又AC 平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，如答图59，则OH⊥平面PAC．
连接CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，
所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角．
在Rt△ODA中， ．
在Rt△POD中， ．
在Rt△OHC中， ．
14．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图（1）所示．墩的上半部分是正四棱锥P
—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH．图（2）、图（3）分别是该标识墩的正
（主）视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG．
【解析】（1）该安全标识墩侧（左）视图如下图（左）所示．
（2）该安全标识墩的体积
=64000 (cm)3．
（3）如上图（右），由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，
又ABCD—EFGH为长方体，∴BD∥FH．
设点O是正方形EFGH的中心，
∵P—EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH 平面EFGH，∴PO⊥FH．
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG=O，
PO 平面PEG，EG 平面PEG，∴FH⊥平面PEG．
而BD∥FH，故BD⊥平面PEG．
15．如图，在三棱台DEF—ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成
F
的角（锐角）的大小． D
E
O
G
C
A
H
B【证明】（Ⅰ）证法一：
连接GF，CD，设CD∩GF=O，连接OH
在三棱台DEF—ABC中，
F
AB=2DE，G为AC的中点， D
E
可得DF∥GC，DF=GC,
O
所以 四边形DFCG为平行四边形，
G
则O为CD的中点， C
A
H
又H为BC的中点，
B
所以OH∥BD，
又OH 平面FGH ，BD 平面FGH，
所以BD∥平面FGH
证法二：
在三棱台DEF—ABC中，
由BC=2EF，H为BC的中点，
可得 BH∥EF，BH=EF，
所以四边形BHFE为平行四边形，
可得 BE∥EF，
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
所以GH∥AB，
又GH∩HF=H，所以平面FGH∥平面ABED，
因为 BC 平面ABED，
所以 BD∥平面FGH．
（Ⅱ）作HM⊥AC与点M，作MN⊥GF与点N，连接NH由FC⊥平面ABC，得
F
D
HM⊥FC， E
又 FC∩AC=C，
N
所以HM⊥平面ACFD， G M
C
A
因此 GF⊥NH，
H
所以∠MNH即为所求的角， B
在△BGC中，MH∥BG， ,
由△GNM∽△GCF，
可得 ，
从而 ，由 HM⊥平面ACFD，MN 平面ACFD，
得 HM⊥MN，
因此 ,
所以 ∠MNH=60°，
所以 平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60°．
16．如图，已知四棱台ABCD—A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，
AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1，BC上，BQ=4．
（1）若 ，证明：PQ∥平面ABBA；
1 1
（2）若P是DD的中点，证明：AB⊥平面PBC．
1 1
【证明】（1）在AA 上取一点N，使得 ，
1
∵ ，且AD=3，AD=6，
1 1
∴ ，又 ，
∴ ，
∴四边形BQPN为平行四边形，
∴PQ∥BN，
∵BN 平面ABBA，PQ ABBA．
1 1 1 1
∴PQ∥ABBA．
1 1
（2）如图所示，取AA的中点M，连接PM，BM，PC，
1
∵A，A，DD是梯形的两腰，P是DD的中点，
1 1 1
∴PM∥AD，于是由AD∥BC知，PM∥BC，∴P，M，B，C四点共面，
由题设可知，BC⊥AB，BC⊥AA，
1
∴BC⊥平面ABBA，
1 1
∴BC⊥AB，①
1
∵ ，
∴∠ABM=∠AAB，
1 1
∴∠ABM+∠BAB=∠AAB+∠BAB=90°，
1 1 1 1 1
∴AB⊥BM，
1
再由①与BC∩BM=B，知AB⊥平面PBC．
1
17．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在
边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点．
∴EF∥PC，又EF不包含于平面PAC，
而PC 平面PAC，∴EF∥平面PAC
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP 平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF 平面PAB，
∴AF⊥BE，
又PA=PB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BE PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE 平面PBE，∴AF⊥PE．
∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
18．如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F
是PC中点，G为AC上一动点．（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．
（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B—CDF的体积．
【分析】（1）由已知条件，利用直线垂直于平面的判定定理，先推导出BD⊥平面APC，
由此能够证明BD⊥FG．
（2）当G为EC中点时，FG∥平面PBD．根据题设条件，利用直线与平面平行的判
定定理进行证明．
（3）三棱锥B—CDF的体积等于三棱锥F—BCD的体积，利用等积法能求出结果．
【答案】（1）略（2）略（3）
【证明】（1）证明：∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD、AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD．
∴BD⊥平面APC，
∵FG 平面PAC，∴BD⊥FG
（2）当G为EC中点，即 时，FG∥平面PBD．
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE
而FG 平面PBD，PB 平面PBD，
故FG∥平面PBD．
（3）连结FE，FD，
∵F是PC中点，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴FE∥PA，且 ，
∵PD⊥面ABCD，∴FE⊥面BCD，
∵ ，
∴三棱锥B—CDF的体积 ．
