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专题 15 概率
【思维导图】
◎考点题型1 事件
事件类型：
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
例．（2022·山东菏泽·七年级期末）下列事件属于必然事件的是（ ）
A． 人中至少有 人的生日在同一个月 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
C．画一个三角形，其内角和是 D．早上的太阳从西方升起
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解： 、 人中至少有 人的生日在同一个月，是随机事件，故A不符合题意；
B、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数，是随机事件，故B不符合题意；
C、画一个三角形，其内角和是 ，是必然事件，故C符合题意；
D、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
变式1．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角
B．抛掷一次硬币正面朝上
C．随便翻开一本书，页码是偶数
D．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖
【答案】A
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然
事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事
件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A. 任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角，是必然事件，故该选项符合题意；
B. 抛掷一次硬币正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
C. 随便翻开一本书，页码是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票不一定中奖，故该选项不符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了概率的意义，三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握以上概念是解题的关键．
变式2．（2018·全国·九年级单元测试）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个
实验中不能代替此实验的是（ ）
A．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
B．扔一枚正六面体的骰子
C．人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人
D．两张扑克，“方块”代替“正面”，“梅花”代替“反面”
【答案】B
【分析】依据抛一枚均匀硬币出现情况只有两种即可判断出正确答案．
【详解】解：在抛硬币事件中出现的情况只有两种，A、C、D事件中出现的情况也为两种，
而B出现的情况为六种，
故选B．
【点睛】解决本题的关键是从出现的情况数目分析．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽
子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（ ）
A．7种 B．6种 C．5种 D．4种【答案】B
【分析】利用画树状图分析所有可能情况，有3种不同款式的帽子为A、B、C，第一层，三个分支，有2
种不同款式的围巾为D、E，是第二层，在每个分支上再画两个小分支即可知道所有的情形．
【详解】设3种不同款式的帽子为A、B、C，2种不同款式的围巾为D、E，
画树状图为：
，
∴可能出现的组合有6种，
故选择：B．
【点睛】本题考查树状图表示组合问题，掌握树状图的画法与分支以及层次是解题关键．
◎考点题型2 概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中
结果，那么事件A发生的概率为
例．（2022·湖南长沙·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
【答案】A
【分析】根据全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；
B. “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题
意；D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次,故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，掌握以上知识是解题的关键．
根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在
一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不
可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．条形统计图能很容易
看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能
反映部分与整体的关系；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得
到的调查结果比较近似，由此根据情况选择即可．
变式1．（2022·湖南·明德华兴中学三模）下列说法正确的是（ ）
A．要了解沈阳市市民的燃气安全意识，应选用普查方式
B．如果天气预报明天降雪的概率是 ，那么明天有一半的时间都在下雪
C．若A、B两组数据的平均数相同， ， ，则B组数据较稳定
D．早上的太阳从东方升起是必然事件
【答案】D
【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查、方差、随机事件的概念，逐一判断即可解答．
【详解】A选项，要了解沈阳市市民的燃气安全意识，应选用抽样调查方式，故A不符合题意；
B选项，如果天气预报明天降雪的概率是 ，那么明天降雪的可能性是 ，故B不符合题意；
C选项，若A、B两组数据的平均数相同， =0.01， =0.04，则A组数据较稳定，故C不符合题意；
D选项，早上的太阳从东方升起是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，方差，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题
的关键．
变式2．（2022·浙江杭州·九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．可能性很小的事件不可能发生 B．可能性很大的事件必然发生
C．必然事件发生的概率1 D．不确定事件发生的概率为
【答案】C
【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．【详解】解：A、可能性很小的事件也可能发生，故本选项错误，不符合题意；
B、可能性很大的事件不是必然事件，不一定发生，故本选项错误，不符合题意；
C、必然事件发生的概率为1，故本选项正确，符合题意；
D、不确定事件发生的概率是不确定的，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可
能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
变式3．（2022·江苏宿迁·八年级期中）一个布袋里装有3个红球，4个黑球，5个白球，它们除颜色外都
相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是( )
A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球
【答案】D
【分析】根据等可能事件的概率公式，求出任意摸一个球为红球、黑球、绿球、白球的概率即可.
【详解】解：任意摸出一个球，为红球的概率是： ，
任意摸出一个球，为黑球的概率是： ，
任意摸出一个球，为绿球的概率是： ，
任意摸出一个球，为白球的概率是： ，
故可能性最大的为：摸出的是白球，
故答案为：D.
