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24.3 正多边形和圆
正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
注意：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱
形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
题型1：正多边形的相关概念
1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【解析】【解答】解：正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；
任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；
任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确；
等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质、正多边形与圆、多边形内角和公式及外角和分别进行判断即可.
【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则
∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】A.
【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC= ∠BOC=45°．
故选A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．
故选B．
正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形
题型2：正多边形与圆有关的计算-角度
2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．38° C．36° D．30°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接 OC、OB ，如下图：360°
根据正多边形的性质可得： ∠BOC= =72°
5
1
根据圆周角定理可得： ∠BAC= ∠BOC=36°
2
故答案为：C
360°
【分析】连接 OC、OB ，根据正多边形的性质可得∠BOC= =72°，再根据圆周角定理求解即
5
可。
【变式2-1】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则
∠APB的度数为（ ）
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
360°
∴∠AOB＝ ＝60°，
6
当点P不在弧AB上时，1
∠APB＝ ∠AOB＝30°，
2
当点P在弧AB上时，
1
∠APB＝180°﹣ ∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
2
故答案为：D．
360°
【分析】先求出∠AOB＝ ＝60°，再分类讨论计算求解即可。
6
【变式2-2】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求
∠BCM的大小．
【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90°，AB=BM．（2分）
∴∠MBC=120°﹣90°=30°，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC．
1
∴∠BCM= ×（180°﹣30°）=75°．
2
【解析】【分析】△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形
内角的差．
题型3：正多边形与圆有关的计算-长度
3.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（ ）
A．2 B．2√3 C．√3 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，
1
∴∠BOM= ∠BOC=30°
2
√3 √3
∴OM=OB⋅cos30°=OB⋅ =4× =2√3，
2 2
故答案为：B．
【分析】连接OB、OC，证出△OBC是等边三角形，得出BC=OB=2，再根据垂直的定义得出
1
∠BOM= ∠BOC=30°，即可得出答案。
2
【变式3-1】如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若∠AOB是某正n边形的一
个外角，则n的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC，如图：根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，
∴∠BOC=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOB=90° − 60°=30°；
∵∠AOB是某正n边形的一个外角，
360°
∴n= =12 ；
30°
故答案为：B．
【分析】连接OC，先求出∠AOB的度数，在利用正多边形外交和等于360度，即可求出答案。
【变式3-2】如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中
点．若FM＝2 √2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．√6 C．2 √2 D．2√6
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2 √2 ．
则⊙O的半径为2 √2 ．
故答案为：C．
【分析】如图，连接OM，根据正六边形的性质及点 M为劣弧FG的中点，可得△OFM是等边三角
形，可得OM＝OF＝FM＝2 √2 ，即得⊙O的半径.
【变式3-3】如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 C´D 上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，
1
∴∠BPC= ∠BOC=45°；
2
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，
√OB2
∵OE2+BE2=OB2，∴BE= =√32=4√2∴BC=2BE=2× 4√2=8√2
2
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆
中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
18．
题型4：正多边形与圆有关的计算-面积
4.如图，已知圆O内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm ，求这个正六边形的边心距n，面积
S．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴n=OH=√OA2−AH2=3√3cm ，
1 1
∴S = AB⋅OH= ×6×3√3=9√3cm2 ，
△AOB 2 2
∴S=6S =6×9√3=54√3cm2 ．
△AOB
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边
三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面
积即可。
【变式4-1】已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则
五边形BCDEP的面积是（ ）
A．12 B．12√3 C．18 D．18√3
【答案】C
【解析】【解答】解：取正六边形ABCDEF的中心O，连接OA、OF、OP、BF，
根据正六边形的性质可得，
S =S =S ， S =S ，
△ABF △AOF △EOF △BOF △EOF1
∴S =S =S = S ，
△ABF △BOF △EOF 2 △EBF
∵P是EF的中点，
1
∴S =S = S ，
△FBP △EBP 2 △EBF
∴S =S =S ，
△ABF △FBP △EBP
∵阴影部分四边形ABPE的面积为9，
即 S +S =9 ，
△ABF △FBP
9
∴S =S = ，
△ABF △FBP 2
取DE的中点Q，连接BQ、BD，
9
则 S =S =S =S = ，
△CDB △DBQ △EBQ △FBP 2
9
∴五边形BCDEP的面积是 4× =18 ，
2
故答案为：C．
1 9
【分析】先求出S =S = S ，再求出S =S = ，最后求面积即可。
△FBP △EBP 2 △EBF △ABF △FBP 2
【变式4-2】如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面
积为 .
