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专题 12 点、直线与圆的位置关系（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·江苏·九年级专题练习）已知 的半径为3， ，则点A和 的位置关系是
（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，
OA大于半径则在圆外．
【详解】解：∵⊙O的半径为3， ，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A与⊙O外．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
2．(本题4分)（2022·吉林·中考真题）如图，在 中， ， ， ．以点 为圆心，
为半径作圆，当点 在 内且点 在 外时， 的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得 ，再根据“点 在 内且点 在 外”可得 ，由此即可得
出答案．
【详解】解： 在 中， ， ， ，
，
点 在 内且点 在 外，，即 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
3．(本题4分)（2022·浙江省义乌市稠江中学八年级阶段练习）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不
小于 ”，应先假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都小于 B．有一个内角小于
C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于
【答案】A
【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小
于60°，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键是要懂得反证法的意义及步骤；反证法的步骤是：（1）假设
结论不成立；（2）从假设除法推出矛盾；（3）假设不成立，则结论不成立．
4．(本题4分)（2022·山西运城·二模）如图，点O是 ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若
∠BOC=96°，则∠A的度数为（ ） △
A．49° B．47.5° C．48° D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，连接AO，
∵点O是 ABC三边垂直平分线的交点，
∴AO=BO=△CO，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC；
∵∠BOC=96°，
∴∠BAC=48°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与外心，熟练掌握三角形的垂直平分线的性质是解题的关键．
5．(本题4分)（2022·湖南湘西·九年级期末）如果⊙O的半径为 ，圆心O到直线 的距离为 ，且
，那么⊙O和直线 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系的进行判断即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为 ，圆心O到直线 的距离为 ，且 ，
∴d>r，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离
是d，当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交．
6．(本题4分)（2022·重庆八中二模）如图，OA是⊙О的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作
⊙O的切线PB，点B为切点． 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（ ）
A． B． C． D．3【答案】B
【分析】由题意得， 是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在 中， ，根据勾股定
理得， ，解得 ，即可得．
【详解】解：由题意得， ， ， ，
∴ 是直角三角形，
设OA=x，则OB=x，
在 中， ，根据勾股定理得，
解得 ，
则半径OA的长为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·广西梧州·九年级期末）如图，PA、PB与⊙O相切于A，B，∠P＝70°，则∠OAB的
度数为___．
【答案】35°##35度
【分析】连接OB，根据切线的性质可得 ，进而根据∠P＝70°，求得 ，
根据半径相等，由等边对等角以及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接OB，∵PA、PB与⊙O相切于A，B，
∴ ，
∠P＝70°，
，
，
．
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了切线的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
8．(本题5分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB
与小圆相切于点C，则弦AB的长为_______cm．
【答案】16
【分析】根据切线的性质得到OC⊥AB，根据垂径定理得到AC= AB，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵AB是小圆O的切线，
∴OC⊥AB，
∵AB是大圆O的弦，
∴AC= AB，
在Rt△AOC中，AC= = =8（cm），
则AB=2AC=16（cm），
故答案为：16．【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是
解题的关键．
9．(本题5分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则
∠C的度数为_________°．
【答案】73
【分析】连接 ， ，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接 ， ，
点 是 的外心，
，
， ， ，
，
，
即 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线
是解题的关键．
10．(本题5分)（2022·四川乐山·八年级期末）命题“实数 、 ，若 ，则 ”的逆命题是
_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假
命题．【答案】 若a2＝b2，则a＝b 当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b（答案不唯一）
【分析】根据真假命题的定义进行判断，再举出反例即可．
【详解】解：命题“实数a、b，若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是：若a2＝b2，则a＝b，
逆命题是假命题，
举反例：如，当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，
故答案为：若a2＝b2，则a＝b；当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题
叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉相关的性质定理．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·浙江杭州·九年级期末）如图，已知△ABC．
(1)作△ABC的外接圆，并在AB的上方作弦AD，使AD＝BC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）
(2)连结CD，求证：CD∥AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，连接OA，以O为圆心，OA为半径作⊙O，以A为
圆心，BC为半径作弧，在AB的上方交⊙O于点D，连接CD即可．
（2）根据第（1）问的结论得到 ，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD=∠CAB，从而判定结
论．
(1)
解：如图，⊙O，线段CD即为所求．(2)
理由：∵AD=BC，
∴ ，
∴∠ACD=∠CAB，
∴CD∥AB．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中
考常考题型．
12．(本题10分)（2022·江西上饶·九年级期末）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于
点M．求证：CD与⊙O相切．
【答案】见解析
【分析】连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，只要证明OM=ON即可得出结论．
【详解】证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，
∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，OM为半径，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC（AAS），
∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，
∴CD与⊙O相切．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，菱形的性质，熟知无交点，作垂直，证半径是解题的关键．
13．(本题12分)（2022·江苏·九年级专题练习）已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，
BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(1)如图①，△OPC的最大面积是________；
(2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
【答案】(1)4
(2)见解析
【分析】（1）因为OC长度确定，所以当点P到OC的距离最大时△OPC的面积最大，当OP⊥OC时，当
点P到OC的距离最大，等于圆O的半径，求出此时的△OPC的面积即可；
（2）连接AP，BP，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP=DB，因为CP＝DB，所以
AP=CP，可证△APB≌△CPO（SAS），得到∠OPC＝90°，即可证明CP是切线．
(1)
解：∵AB＝4，
∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4．
在△OPC中，设OC边上的高为h，
∵S OPC OC•h＝2h，
△∴当h最大时，S OPC取得最大值．
△
作PH⊥OC，如图①，则 ，当OP⊥OC时， ，此时h最大，如答图1所示：
此时h＝半径＝2， ．
∴△OPC的最大面积为4，
故答案为：4．
(2)
证明：如答图②，连接AP，BP．
∵∠AOP＝∠BOD，
∴AP＝BD，
∵CP＝DB，
∴AP＝CP，
∴∠A＝∠C，
在△APB与△CPO中，
，
∴△APB≌△CPO（SAS），
∴∠APB＝∠OPC，∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠OPC＝90°，
∴DP⊥PC，
∵DP经过圆心，
∴PC是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．
14．(本题12分)（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求
出CH可得结论．
(1)
解：如图，切线AD即为所求；(2)
如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝ ∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝ ，
∴BC＝2 ．
【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．(本题12分)（2022·山东威海·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且DC＝
AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，AC．先证明△ACD为等边三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得
∠ACF=∠DAC=60°．从而得到∠OCF=90°．即可求证；
（2）根据AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根据直角三角形的性质可得FG=2AF=4，
．再证得△ADE≌△GCE．可得AE=GE= ．然后由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：连接OC，AC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC．
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．
∴∠AOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=30°．∵FG∥DA，
∴∠ACF=∠DAC=60°．
∴∠OCF=90°．
∴OC⊥FG．
∵OC为半径，
∴FG与⊙O相切．
(2)
解∶∵AD∥FG，
∴∠AGF=∠DAE=30°．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAG=90°，
∴FG=2AF=4，
∴ ．
在△ADE和△GCE中，
∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，
∴△ADE≌△GCE．
∴AE=GE= ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边
三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