【点睛】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件
A出现了m种情况，则事件A发生的概率为： .
◎考点3列举法
直接列举法求概率
当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。
例．（2022·江西萍乡·七年级期末）小军旅行箱的密码是一个六位数（密码的每位数字通常用0，1，2，
3，4，5，6，7，8，9这十个数字），由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是(
)A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，直接利用概率公式求解
即可求得答案．
【详解】解：∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的
只有1种情况，
∴小军能一次打开该旅行箱的概率是： ．
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
变式1．（2022·安徽·中考真题）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、
白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑
色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解．
【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，
共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，
∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 ，
故选：B
【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况，
分别是3，4，5三种情况.
所以和为偶数的概率为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的的概率公式.
变式3．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）如图，在太极八卦图中，每一卦由三根线组成（线形为
“ ”或“ ”），如正北方向的卦为“ ”，从图中任选一卦，这一卦中恰有2根“
”和1根“ ”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以八卦中任取一卦，利用列举法求出这一卦的三根线中恰有1根“ ”和2根“ ”包含的
基本事件有3个，由此能求出从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根“ ”和2根“ ”的
概率．
【详解】解：从八卦中任取一卦，共有8种等可能结果，从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“ ”和
2根“ ”的有3种结果，
∴从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“ ”和2根“ ”的概率为 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．◎考点4 列表法求概率
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常
采用列表法。
例．（2021·四川成都·三模）随着移动支付的发展，商场购物的支付方式越来越多样、便捷．某商场支持
微信、支付宝、银行卡、现金、预付费购物卡、刷脸等多种支付方式．学校数学兴趣小组设计了一份调查
问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计
图，请结合图中所给的信息解答下列问题．
(1)这次活动共调查了 ______人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 ______°；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式中选一种方式进行支付，
请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择相同支付方式的概率．
【答案】(1)300；126
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）用喜欢用微信，现金和其他支付的人数除以它们所占的百分比的和得到调查的总人即可解
决问题．
（2）先求出喜欢用支付宝和银行卡支付的人数，然后补全条形统计图即可．
（3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，再
根据概率公式求解即可．
（1）这次活动调查的总人数为：（105+30+15）÷（1﹣20%﹣30%）＝300（人），∴表示“微信”支付的
扇形圆心角的度数为：360°× ＝126°，故答案为：300，126；
（2）用支付宝支付的人数为：300×30%＝90（人），用银行卡支付的人数为：300×20%＝60（人），补全条形统计图如下：
（3）把“微信”“支付宝”“现金”三种支付方式分别记为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付
方式的结果有3种，∴小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
变式1．（2022·湖南湘西·九年级期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自
制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有
任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：
(1)随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；
(3)如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问
这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)因为小诚获胜的概率大于小明获胜的概率，所以不公平
【分析】（1）用抽取张数除以A组总数即可求出概率；
（2）通过树状图将每种情况列出来即可；
（3）根据（2）所列出来所有情况，分别用乘积为3的倍数的总数与乘积不为3的倍数的总数除以所有情况，若概率不相等则不公平，反之则公平．
（1）∵抽取1张，且A组共有3张∴ 故抽到数字2的概率为 ．
（2）由题意画出树状图如下： ∴共有（2，3）
（2，5）（4，3）（4，5）（6，3）（6，5）6种等可能的结果．
（3）∵ 乘积为3的倍数有（2,3）、（6,3）、（4,3）、（6,5）四种情况∴ ∵ 乘积不为
3的倍数（2,5）、（4,5）两种情况∴ ∵ ∴小诚获胜概率大于小明获胜概率故这样
的游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了概率的基本运算及比较，以及画树状图列出每一个事件，概率的计算公式是本题的关
键．
变式2．（2022·河南驻马店·九年级期末）为了让学生提高身体素质，实现“德智体美劳”全面发展，体育
已经成为了中考的第四大主科，不仅总分进行了提升，也直接纳入到中考的总成绩当中．下面是2022年驻
马店市体育考试项目：
驻马店市体育考试项目
二
必考 三选一 选
一
立 引
10 实
男 定 体 跳 篮 足
00 心
生 跳 向 绳 球 球
米 球
远 上
立 仰
80 实
女 定 卧 跳 篮 足
0 心
生 跳 起 绳 球 球
米 球
远 坐
(1)九年级一班的小华同学恰好选中跳绳的概率是多少？
(2)求九年级二班的小强（男生）同学恰好选中跳绳、足球的概率（画树状图或列表）．【答案】(1)
(2) ，树状图见解析
【分析】（1）直接利用简单的概率公式求解即可；
（2）利用树状图或列表法得出所有可能结果，然后找出满足条件的结果求解即可．
（1）解：小华同学有三种选择，其中选中跳绳的概率为： ；