【答案】40
【解析】【解答】解：取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，1 1
∴△ODE的面积= ×△ADE的面积= ×10=5，
2 2
圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成.
则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40，
故答案为：40.
【分析】取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，可得△ODE的面
1
积= ×△ADE的面积=5，由于圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成，
2
据此即可求出结论.
正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所
对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、
B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….注意：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
题型5：作圆的正三角形、正方形、正六边形
5.尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【答案】（1）解：如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）解：连接OF，设BE与DF交于G点
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°
∴∠DFE=30°
∵OE=OF
∴△FOE为等边三角形
∴EF=OE=4，∠OEF=60°
∴∠FGE=90°
1
∴EG= OE=2
2
∴FG= √EF2−EG2=2√3∴FD=2FG= 4√3
【解析】【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形
ABCDEF；（2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，
设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长
【变式5-1】尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，
∴AB= √OA2+OB2 = 2√2
【解析】【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直平分，故只需要做出AC的中垂线该线与圆相
交，顺次连接即可，分别以点A，C为圆心，大于AC长度的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过
这点及点O作直线交圆于点B，D连接AB，BC，CD，DA四边形ABCD就是所求的正方形；
（2）根据正方形的中心角的计算方法算出∠AOB=90°，再根据勾股定理即可算出AB的长。
题型6：规律性问题
6.如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F
在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022
次旋转后，顶点D的坐标为 ．
3
【答案】( ，√3)
2
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，在正六边形ABCDEF中，AB=1，AD=2，∠ABD=90°，
∴BD=√AD2−AB2=√22−12=√3，
在RtΔAOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
1 1
∴OA= AF= ，
2 2
3
∴OB=OA+AB= ，
2
3
∴D( ，√3)，
2
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2022÷6=337，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，
3
故答案为：( ，√3)．
2
【分析】连接AD，BD，由正六边形的性质可得AD=2，∠DAB=90°，利用勾股定理求出BD=√3，在
RtΔAOF中，可求出OA、OB的长，即得D点坐标，由于将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针
旋转，每次旋转60°，可知6次一个循环，从而得出经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限
中D点的坐标相同，据此即得结论.
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得
到正六边形OAB DE，则正六边形OAB DE（i＝4）的顶点 的坐标是（ ）
i i i i i i i i i i i
∁ ∁ ∁
A．（1，−√3） B．（1，√3） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【分析】由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C 关于原点对称，可以直接把的C 坐标写
4 4
出来．【解答】解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°，
∴点C与C 关于原点对称，
4
∵C的坐标为（﹣1，√3），
∴C 的坐标为（1，−√3）．
4
故选：A．
【变式6-2】如图，边长为 4的正六边形 ABCDEF的中心与坐标原点 O重合，AF∥x轴，将正六边形
ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2√3） B．（﹣2，﹣2√3） C．（2，﹣2√3） D．（2，2√3）
【分析】连接OA，根据正多边形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝2，根据勾股定理求出OH，根据规律
解答．
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH=√OA2−AH2=2√3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6＝336…4，
∴当n＝2020时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2√3），
故选：B．
题型7：正多边形的旋转问题
7.一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重
合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长
度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
{∠HOC=∠GOA
OC=OA ，
∠OCH=∠OAG
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S ＝S ＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
阴 四边形OABC
故答案为：D．
【分析】先求出∠HOC＝∠GOA，再利用ASA证明△HOC≌△GOA，最后求解即可。
【变式7-1】五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）
A．36° B．60° C．72° D．90°
【答案】C
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数.
故答案为：C【分析】此题其实质就是求正五边形的中心角的问题，用360°÷即可算出答案.
【变式7-2】下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；
3600
B、正五边形的最小旋转角度为 =72°，故本选项正确；
5
3600
C、正六边形的最小旋转角度为 =60°，故本选项错误；
6
3600
D、正八边形的最小旋转角度为 =45°，故本选项错误；
8
故选B．
【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．
【变式7-3】如图，边长为1的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为1的圆上，其它各点在圆内，
将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为
．
【答案】12°
【解析】【解答】解：如图设圆心为O，连接OA、OB，点E落在圆上的点E′处．
∵AB=OA=OB，
∴∠OAB=60°，同理∠OAE′=60°，
∵∠EAB=108°，
∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=48°，
∴∠EAE′=∠OAE′﹣∠EAO=60°﹣48°=12°，
∵点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，
∴点C旋转的角度为12°，
故答案为12°．【分析】因为点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，所以求出点E旋转的角度即可．
一、单选题
1．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
【答案】B
【解析】【分析】根据圆内接四边形互补的性质.由∠D=85°得∠B= 95°.故选B.
