文档内容
专题 13 正多边形与圆、弧长和面积公式
【思维导图】
◎考点题型1 正多边形和圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：
1） 量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
2） 量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
3） 圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
例．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n边形的边数n等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】根据正多边形的中心角 ，计算即可．
【详解】由题意得， 45°，
解得n＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形中心角，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将正多边
形的中心角与内角混淆而造成错误计算．
变式1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：∵正六边形 内接于 ，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关键．
变式2．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图， 和 分别为 内接正方形，正六边形和正n
边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
【答案】D
【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴ , ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．变式3．（2022·河南信阳·九年级期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】画出图形（见解析），先求出正六边形的中心角的度数，再根据等边三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：如图，正六边形的中心角 ，边长 ，
，
是等边三角形，
，
即这个正六边形的外接圆的半径为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题
关键．
◎考点题型2 弧长
设 的半径为 ， 圆心角所对弧长为 ，
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
例．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O 与⊙O 的半径为
1 2
3米，且⊙O 经过⊙O 的圆心O．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
1 2 2A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米
【答案】C
【分析】连接AO，AO，BO，BO，OO，根据等边三角形的判定得出△AOO 和△BOO 是等边三角形，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
根据等边三角形的性质得出∠AOO＝∠AOO＝∠BOO＝∠BOO＝60°，求出优弧 所对的圆心角的
1 2 2 1 1 2 2 1
度数，再根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接AO，AO，BO，BO，OO，
1 2 1 2 1 2
∵等圆⊙O 与⊙O 的半径为3米，⊙O 经过⊙O 的圆心O，
1 2 1 2 2
∴AO＝AO＝BO＝BO＝OO＝3米，
1 2 1 2 1 2
∴△AOO 和△BOO 是等边三角形，
1 2 1 2
∴∠AOO＝∠AOO＝∠BOO＝∠BOO＝60°，
1 2 2 1 1 2 2 1
∴优弧 所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2× ＝8π（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度
数是解此题的关键．
变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在扇形 中， ，将扇形 沿着
过点B的直线折叠，点O恰好落在弧 上的点D处，折痕交 于点C，则弧 的长为（结果保留 ）
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=100°-
∠DOB=40°；然后由弧长公式弧长的公式 来求 的长即可．
【详解】解：如图，连接OD．
根据折叠的性质知，OB=DB．
又∵OD=OB，
∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°．
∵∠AOB=100°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=40°，
∴ 的长为 =2π．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形
是解答此题的关键之处．
变式2．（2021·浙江金华·九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋
转得到△ ，则 的长为（ ）A． B． C．7 D．6
【答案】A
【分析】利用格点可知∠BAB′＝45°，再利用弧长公式，可求出弧 的长．
【详解】解：根据图示知，∠BAB′＝45°，
弧 的长l＝ ．
故答案为：A．
【点睛】本题考查弧长的计算、旋转的性质，利用格点得出∠BAB′＝45°是解题的关键．
变式3．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的
边心距OM和 的长分别为（ ）
A．4， B．3 ，π C．2 ， D．3 ，2π
【答案】D
【分析】连接 、 ，证出 是等边三角形，根据勾股定理求出 ，再由弧长公式求出弧 的
长即可．
【详解】解：连接 、 ，
六边形 为正六边形，
，
，
为等边三角形，，
，
，
的长为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，
由勾股定理求出 是解决问题的关键．
◎考点题型3 扇形面积
：
扇形面积公式
例．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作
PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】∠AOB＝90°时，CD最大，由求出扇形面积即可．
【详解】解：解：由PC⊥OA，PD⊥OB可知，∠OCP+∠ODP＝180°，
∴O、C、P、D四点共圆，CD为此圆直径时，CD最大，
∴当∠AOB＝90°时，CD最大，如图：此时扇形面积为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积计算，解题的关键是掌握∠AOB＝90°时，CD最大．
变式1．（2021·湖北恩施·一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，
若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证得 是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积即可求出．
【详解】解：连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2， ，
又∵AB＝AC，
∴ 是等边三角形，
∴ ，AB＝AC＝2，OA＝1，OB＝OD，
∴OB＝OD＝ ，
∴BD＝ ，
∴CD＝BC＝2， ，∴图中阴影部分的面积为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的性质与面积，等边三角形的判定，扇形的面积公式的应用，解题关键是根据题
意证出 是等边三角形．
