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24.2 点、直线、圆与圆的位置关系
点和圆的三种位置关系：
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类
点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
注意：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量
关系；知道数量关系也可以确定位置关系；
题型1：点和圆的位置关系
1.1．已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定
【变式1-1】已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置
关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【变式1-2】⊙O的半径r＝10cm，圆心O到直线l的距离OD＝6cm，在直线l上有A、B、C三点，且
AD＝6cm，BD＝8cm，CD＝5 √3 cm，问：A、B、C三点与⊙O的位置关系各是怎样？
题型2：确定圆的条件
2.如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ）A．(1，0) B．(2，0) C．(0，0) D．(2，−1)
【变式2-1】下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相
等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
【变式2-2】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆.
题型3：三角形的外接圆与外心
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，−3)．则△ABC
的外心坐标应是（ ）
A．(0，0) B．(1，0) C．(2，−1) D．(−2，−1)
【变式3-1】已知△ABC的外心为O，连结BO，若∠OBA=18°，则∠C的度数为（ ）A．60° B．68° C．70° D．72°
【变式3-2】如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.
①用尺规作图法找出 所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；
②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R.
题型4：反证法
4.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
【变式4-1】用反证法证明：“若 a>b>0 ，则 a2>b2 ”，应先假设（ ）
A．a<b B．a≤b C．a2<b2 D．a2≤b2
【变式4-2】用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．
直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫
做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
注意：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置
关系的判定．
题型5：直线与圆的位置关系-相交
5.已知 O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是√2，则直线AB与
O的位置关系是 ．
⊙
⊙
【变式5-1】已知一条直线l与半径为r的 O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ．
⊙
【变式5-2】已知 ⊙O 的半径为10，直线AB与 ⊙O 相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围
是 ．
题型6：直线与圆的位置关系-相切
6.若d、R是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，则m的值是 .
【变式6-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若以C为圆心，r为半径所作
的圆与斜边AB相切，则r的值是
【变式6-2】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，
AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
题型7：直线与圆的位置关系-相离
7.已知圆的半径为10cm，如果圆心O到直线的距离为12cm，那么这条直线和这个圆的位置关系
是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．都可能【变式7-1】在平面直角坐标系中， P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与 P的位置关系是
．
⊙ ⊙
【变式7-2】已知 O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与 O的
位置关系是 ．
⊙ ⊙
题型8：直线与圆的位置关系-交点个数
8.已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可
取（ ）
A．0 B．3 C．3.5 D．4
【变式8-1】已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个
数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3个或3个以上
【变式 8-2】已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为 1 的圆的公共点可能有
个．
圆与圆的五种位置关系
设⊙O 的半径为r ，⊙O 半径为r ， 两圆心O O 的距离为d，则：
1 1 2 2 1 2
两圆外离 d＞r +r
1 2
两圆外切 d=r +r
1 2
两圆相交 r -r ＜d＜r +r (r ≥r )
1 2 1 2 1 2
两圆内切 d=r -r (r ＞r )
1 2 1 2
两圆内含 d＜r -r (r ＞r )
1 2 1 2
注意：
(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分
类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
题型9：圆和圆的位置关系
9.(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
(2)已知⊙O 与⊙O 相切，⊙O 的半径为3cm，⊙O 的半径为2cm，则OO 的长是( )
1 2 1 2 1 2
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【变式9-1】如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相
切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少?
【变式9-2】已知⊙O 与⊙O 相切，⊙O 的半径为3cm，⊙O 的半径为2cm，则OO 的长是( )
1 2 1 2 1 2
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm
一、单选题
1．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
2．若☉O的直径为5，直线l与☉O相交，圆心O到直线l的距离是d，则d的取值范围是( )
A．4<d<5 B．d>5 C．2.5<d<5 D．0≤d<2.5
3．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
4．面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆一定与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
5．已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，那么直线l和这个圆的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
二、填空题
6．在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O的半径为5cm，则点P(－4,3)与⊙O的位置关系是：点
P在⊙O7．一个直角三角形的两条边长是方程x2−7x+12=0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为
．
8．用反证法证明：已知直线a、b被直线c所截，∠1+∠2≠180°．求证：a与b不平行．
证明：假设 ，
则：∠1+∠2=180°（ ）
这与 矛盾，故假设不成立．所以a与b不平行．
9．已知⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d是方程x2−5x+6=0的解，则直线l与⊙O的位置关
系是 ．
10．已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是√2，则直线AB
与⊙O的位置关系是 .
三、解答题
11．求证：矩形的四个顶点在同一圆上.
12．已知：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E．求证：AB≠AC．
四、综合题
13．如图，公路MN和村路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，
（1）学校是否会受到噪声影响？请说明理由；
（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h时，那么学校受影响的时间为多少秒？
14．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧上有A、B、C三点的坐标分别为A（0，4），B（4，
4），C（6，2）．
（1）在图中标出圆弧所在圆的圆心P，且P点坐标为 ；
（2）⊙P的半径为 ；∠APC的度数为 ；点（ −2 ，0）在⊙P ．
（填“上”、“内”、“外”）
