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专题 11 圆的相关概念和性质（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2021·全国·九年级课时练习）一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离
为5cm，那么圆的半径为（ ）
A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm
【答案】D
【详解】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为 cm.
故选D.
2．(本题4分)（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）如图，⊙O 的弦AB是⊙O 的切线，且AB∥OO，如果
1 2 1 2
AB＝12cm，那么阴影部分的面积为（ ）．
A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2
【答案】A
【分析】根据题意将小圆平移至与大圆共圆心处，再利用垂径定理及勾股定理求解即可．
【详解】由⊙O 的弦AB是⊙O 的切线，且AB∥OO，
1 2 1 2
故将⊙O 平移至⊙O 的圆心处，此时AB与小圆相切与点E，
2 1
则阴影部分面积即为小圆外部和大圆内部环状部分的面积
由切线的性质可得： ，
则由垂径定理可得： ，
在 中，由勾股定理可得： ，
， ，
，故选：A．
【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理及勾股定理等，灵活对图中两个圆进行平移构成同心圆进而求
解是解题关键．
3．(本题4分)（2022·浙江·九年级专题练习）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定
理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，
今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，
则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝ AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在
Rt OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【△详解】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
△解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是
解题的关键．
4．(本题4分)（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是 的直径，弦AC交BD于点G．
连接OC，若 ， ，则 的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
【答案】C
【分析】先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出
∠ABD=45°，即可得到答案．
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴ ，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵ ，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的
性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．5．(本题4分)（2020·贵州安顺·九年级期末）如图，点 是 上的点， ，则 是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用弧的度数等于所对的圆周角度数的2倍求解优弧 度数，继而求解劣弧 度数，最
后根据弧的度数等于圆心角的度数求解本题．
【详解】如下图所示：
∵∠BDC=120°，
∴优弧 的度数为240°，
∴劣弧 度数为120°．
∵劣弧 所对的圆心角为∠BOC，
∴∠BOC=120°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆的相关概念，解题关键在于清楚圆心角、圆周角、弧各个概念之间的关系．
6．(本题4分)（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若 ，
，则∠AOB的大小为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”可求出 ，由图可知∠AOB=
，即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠AOB= =85°-60°=25°，
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆心角和圆周角，熟练地掌握“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”是解题的关
键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2021·江苏·九年级专题练习）如图， ， 是圆 的两条相等的弦，弧 ，弧 的
度数分别为30度，120度， 为劣弧 上一点，则 ______°．
【答案】127.5
【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数；再根据弦
AB=CD，可求得∠AOB和∠COD的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数．
【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示．
∵ 和 的度数分别是30°和120°，∴∠AOD=30°，∠BOC=120°．
∵AB=CD，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定
理是解题的关键．
8．(本题5分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知点 是圆 上一点，以点 为圆心， 为半径作
弧，交圆 于点 ，则 的度数为______度．
【答案】60
【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可．
【详解】解：∵PQ=PO，PO=OQ，
∴PQ=PO=OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴ 的度数为60度
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本
题的关键．
9．(本题5分)（2021·四川乐山·三模）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为 ___．
【答案】4
【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝
DE，且可判断 OCE为等腰直角三角形，所以CE OC＝2 ，然后利用CD＝2CE进行计算．
△
【详解】解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE， OCE为等腰直角三角形，
△
∴CE OC＝2 ，
∴CD＝2CE＝4 ．
故答案为4 ．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直
角三角形的性质和圆周角定理．
10．(本题5分)（2022·福建南平·九年级期末）在平面直角坐标系 中，点P坐标为 ，点Q为图形
M上一点，则我们将线段 长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有
，O为原点，半径为2，则点P视角下 的“宽度”为___________．
【答案】4
【分析】连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到
图形的长度的最大值与最小值即可得出结论．
【详解】解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图，则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值，
∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF−PE＝EF＝4.
故答案为：4．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，本题是新定义型题目，熟练运用新定义是解题的关键．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2021·宁夏固原·七年级期末）如图，大圆的半径是 ，小圆的半径是大圆半径的 ，求
阴影部分的面积．
【答案】
【分析】阴影部分的面积等于大圆减去小圆的面积，大圆的面积为 ，小圆的面积为 ，两式相
减即可得到阴影部分的面积．
【详解】 ．
【点睛】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是掌握圆的面积公式进行计算．
12．(本题10分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知 为 的直径， ， 为 上两点，，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】连接DO并延长交⊙O于G，结论DC，DB，延长DE交⊙O于F，由垂径定理得到DE= DF，
，DG⊥AC，∠C=∠B， ，根据余角的性质得到∠1=∠2，由圆周角定理得到 ，
等量代换得到结论．
【详解】解：连接DO并延长交⊙O于G，连接DC，DB，延长DE交⊙O于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴DE= DF， ，
∵ ，
∴DG⊥AC，∠C=∠B， ，
∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF，
∴DE= AC．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．(本题12分)（2022·四川南充·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求BD．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；
（2）由题意易得 ，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，
∴AC垂直平分BD，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ABD是等边三角形，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角
形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．
14．(本题12分)（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在⊙O上， ＝ ．求证：AC＝
BD；
【答案】见解析【分析】根据已知条件求得 ，根据弧与弦的关系即可得证．
【详解】证明：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴BD=AC．
【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．
15．(本题12分)（2022·山东菏泽·九年级期末）如图， 的半径为4， 是 的内接三角形，连接
．若 与 互补，求弦 的长．
【答案】
【分析】过点O作 于D，则 ，再由 与 互补以及圆周角定理，可得
，从而得到∠OBC=30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：过点O作 于D，则 ，
∵ 内接于 ， 与 互补，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为4，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题
的关键．