变式2．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）如图，点A，B，C是 上的点，连接
，且 ，过点O作 交 于点D．连接 ，已知 半径为2，则图中
阴影面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由 ，可得 ，从而得到阴影面积等于扇形
AOB的面积，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠AOB=30°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴阴影面积等于扇形AOB的面积，∴阴影面积等于 ．
故选：B
【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题
型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
变式3．（2022·广东河源·二模）如图，已知平行四边形ABCD，以B为圆心，AB为半径作 交BC于
E，然后以C为圆心，CE为半径作 交CD于F，若 ， ， ，则阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和题意可设AB=CD=BE=x，CE=CF=x-3，则BE+CE=BC=AD=5，求出x的
值，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠C=180°-∠B=120°，
设AB=x，则BE=AB=x，CE=CF=x-3，
∴x+x-3=5，
∴x=4，
即AB=4，CE=4-3=1，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握平行四边形的性质和扇形面积公式是
根据的关键．
◎考点题型4求圆心角
例．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（
）A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ，
由题意得： ，
解得 ，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．
变式1．（2021·山东泰安·期中）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为 ，则这三个扇形的圆
心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为 ，可得这三个扇形的圆心角的度数之比为
，可设这三个扇形的圆心角的度数分别为 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：∵一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为 ，
∴这三个扇形的圆心角的度数之比为 ，
设这三个扇形的圆心角的度数分别为 ，根据题意得：
，
解得： ，
∴这三个扇形的圆心角的度数分别为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为 是解题
的关键．
变式2．（2021·福建师范大学附属中学初中部九年级期中）已知扇形半径是9cm，弧长为 cm，则扇形
的圆心角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【答案】D
【分析】直接利用弧长公式 即可求出n的值，计算即可．【详解】解：根据 ，
解得：n＝80，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是
解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点 在半径为 的 上，劣弧 的长为 ，则
的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，利用同弧圆心角与圆周角的关系，需求∠AOB即可，利用AB弧长与弧长公式即可
求出圆心角，∠ACB= ∠AOB，可确定答案．
【详解】连接
设
劣弧 的长为 ，．
故选择：B．
【点睛】本题考查圆周角的度数问题，掌握弧长公式，圆周角与圆心角的关系，会利用弧长求圆心角，利
用同弧所对圆心角确定圆周角的大小．
◎考点题型5 求某点的弧形运动长度
例．（2021·广东·江东镇初级中学一模）一个钟表的时针长10厘米，在中午12时到下午3时，时针的针尖
划过的弧长是（ ）厘米．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式 ，代入求得即可．
【详解】从中午12时到下午3时，时针转过90°，所以时针针尖划过的弧长为 厘米，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，掌握圆心角度数和扇形半径是解题的关键．
变式1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）如图，菱形ABCD的边长为3， ，将
菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点D和点C的对应点分别为点E，F，则点C的运
动路径弧CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先求得菱形对角线 的长度，根据旋转角等于 ，根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 交于点 ， ，菱形ABCD的边长为3， ，
，
将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，
点C的运动路径弧CF的长为
故选A
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求弧长，旋转的性质，掌握弧长公式以
及菱形的性质，旋转的性质是解题的关键．
变式2．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，在扇形纸片 中， ， ， 在桌面
内的直线 上，现将此扇形沿 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当 落在 上时，停止旋转．则
点 所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】点O所经过的路线是三段弧，一段是以点B为圆心，12为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一
条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，12为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】点 经过的路线长为 ，故C正确．故选：C．
【点睛】解题的关键是熟练掌握弧长公式： ，注意在使用公式时度不带单位．
变式3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ．将
绕直角顶点 逆时针旋转 得△ ；则点 转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半求出 的长，再根据勾股定理求出 的
长，即为 所在的圆的半径，由旋转可知 ，求出 的长即为点 转过的路径长．
【详解】解：在 中，
， ， ．
，
，
将 绕直角顶点 逆时针旋转 得△ ，
，
，
点 转过的路径长为 ，
故选：C．
【点睛】此题考查旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质、有关点的运动轨迹问题的求解等知识与方
法，正确理解旋转的性质并且由旋转的性质得出旋转角的度数是解题的关键．
◎考点题型6 求扇形扫过的面积
例．（2022·内蒙古包头·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时
针旋转120°至 的位置，则边BA扫过的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AB，再根据扇形面积公式计算即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2.
