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专题 14 圆的综合性问题
【思维导图】
◎突破一：圆与三角形的综合问题
例．（2021·江苏南通·一模）
(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．
(2)如图2，按以下步骤画图：
①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；
②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；
③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．
专训1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图， 为 的切线，C为切点，D是 上一点，过点D作
，垂足为F， 交 于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知．
(1)若 的半径为5，求 的长；
(2)试探究 与 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
专训2．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）如图，已知 为不完整 的直径， 为弦且 ，
，点M、N为 上的点，连接 ，点N从点A开始沿优弧 运动，当点M与点B重合
时停止．已知 ，以 为直径向 内作半圆P．
(1)求 的半径；
(2)当点N与点A重合时，求半圆P与 所围成的弓形的面积；
(3)①点P的运动路径长是___________；
②当半圆P与 相切时，求 与 夹角的正切值．
专训3．（2021·安徽·一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为⊙O的直径，DE与⊙O相切于点
D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，∠E＝∠ADC．(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若CF＝2DF，AC＝6，求⊙O的半径r．
专训4．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图，以AE为直径的 交直线 于A、B两点，点C在 上，
过点C作 于点D，连接 ， ， ，其中 与 交于点F，且 平分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ．
①求 的长；
②求 的值．
◎突破二：圆与四边形的综合问题
例．（2022·广东广州·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB = 6，BC = 8，∠ABC = 90°，
弧AD = 弧DC．
(1)求边CD的长；
(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．
①尺规作图:作△ABE；（保留作图痕迹，不写作法）
②连接DE，求线段DE的长．
专训1．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以
AB为直径的圆O交BC于点E．(1)求圆⊙的半径；
(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求 的值．
专训2．（2016·江苏无锡·九年级阶段练习）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（5，0），点E在OB上，
∠AEO=45°，点P从点Q（﹣3，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t
（t≥0）秒．
（1）求点E的坐标；
（2）当∠PAE=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直
线）相切时，求t的值．
专训3．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）如图，在 中，以 为直径的半 经过点 ，
交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)连接 ， ，若 ， ，求 的长．
专训4．（2022·浙江湖州·八年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
(1)如图1，点D是CA延长线上的一点，点E在线段AB上，且AD＝AE，连接BD和CE，延长CE交BD
于点F．求证：BD＝CE；
(2)在（1）的条件下，若点F为BD的中点，求∠AFD的度数；
(3)如图2，点P是△ABC外一点，∠APB＝45°，猜想PA，PB，PC三条线段长度之间存在的数量关系，并
证明你的结论．
◎突破三：圆与函数的综合问题
例．（2021·湖北荆门·模拟预测）我们把方程 称为圆心为 、半径长为 的圆的标准
方程．例如，圆心为 、半径长为3的圆的标准方程是 ．如图，在平面直角坐标系
中， 与 轴交于 ， 两点，且点 的坐标为 ，与 轴相切于点 ，过点 ， ， 的抛物
线的顶点为 ．
(1)求 的标准方程；
(2)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；(3)连接 ，求 的值．
专训1．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图1，抛物线 与x轴交于O、A两点，点B为抛物线
的顶点，连接OB．
(1)求∠AOB的度数；
(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
专训2．（2022·辽宁·沈阳市外国语学校一模）如图1，已知抛物线顶点A在x轴上，直线l：y= x- 交
抛物线于A，B两点，且AB=2
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与y轴交于C点，点P在抛物线上，且在第一象限，∠APC=45°，求P点坐标；
(3)如图2，过点M（1，-1）作直线交抛物线与E、F，点N在抛物线上且NE∥x轴，连FN，试证明：直线
FN过定点，并求定点的坐标．
专训3．（2022·江苏无锡·一模）如图，抛物线 经过 ， 且与y轴交于点
．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是x轴的正半轴上一点， ，求点P的坐标；
(3)当点P是抛物线上第一象限上的点， ，直接写出点P的坐标为______．
专训4．（2022·全国·九年级专题练习）我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径
长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点
D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
(1)求⊙C的标准方程；
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由；
(3)连接CE，求sin∠AEC的值．