（2）解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中满足条
件的有1种，∴恰好选中跳绳、足球的概率为P= ．
【点睛】题目主要考查简单的概率公式计算及利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握运用列表法或树状
图法求概率是解题关键．
变式3．（2022·辽宁大连·九年级期末）现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其
他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机取出1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是 ；
(2)若从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩下的3张中随机抽取1张卡片，请用画树状图或列表的方法，
求两次抽取的卡片都是轴对称图形的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
（1）解：观察图形，卡片A，B，C是轴对称图形，卡片C，D是中心对称图形，从中随机取出1张卡片，
卡片上的图案是中心对称图形的概率是 ；故答案为： ；
（2）解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等
可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是轴对
称图形的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
◎考点5 树状图法求概率
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用树状图法求概率。
例．（2022·河南南阳·九年级期末）游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积
相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于3，则游戏者获胜．
(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
(2)求游戏者获胜的概率．
【答案】(1)有6种等可能的结果，6种结果分别为1，2，3，2，4，6；
(2)
【分析】（1）先画树状图，再求解转到的两数之积，即可得到所有的等可能的结果；（2）共有6种等可能的结果，两次数字之积大于3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，6种结果分别为1，
2，3，2，4，6；
（2）由（1）得：有6种等可能的结果，两次数字之积大于3的结果有2种， ∴游戏者获胜的概率为 ．
【点睛】本题考查的是画树状图法求概率．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．
变式1．（2022·山东德州·九年级期末）为积极相应“五项管理”政策，加强学生体育锻炼，某校开设羽毛
球、篮球、乒乓球兴趣小组，为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部
分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)求参与调查的学生中，喜爱乒乓球运动的学生人数，并补全条形图．
(2)该校七年级共有880名学生，请你估计该校七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？
(3)若从喜爱羽毛球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校羽毛球运动员的重点培养
对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)21人，图见解析
(2)396名
(3)
【分析】（1）由题意易得调查的总人数，然后可得喜爱乒乓球的学生人数，进而问题可求解；
（2）由（1）及题意可直接进行求解；
（3）根据画树状图可直接进行求解．(1)
解：由题意可知调查的总人数＝12÷20%＝60（人），
所以喜爱乒乓球运动的学生人数＝60×35%＝21（人），
补全条形图如图所示：
(2)
解：∵该校七年级共有880名学生，
∴该校七年级学生中喜爱篮球运动的学生有880×（1﹣35%﹣20%）＝396名；
(3)
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为 ．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图及概率，熟练掌握利用树状图求解概率及统计图是解题的
关键．
变式2．（2022·湖南长沙·九年级期末）为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，
对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计，分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：
基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答
下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有 人；
(2)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
(3)七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求
出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)50
(2)36°，图见解析
(3)
【分析】（1）由“C”等级的人数除以所占百分比即可求出答案；
（2）由360°乘以“D”等级所占的比例得出扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，再求出“B”等
级的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得出共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概
率公式求解即可．
(1)
解：接受问卷调查的学生共有 (人)；
故答案为：50
(2)
解： ，
“B”等级的学生人数为 (人)，
补全条形统计图如下：
(3)解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式3．（2021·吉林辽源·九年级期末）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰
物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相
同．将三张卡片正面向下洗匀，小丰同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从
中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小丰同学两次抽出的卡片中含有B卡片的概率．
【答案】 ，详见解析
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中 含有B卡片的情况数，然后根据概率公式即
可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有9种等可能结果，其中卡片中含有B卡片的有5种情况，
∴小丰同学两次抽出的卡片中含有B卡片的概率为： ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成 的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不
放回试验．◎考点题型6 利用频率估计概率
实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率
，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限
制，使得可求概率的随机事件的范围扩大.