∵△ABC绕点B逆时针旋转120°至 的位置，
∴边BA扫过的面积是： .
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．
变式1．（2022·四川·一模）如图，已知 所在圆的半径为4，弦AB长为 ，点C是 上靠近点B的
四等分点，将 绕点A逆时针旋转120°后得到 ，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】B
【分析】设 所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，根据已知条件求得
∠AOD＝60°，进而求得 的长，线段CB扫过的面积＝S ABB﹣S ACC，进而根据扇形面积公式求
扇形 ′ 扇形 ′
解即可
【详解】解：设 所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，∴AD＝BD AB＝2 ，
∵OA＝4，
∴sin∠AOD ，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵点C是 上靠近点B的四等分点，
∴∠AOC＝90°，
∴AC 4 ，
∴线段CB扫过的面积＝S ABB﹣S ACC 16π π π，
扇形 ′ 扇形 ′
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，解直角三角形，掌握扇形面积公式是解题的关键．
变式2．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段 绕点
C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形 的边 上时，记为点 ，则此时线段 扫过的图形的
面积为（ ）
A． B．6 C． D．【答案】D
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4，求出 ，再根据扇
形面积公式求解即可．
【详解】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴ ，
∴ ，
线段 扫过的图形为扇形，此扇形的半径为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解
决本题的关键．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC
绕点A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． π－6 B． π C． π－3 D． ＋π
【答案】B
【分析】对图形进行分析，可得所求阴影面积等于扇形DAB的面积，从而计算扇形面积即可．
【详解】
，
，
由题，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得AB=5，，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形的面积计算，灵活对所求面积进行转换是解题关键．
◎考点题型7 拱形面积
例．（2022·河北唐山·二模）如图， ABC内接于⊙O，若 ，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积
为（ ） △
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角、扇形面积和三角形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、扇形面积公式和
三角形面积公式．
变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，
过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2× =60°，
∴ OAB是等边三角形，
△
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD= AB=1，
∴OD= ，
∴阴影部分的面积为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方
法是正确解答的关键．
变式2．（2022·云南·双柏县教师进修学校二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝
，则图中阴影部分的面积为( )
A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以得到∠BOC的值，然后根据勾股定理可以得到OB
的长，由图可知S ＝S BOC−S BOC，然后代入数据计算即可．
阴影 扇形
【详解】解：∵∠BAC＝45°， △
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4 ，∴2OB2＝( )2，
解得OB＝4，
∴S ＝S BOC−S BOC
阴影 扇形
△
＝
＝4π−8．
故选：C．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、圆周角定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
变式3．（2021·山东临沂·模拟预测）如图，点 、 、 在 上，若 ， ，则图中阴
影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据 代入数值，求出结果即可.
【详解】解：∵∠BAC=45°，
∴ ，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，扇形的面积公式等，将求阴影部分的面积转化为求扇形面积减去三
角形的面积是解题的关键.