2．半径为 a 的圆的内接正六边形的边心距是（ ）
a √2a √3a
A． B． C． D．a
2 2 2
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距.
∵六边形ABCDEF为正六边形a
∴∠AOB=60° ，OA=OB=AB=a，AH=BH= ，
2
√ a 2 √3 √3
∴OH=√OA2−AH2= a2−( ) = a2= a
2 4 2
√3a
即半径为 a 的圆的内接正六边形的边心距是 .
2
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距，根据正六边形的
性质用勾股定理可求解.
3．如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
180°−120°
∴∠CBD= =30°；
2
故答案为：A.
【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，
利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )A．35° B．70° C．110° D．140°
【答案】D
【解析】【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，
∠BOD=2∠A=140°．
【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
【点评】圆内接四边形的性质：
1、圆内接四边形的对角互补；
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角)．圆周角定理：在同
圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半
5．若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r，r，r，则r：r：r 等于
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．1：2：3 B．√3：√2：1 C．1：√2：√3 D．3：2：1
【答案】C
【解析】【解答】设圆的半径为R，则正三角形的边心距为R×cos60°．四边形的边心距为R×cos45°，
正六边形的边心距为R×cos30°．则r：r：r=1：√2：√3故选：C．
1 2 3
【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角
180
△OAC中，∠O= ，OC是边心距，OA即半径．根据三角函数即可求解．
n二、填空题
6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=100°，则∠BOD= 度．
【答案】160
【解析】【解答】解：∵ A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=100°，
∴∠A=180°−∠C=80°，
∴∠BOD=2∠A=160°.
故答案为：160
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A=180°−∠C=80°，再利用圆周角的性质可得
∠BOD=2∠A=160°。
7．如图， AB 是⊙O的弦， OC⊥AB ，交⊙O于点 C ．连接 OA ， OB ， BC ．若 AB 是
⊙O的内接正六边形的一边，则 ∠ABC 的度数为 ．
【答案】15°
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，
360°
∴∠AOB= =60° ，
6
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
1
∴∠ABC= ∠AOC=15°，
2
故答案为：15°．【分析】根据已知条件得到∠AOB=60°，由等腰三角形的性质得出∠AOC=∠BOC=30°，再由圆周角
定理即可得到结论。
8．一个正多边形的每个内角都等于140°，则它是正 边形．
【答案】九
【解析】【解答】解：∵多边形的各个内角都等于140°，
∴多边形的每一个外角都等于180°-140°=40°，
∴边数n=360°÷40°=9．
故答案为：九．
【分析】先利用平角求出每个外角的度数，再利用外角和除以它即可求出边数。
9．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长
度为整数的值可以是 ．
【答案】2，3，4
【解析】【解答】解：考虑到∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，分两种情况探究：
情况1，如图1，
作△AOB，使∠AOB=1200， AO=BO=2，以点O 为圆心， 2为半径画圆，当点C在优弧AB上时，
1
根据同弧所圆周角是圆心角一半，总有∠ACB= ∠AOB=600，此时，OC= AO=BO=2．
2
情况2，如图2，作菱形AOMB，使∠AOB=1200， AO=BO=AM=BM=2，以点M为圆心， 2为半径画圆，当点C在
优弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，总有∠ACB=1800－∠AOB=600．此时，OC的最大值是
OC为⊙M的直径4时，
所以，2＜OC≤4，整数有3，4．
综上所述，满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4．
故答案为：2，3，4．
【分析】分两种情况：（1）∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则可利用圆周角定理推出点C
在以点O为圆心，2为半径的圆上，故OC=2；（2）由∠AOB+∠ACB=180°可推出点A、O、B、C在
同一个圆上，利用垂径定理、等边三角形得性质求出OC的取值范围，即可求出OC的整数值。
三、作图题
10．如图，已知 ⊙O ，点 A 在圆上，请以 A 为一顶点作圆内接正方形 ABCD .（保留作图痕迹，
不写作法）
【答案】解：如图，正方形ABCD为所作.
【解析】【分析】连接AO并延长，交圆于点C，然后作AC的垂直平分线，与圆的交点记为B、D，
接下来连接A、B、C、D即可得到正方形ABCD.
四、解答题
11．一个正多边形的每一个外角都等于36°，求这个多边形的边数.【答案】解：解：∵一个正多边形的每个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数为360°÷36°=10.
【解析】【分析】由于多边形的外角和是固定的360°，故用多边形外角和的总度数除以每一个外角的
度数即可算出多边形的边数.