例．（2021·全国·九年级专题练习）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做
了100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
15 14 25 13 13
数 0
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现
4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
【答案】（1）0.15；0.13；（2）小明和小亮都是错误的，见解析；（3）
【分析】（1）结合表格中数据，根据“频率=频数÷总数”即可求得；
（2）根据频率估计概率的条件和事件发生的随机性判断正误；
（3）运用概率的计算公式计算即可
【详解】解：（1）“1点朝上”的频率为 ；
“6点朝上”的频率为 ；
（2）小明的说法错误；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
（或出现3点朝上的概率应为 ）
小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性；
（3）点数不小于4的可能性有3种，所有可能性有6种，
【点睛】本题考查了根据频数、总数求频率，随机事件的定义，运用概率公式求概率，理解定义是解题的关键．
变式1．（2022·河北·涿州市清凉寺学校九年级期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装
有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后
放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数
200 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的
116 192 232 298 590 968 1202
个数
摸到白球的
0.58 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605
频率
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 ；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
【答案】(1)0.601
(2)0.6
(3)3
【分析】（1）利用摸到白球的个数除以摸球的个数即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
(1)
解：1202÷2000=0.601；
故答案为：0.601．
(2)
当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.600；
故答案为：0.600．
(3)
∵摸到白球的概率的估计值是0.600，
∴摸到红球的概率的估计值是0.400，
∵袋中有红球2个，∴球的个数共有：2÷0.400=5（个），
∴袋中白球的个数为5-2=3．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势
来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
变式2．（2022·江苏泰州·八年级期中）在一个不透明的口袋里装有若干个红球和白球（这些球除颜色外都
相同），八（1）班学生在数学实验室做摸球试验：搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回
袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总获得的数据统计表：
摸球的次数 150 300 600 1000 1200 1500
摸到白球的频数 51 237 401 480 603
0.340 0.390 0.395 0.401 0.400
摸到白球的概率
(1)按表格数据，表中 _______； _______；
(2)请估计：当次数 很大时，摸到白球的频率将会在某一个常数附近摆动，这个常数是_______（保留一个
小数位）；
(3)将球搅匀，从口袋中任意摸出1个球，摸到白球和摸到红球的可能性相同吗？为什么？
【答案】(1)117，0.402
(2)0.4
(3)不相同，原因见解析．
【分析】（1）用摸球的次数 乘以摸到白球的概率 即可求出a；用摸到白球的频数 除以摸球的次数 即
可求出b；
（2）通过观察表格中的数据可知，摸到白球的频率会在0.4左右摆动；
（3）比较摸到红球的概率和摸到白球的概率是否相等，若相等即可能性相同，否则不相同．
（1）
a=300×0.390=117，b= ，
故答案为：117，0.402
（2）
由表可知，随着s的增大，频率会在0.4左右摆动，
故答案为：0.4；（3）
∵摸到白球的概率=0.4，
∴摸到红球的概率=1-0.4=0.6，
0.4<0.6
∴摸到白球和摸到红球的可能性不相同．
【点睛】本题主要考查了事件的可能性，熟练地掌握用频率估算概率的方法是解题的关键．
变式3．（2022·江苏盐城·八年级阶段练习）儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则
如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，任意摸出一个球，摸
到红球就得到一个玩具娃娃．已知参加这种游戏的儿童有4000人次，公园游戏场发放玩具娃娃800个．
(1)求参加此次活动得到玩具娃娃的频率；
(2)袋中约有多少个白球？
【答案】(1)0.2
(2)袋中约有32个白球
【分析】（1）根据概率的频率定义进行计算即可；
（2）设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
（1）解：参加此次活动得到玩具娃娃的频率是 =0.2；
（2）解：设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P（红球）= ，则 =0.2，解得：m=40，所以白球接
近40-8=32个．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所
求情况数与总情况数之比．
◎考点题型7 游戏的公平性
例．（2022·四川雅安·七年级期末）学校举办了书法比赛．小明和小张都想参加，但现在只有一个名额．
小明想出了一个办法，他将一个转盘（质地均匀）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，
若指针指到1，2，3中任一个数，则小明去；若指针指到其它数，则小张去．这个游戏规定对双方公平吗？
为什么？若不公平，请修改游戏规定，使这个游戏对双方公平．【答案】不公平；理由见解析；修改规则为：若指针指到偶数，则小明去；若指针指到奇数，则小张去
【分析】先求出各自获胜的概率，即可得出是否公平，改为奇偶性即可使游戏公平．
【详解】解：不公平；理由如下：
小明获胜的概率为 ，小张获胜的概率为 ，
∵ ≠ ，
∴此游戏不公平；
修改规则为：若指针转到偶数，则小明胜；若指正转到奇数，则小张胜．
【点睛】本题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式的运用．
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将五张背面图案完全一样的卡片，分别标上数字1，2，3，4，4，
洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题．
(1)随机抽取一张，抽到4的概率________；
(2)随机抽取一张，抽出奇数的概率________；
(3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏，哥哥抽出标有偶数的卡片赢，弟弟抽出标有奇数的卡片赢．这个
游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数量和内容）使游戏
公平．
【答案】(1)
(2)
(3)不公平，游戏规则改为，抽出大于3的哥哥赢，抽出小于3的弟弟赢（规则修改不唯一）
【分析】（1）应用概率的计算公式即可得出答案；
（2）应用概率的计算公式即可得出答案；
（3）求出抽出标有偶数的卡片的概率为 ，抽出标有奇数的卡片的概率为 ，得这个游戏不公平；修改游
戏规则后，哥哥抽出大于3的卡片的概率=弟弟抽出小于3的卡片的概率，则游戏公平．(1)
解：总共有5张卡片，标有数字4的有2张，因此抽到4的概率 ；
(2)
总共有5张卡片，奇数有1，3共2张卡片，因此抽到奇数的概率 ；
(3)
因为弟弟抽到奇数的概率是 ，而哥哥抽到偶数的概率是 ，因此游戏不公平；可以将游戏规则改为：抽
出大于3的哥哥赢，抽出小于3的弟弟赢（规则修改不唯一）．
【点睛】本题考查了概率的计算，准确分清每个事件包括的项目数是本题的关键．
变式2．（2022·河南洛阳·九年级期末）小明听说小张和小李两位好朋友利用星期天到河岸边清理垃圾，参
加保护环境志愿者服务活动，也临时参加，活动结束后，有赞助商赠送两个书包作为奖品，小明提出：用
抓阄的方式来确定书包归属，将写有A、B、C三张相同的纸片，标有A、B的有奖品，标有C的无奖品，
折叠成外表完全一样的纸团搅匀，每人抓一个，小李提出异议说：谁先抓对谁有利，认为这个方法不公平．
而小张、小明则认为：先抓后抓一个样．你认为抓阄这个方法公平吗？用学过的概率知识进行说明．
【答案】抓阄这个方法公平，理由见解析
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：抓阄这个方法公平，理由如下，
根据题意，将写有A、B、C三张相同的纸片，标有A、B的有奖品，标有C的无奖品，
∴先抓后抓的获得奖品的概率都是 ，
∴抓阄这个方法公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，正确地利用概率公式计算概率是解题的关键．
变式3．（2022·河南·开封市祥符区教育体育局基础教育教研室七年级期末）如图，对于给定的转盘，指针
停在各个数字部分的概率都相等．小明和小亮两人做游戏，如果指针停在偶数，则小明赢；如果指针停在
3的倍数，则小亮赢，那么这个游戏对小明和小亮公平吗?谁获胜的概率大?若不公平，你能修改游戏规则，
使之公平吗?【答案】不公平；规则见解析
【分析】根据转盘求出小明获胜的概率和小亮获胜的概率，即可得出结果；为了使游戏公平，使他们获胜
的概率相等即可．
【详解】解：不公平；
∵转盘上有偶数6个，是3的倍数的数有4个，
∴小明获胜的概率是 ，小亮获胜的概率是 ，
∴游戏不公平；
规则可改为：如果指针停在偶数，则小明赢；停在奇数，则小亮赢．
【点睛】本题主要考查了概率的计算公式，解题的关键是求出小明和小亮获胜的概率．
◎考点题型8 转盘抽奖应用
例．（2022·山西大附中一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物
满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割
线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
实惠．【答案】(1)
(2)方案一，见解析；
【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可；
（2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断；
(1)
解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域
的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况
有5种，
∴P(一红区和一蓝区)=
(2)
由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ，
∴方案二的平均收益为： ，
∵13<20，
∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠；
【点睛】本题主要考查列表法（或画树状图法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
变式1．（2022·山东·济南育英中学七年级期中）一圆盘被平均分成 等份，分别标有
这 个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游
戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，
猜数的方法从下面三种中选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是 的倍数”或“不是 的倍数”；（3）猜“是大于 的数”或“是不大于 的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜
数方法？并请你用数学知识说明理由．
【答案】第2种，理由见解析
【分析】由一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，利用概
率公式即可求得“是奇数”或“是偶数”，“是3的倍数”或“不是3的倍数”，“是大于4的数”或
“是不大于4的数”的概率．
【详解】解：选第2种猜数方法．
理由：P =0.5，P =0.5；
（是奇数） （是偶数）
P =0.3，P =0.7；
（是3的倍数） （不是3的倍数）
P =0.6，P =0.4．
（是大于4的数） （不是大于4的数）
∵P 最大，
（不是3的倍数）
∴选第2种猜数方法，并猜转盘转得的结果不是3的倍数．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．（2021·山东烟台·七年级期末）新冠疫情以来，各地政府为活跃消费市场，释放消费潜力，各商家
采取各种促销以此来对冲疫情影响．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均
匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指
针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指向边
界则重转），凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）某顾客在此商场购物220元，通过转转盘获得购物券和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合
算？谈谈你的理由．
【答案】（1） ；（2）选择转转盘对顾客更合算，理由见解析
【分析】（1）由转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概率公式即可
求得答案；（2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案．
