文档内容
专题 05 二次函数的概念、图形和性质
【思维导图】
◎考点题型1 二次函数的概念
1.形如 y=ax2 +bx+c （其中 a,b,c 是常数， a≠0 ）的函数叫做二次函数，称a为二次项系数， b 为
一次项系数，c为常数项.
注意：二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
2.二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
例．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．这六个式子中二次函数有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若函数y＝m +4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数 的图象经过原点，则 的值
为（ ）
A． B． C．1 D．0
变式3．（2022·河南安阳·一模）用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S
平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
◎考点题型2 y=ax2的 图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减
a>0 向上 (0，0) y轴
小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增
a<0 向下 (0，0) y轴
大；x=0时，y有最大值0．
例．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
变式1．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（nn B．m=n C．m0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减
a>0 向上 (0，c) y轴
小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增
a<0 向下 (0，c) y轴
大；x=0时，y有最大值c．
例．（2022·全国·九年级课时练习）如果二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 的
图象大致是（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知点 ， 均在抛物线 上，下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
◎考点题型4 y=a(x−h) 2 的 图像和性质
a的符号 开口方 顶点坐 对称 性质向 标 轴
x>h时，y随x的增大而增大；x0 向上 (h，0) X=h
增大而减小；x=h时，y有最小值0．
x>h时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x0 向上 (h，k) X=h
增大而减小；x=h时，y有最小值k．
例．
（202 2·浙
江·九 年级
x>h时，y随x的增大而减小；x2 C．m≥2 D．m<2
变式2．（2021·江苏·扬州市江都区育才中学一模）已知抛物线的解析式为y＝ (x－3)2＋1，则抛物线的顶
点坐标是 （ ）
A．(3，1) B．(-3，1) C．(3，-1) D．(1，3)
变式3．（2021·福建·龙岩莲东中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数y＝a（x－4）2＋2的图象经过A
（2，0）．
（1）求a的值．
（2）若二次函数与y轴相交于B点，且该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
的面积．
◎考点题型6 二次函数y=ax2+bx+c的 图像和性质b 4ac−b2
用配方法可化成：y=a(x−h) 2+k的形式，其中h=− ，k= .
2a 4a
例．（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单
位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
变式1．（2021·天津红桥·九年级期中）若点A（－1，y），B（0，y），C（1，y）都在二次函数y＝2x2
1 2 3
＋x－1的图象上，则y，y，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＞＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
变式2．（2022·云南红河·九年级期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错
误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当 时，y的值随x值的增大而增大，当 时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
变式3．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，则y的取值范围．