◎考点题型8 求不规则图形的面积
例．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为6的正方形 中，以 为直径画半圆，则阴影部分
的面积是（ ）A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓
形CE的面积，则 ．
【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知
相关知识是解题的关键．
变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，
恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积= 得出答案．
【详解】过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中， ．
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，
将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
变式2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在
上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据折叠， ，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由 得到
是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可
【详解】依题意： ，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴ 是等边三角形
同理： 是等边三角形
故
由三线合一，在 中：
故选：B
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现 是等边三角形
变式3．（2022·山东省实验初级中学模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O
交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 根据正方形的性质求得 ，则可得 ，利用
即可求得答案．
【详解】解：连接 ，
四边形 为正方形，且边长为4，
，
，
， ，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的性质、梯形面积的计算，借助辅助线求出扇形的面积是解
题的关键．
◎考点题型9 求圆锥的侧面积
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式： （ 为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积＋底面圆面积例．（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（
）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长计算即可求解．
【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积= ×6π×8=24πcm2．
故选D．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积= ×底面周长×母线长．
变式1．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧
面积是( )
A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
【答案】A
【分析】首先根据底面半径OB=3cm，高OC=4cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即
可．
【详解】解∶根据题意得： ，
∴这个圆锥的侧面积是 ．
故选：A
【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
变式2．（2021·云南·文山二中九年级阶段练习）如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆
锥的侧面积为（ ）
A．10cm2 B．10 cm2 C．20cm2 D．20 cm2
【答案】B
【分析】根据圆锥的侧面积公式 计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积为： ，故选：B．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题关键是熟记圆锥的侧面积计算公式．
变式3．（2022·广西柳州·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧
面积为（ ）
A．16π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【分析】根据圆锥侧面积公式 ，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，求解即可．
【详解】解：由题意可知：
圆锥的侧面积为： ，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，
．
故选：C
【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是
一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．
◎考点题型10求圆锥底面半径
例．（2022·浙江台州·九年级期末）将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆
锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．6 C．6 D．18
【答案】A
【分析】该圆锥底面圆的半径为 ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到 ，然后解方程即可．
【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为 ，根据题意得 ，
解得 ，
即该圆锥底面圆的半径为2．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
变式1．（2021·江苏镇江·九年级期中）已知圆锥的侧面展开图的面积是30πcm2，母线长是10cm，则圆锥
的底面圆的半径为（ ）
A．3cm B．6cm C．2cm D．4cm
【答案】A
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可求解．
【详解】解：圆锥的底面圆的半径为rcm，则底面周长为 ，根据题意得：
，
解得：r=3，
即圆锥的底面圆的半径为3cm．
故选：A
【点睛】本题主要利用了圆锥侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江牡丹江·一模）如图，将圆锥沿一条母线剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面
圆的半径 ，扇形的圆心角 ，则该圆锥母线 的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆
锥的母线长，结合弧长公式得到 ，最后解关于 的方程即可．
【详解】根据题意得解得， ，
即该圆锥的母线 的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了关于圆锥的计算，掌握“圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥圆
锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长”是解决这个问题的关键．
变式3．（2022·江苏宿迁·九年级期末）将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
底面半径是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【分析】易得圆锥的母线长为16cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即
为圆锥的底面半径．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×16÷2＝16π（cm），
∴圆锥的底面半径为16π÷2π＝8（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
◎考点题型11 求圆锥的高
例．（2022·四川广元·一模）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则
这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知半径为6cm，圆心角为120°的扇形，就可以求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以
求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆
锥的高．
【详解】解：扇形弧长为：L= = cm，
设圆锥底面半径为r，
则： ，所以r=2cm，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，
设圆锥高为h，所以h2+r2=62，
即：h2=32， ，
所以圆锥的高为 ．
故选：A