【详解】解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，
∴P（转动一次转盘获得购物券）＝ ；
（2）∵P（红色）＝ ，
P（黄色）＝ ，
P（绿色）＝ ，
∴200× +100× +50× ＝40（元）
∵40元＞30元，
∴选择转转盘对顾客更合算．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式3．（2018·全国·七年级单元测试）转动下面这些可以自由转动的转盘，当转盘停止转动后，估计“指
针落在白色区域内”的可能性大小，并将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序排列．
【答案】（1）、（3）、（2）．
【详解】试题分析：
先根据每个转盘中，白色区域占整个转盘面积的比例，求出每个转盘中，转盘停止转动后，指针落在白色
区域的概率，再按概率的大小排序即可.
试题解析：
如图所示，在（1）中，白色区域占整个转盘的 ，
∴在（1）中，P（指针落在白色区域）= ；
同理可得，在（2）中P（指针落在白色区域）= ；在（3）中，P（指针落在白色区域）= ；
∵ ，∴按指针落在白色区域可能性的从小到大排序结果为：（1）、（3）、（2）．
◎考点题型9 比赛中的应用
例．（2022·全国·九年级单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平
均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分
球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)共投出640个3分球，共投中160个3分球
(2)说法不正确；理由见解析
【分析】（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动
员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；
（2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个
值；由此加以理解即可．
(1)
解：设该运动员共投出x个3分球．
∵3分球的命中率为0.25，
∴3分球的未命中率为1－0.25＝0.75．
根据题意，得 ＝12．
解得x＝640．
∴0.25x＝0.25×640＝160(个)．
答：运动员去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球．
(2)
解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽
然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员在这场比赛中不一定投中了5个3分球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、概率的意义．解题的关键是理解概率的意义．
变式1．（2021·辽宁锦州·九年级期中）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，
背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或
小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
【答案】（1）游戏对双方不公平
（2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平（答案不唯一）
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或
转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：（1）这个游戏对双方不公平
∵ ； ；
； ，
∴杨华平均每次得分为 （分）；
季红平均每次得分为 （分）．
∵ ＜ ，
∴游戏对双方不公平
（2）改为：当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏对双方公平．（答案不唯一，
其他规则可参照给分）
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
变式2．（2022·河北廊坊·九年级期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到
一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图
解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？【答案】(1)
(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙
的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得
出结论．
（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下： 共有4种可能出现
的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为 ．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下： 共有8种可能
出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，根据所有结果出现的可能
性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
变式3．（2020·安徽·二模）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，
并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．
成绩 频数 频率
2 0.04
0.16
20 0.40
16 0.32
4
合计 50 1请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求出 , 的值并补全频数分布直方图．
（2）将此次比赛成绩分为三组： ； ； 若按照这样的分组方式绘制扇
形统计图，则其中 组所在扇形的圆心角的度数是多少？
（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和
小怡同时被选上的概率．
【答案】（1）a=8，b=0.08；补图见解析；（2）144°；（3） ．
【分析】（1）根据题中可得总人数为50人，则 中人数所占频率即可求出a的值，则
中出现的频数即可求得b的值；
（2）根据圆心角的度数为所占百分比乘以360°即可求解；
（3）根据概率初步中树状图的作图方法作图求解即可．
【详解】（1） ， ．
补全频数分布直方图如下：
（2） ．
故C组所在扇形的圆心角的度数为 ．
（3）由题意知，不低于90分的学生共有4人，设这四名学生分别为 ， , , ，其中小欣和小怡分别用 , 表示，根据题意，画树状图如下．
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小欣和小怡同时被选上的结果有2种，故小欣和小怡同时被
选上的概率是 ．
【点睛】本题以实际生活为背景考查统计与概率，解题的关键是掌握圆心角度数的求法以及概率中树状图
的作法．