12．四边形 ABCD 内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点 E在 A´D 上，求∠E 的度数.
【答案】解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100∘，
∴∠BCD=180°−100°=80° ，
∵CB=CD，
∴∠DBC=∠CDB ，
180°−80°
∴∠DBC= =50° ，
2
∴∠E=∠DBC=50° .
【解析】【分析】 连接BD，根据圆内接四边形对角互补，可求出∠BCD=180°-∠A=80°，利用等边对等
角可得∠DBC=∠CDB，根据三角形的内角和求出∠DBC的度数，利用同弧所对的圆周角相等可得
∠E=∠DBC，从而求出结论.
13．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：
△ADE是等腰三角形．【答案】证明 ∵A、D、C、B 四点共圆，
∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即 △ADE 是等腰
三角形．
【解析】【分析】由圆内接四边形的性质可知，∠A与∠DCB互补，而∠BCE与∠DCB也互补，可知
∠A=∠BCE；由等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，可知∠BCE=∠E，所以∠A=∠E，
再由等腰三角形的判定可知AD=DE，即△ADE是等腰三角形。
14．如图，有一个圆O和两个正六边形T，T．T 的6个顶点都在圆周上，T 的6条边都和圆O相切
1 2 1 2
（我们称T，T 分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
1 2
（1）设T，T 的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
1 2
（2）求正六边形T，T 的面积比S：S 的值．
1 2 1 2
【答案】（1）解：连接圆心O和T 的6个顶点可得6个全等的正三角形．
1
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T 相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
2
所以r：b=AO：BO=sin60°= √3 ：2.
（2）解：T：T 的边长比是 √3 ：2，
1 2
所以S：S=（a：b）2=3：4．
1 2
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T 的边长为a，而圆O的半径与正六边形T 的边长相等，
1 1
所以r：a=1：1；正方形T 的边长为b，而圆O的半径为正六边形T 的弦心距，所以r：b=√3：2。
2 2
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得
a：b=r：b，即可求得T 与T 的面积比。
1 2
15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF.
S
（2）设⊙O的面积为S ，六边形ABCDEF的面积为S ，求 1 的值.
1 2 S
2
【答案】（1）解：连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
1
∴EG= r，
2
√3
∴OG=√OE2−EG2= r，
21 √3 3√3
∴正六边形ABCDEF的面积=6× ×r× r= r2，
2 2 2
圆O的面积=πr2，
πr2
S 2√3π
1
∴ =3√3 = .
S r2 9
2 2
【解析】【分析】（1）连接AE，AD，AC，由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC，再利用同圆中弧、
弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，由此可证得结论；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，可得EF=BC=ED=r，AD=2r，由正六边
1
形的性质可求出∠EOG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG= r， 利用勾股定
2
S
1
理表示出OG的长，然后求出正六边形的面积和圆O的面积，然后求出 的值 .
S
2
16．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形
ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 OC=OB ，∵△ABC 是 ⊙O 内接正三角形，
360°
∴ 中心角 ∠BOC= =120° ，
3
∵点O是 ⊙O 内接正三角形ABC的内心，
1 1
∴∠OBM= ∠ABC=30°，∠OCN= ∠ACB=30° ，
2 2
∴∠OBM=∠OCN ，
{
BM=CN
在 △OMB 和 △ONC 中， ∠OBM=∠OCN ，
OB=OC
∴△OMB≅△ONC(SAS) ，
∴∠BOM=∠CON ，
∴∠MON=∠BON+∠BOM=∠BON+∠CON=∠BOC=120° ，
故答案为： 120°
（2）90°；72°
360°
（3）∠MON=
n
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
∵ 四边形ABCD是 ⊙O 内接正方形，360°
∴ 中心角 ∠BOC= =90° ，
4
同（1）的方法可证： ∠MON=∠BOC=90° ；
如图2，连接OB、OC，
∵ 五边形ABCDE是 ⊙O 内接正五边形，
360°
∴ 中心角 ∠BOC= =72° ，
5
同（1）的方法可证： ∠MON=∠BOC=72° ，
故答案为： 90° ， 72° ；
360°
（3）由上可知， ∠MON 的度数与正三角形边数的关系是 ∠MON= ，
3
360°
∠MON 的度数与正方形边数的关系是 ∠MON= ，
4
360°
∠MON 的度数与正五边形边数的关系是 ∠MON= ，
5
360°
归纳类推得： ∠MON 的度数与正n边形边数n的关系是 ∠MON= ，
n
360°
故答案为： ∠MON= ．
n
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠CON ，再由圆周角定理即可求出∠MON的
度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。