【点睛】考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．
变式1．（2022·江苏·九年级）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的
扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）
A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
【答案】B
【分析】设圆锥底面的圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形求出r的值，然后根据勾股定理计算
这个圆锥的高．
【详解】解：设圆锥底面的圆的半径为r，360°-144°=216°，
根据题意得 ，
解得r=9，
所以这个圆锥的高= （cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
变式2．（2022·山东淄博·九年级期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一
个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设扇形的半径为 ，圆锥的高为 ，根据底面圆的周长等于扇形的弧长即可列出等式求得 ，然
后再利用 ， ， 构成直角三角形，利用勾股定理即可求得 ．
【详解】解：设扇形的半径为 ，圆锥的高为 ，依题意得
，解得 ，
∵ ， ， 构成以 为斜边的直角三角形，
∴ ，
故选：
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的有关计算问题，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的
周长是解题的关键．
变式3．（2022·广东广州·九年级期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一
个圆锥模型，若圆的半径为 ，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．
【详解】解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．
设圆锥的母线长为R，则 =2πr，
解得：R=3r．
根据勾股定理得圆锥的高为 r，
故选：A．【点睛】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．
◎考点题型12 求圆锥展开图的圆心角
例．（2022·江苏南通·一模）如图是一个圆锥体的三视图（图中尺寸单位： ），则它的侧面展开图的圆
心角为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆锥体的三视图可得底面圆的半径为3，然后根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长可
进行求解．
【详解】解：由三视图可得：圆锥底面圆的半径为3，
∴ ，
解得： ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图、三视图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图、三视图及弧长公
式是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·九年级）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，
则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）．
A．108° B．120° C．144° D．150°
【答案】A
【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角度等于 ，即可得到答案．【详解】解：
∵母线长为10cm，底面半径为3cm，
锥侧面展开图的圆心角度
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
变式2．（2022·广西·南丹县教学研究室二模）如图，圆锥体的高 ，底面圆半径 ，则该
圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】根据勾股定理，可求出母线长为 =3，圆锥的底面周长为2πr=2π，根据圆锥展开图弧长公
式即可求出圆心角.
【详解】解：圆锥的底面周长为2πr=2π
由勾股定理，得圆锥的母线长为 = =3，
∵ =2π
∴n=120
故选：C.
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面圆周长=展开图
扇形弧长，圆锥母线长=展开图扇形半径，同时注意母线长= ，熟练地掌握以上知识是解决问题的
关键.
变式3．（2022·四川凉山·九年级期末）用半径为R，圆心角为n的扇形围成一个底面周长是2π、高是
的圆锥，则R和n的值分别为（ ）A． ，90° B．2，360° C． ，180° D．2，180°
【答案】D
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆的周长公式可求出r=1，再利用勾股定理计算出R=2，然后利
用弧长公式得到2π×1= ，则解方程得到n的值．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=2π，解得r=1，
∴R= =2，
∵2π×1= ，
∴n=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
◎考点题型13 圆内侧面上最短路径问题
例．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形 ，粮堆
母线 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，
则小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间
的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点 是半
圆的一个端点，而点 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点 和 在展开图中的距离，
就是这只小猫经过的最短距离．
【详解】解：圆锥的底面周长是 ，则 ，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中 ， ， 度．
在圆锥侧面展开图中 ．
故小猫经过的最短距离是 ．故选： ．
【点睛】本题考查的是平面展开 最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是
解答此题的关键．
变式1．（2021·全国·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着
圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
【答案】A
【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾
股定理即可得出AS的长．
【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，
连接AS，则AB＝ ×16＝8，BS＝ BC＝6，
在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，
解得AS＝10．
∵A，S两点之间线段AS最短，
∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
变式2．（2018·全国·八年级单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC
的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径
的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出
BP即可．
【详解】圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是 6π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π，
设展开后的圆心角是n°，则
解得：n=180，
即展开后
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的
侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆
锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
变式3．（2021·辽宁鞍山·一模）如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从
点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）A．6 B． C．3 D．3
【答案】C
【详解】分析：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到
的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．
解：
：
∵如图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π= ，
∴n=120°即扇形的圆心角是120°，
∴弧所对的弦长AA′=2×3sin60°= ，
故应选C．
点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
