文档内容
第 3 节 等比数列及其前 n 项和
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.
了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，
那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么＝，
即G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a }的首项为a ，公比是q，则其通项公式为a ＝a q n － 1 ；
n 1 n 1
通项公式的推广：a ＝a qn－m.
n m
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝＝.
n 1 n
3.等比数列的性质
已知{a }是等比数列，S 是数列{a }的前n项和.
n n n
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a ·a＝a · a .
k l m n
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 a ，a ，a ，…仍是等比数
k k＋m k＋2m
列，公比为 q m .
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S ，S －S ，S －S ，…仍成等比数列，
n 2n n 3n 2n
其公比为 q n .
1.若数列{a }，{b }(项数相同)是等比数列，则数列{c·a }(c≠0)，{|a |}，{a}，，
n n n n
{a ·b }，也是等比数列.
n n
2.由a ＝qa ，q≠0，并不能立即断言{a }为等比数列，还要验证a ≠0.
n＋1 n n 1
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常
设为，，xq，xq3.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)数列{a }的通项公式是a ＝an，则其前n项和为S ＝.( )
n n n
(4)数列{a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S 成等比数列.( )
n 4 8 4 12 8
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，S ＝na.
n
(4)若a ＝1，q＝－1，则S ＝0，S －S ＝0，S －S ＝0，不成等比数列.
1 4 8 4 12 8
2.(2021·北京一模)已知等比数列{a }的公比q＝－2，前6项和S ＝21，则a ＝(
n 6 6
)
A.－32 B.－16 C.16 D.32
答案 D
解析 因为q＝－2，S ＝21，则有S ＝＝＝－21a ＝21，
6 6 1
即a ＝－1，所以a ＝a q5＝(－1)×(－2)5＝32.
1 6 1
3.(2021·全国甲卷)记S 为等比数列{a }的前n项和.若S ＝4，S ＝6，则S ＝(
n n 2 4 6
)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 A
解析 易知S ，S －S ，S －S 构成等比数列，由等比中项得 S (S －S )＝(S －
2 4 2 6 4 2 6 4 4
S )2，即4(S －6)＝22，所以S ＝7.
2 6 6
4.若{a }是公比为q(q≠0)的等比数列，记S 为{a }的前n项和，则下列说法不正
n n n
确的是( )
A.若a ＞0，0＜q＜1，则{a }为递减数列
1 n
B.若a ＜0，0＜q＜1，则{a }为递增数列
1 nC.若q＞0，则S ＋S ＞2S
4 6 5
D.若b ＝，则{b }是等比数列
n n
答案 C
解析 A，B显然是正确的；
C中，若a ＝1，q＝，则a ＜a ，即S －S ＜S －S ，故C错误；
1 6 5 6 5 5 4
D中，＝＝(q≠0)，∴{b }是等比数列.
n
5.(2022·全国百校大联考)已知在等比数列{a }中，a a a ＝8，则a a ＝________.
n 1 3 11 2 8
答案 4
解析 设公比为q，则a ＝a qn－1，
n 1
则a ·a q2·a q10＝8，
1 1 1
所以aq12＝8，所以a q4＝2，
1
所以a a ＝a q·a q7＝aq8＝(a q4)2＝4.
2 8 1 1 1
6.(易错题)已知在等比数列{a }中，a ＝7，前三项之和S ＝21，则公比q的值是
n 3 3
________.
答案 1或－
解析 当q＝1时，a ＝7，S ＝21，符合题意；
3 3
当q≠1时，得q＝－.
综上，q的值是1或－.
考点一 等比数列基本量的运算
1.已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15，且a ＝3a ＋4a ，则a ＝(
n 5 3 1 3
)
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C
解析 设等比数列{a }的公比为q，
n
由a ＝3a ＋4a 得q4＝3q2＋4，得q2＝4.
5 3 1
因为数列{a }的各项均为正数，所以q＝2.
n
又a ＋a ＋a ＋a ＝a (1＋q＋q2＋q3)
1 2 3 4 1
＝a (1＋2＋4＋8)＝15，
1
所以a ＝1，所以a ＝a q2＝4.
1 3 12.(2020·全国Ⅱ卷)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a －a ＝12，a －a ＝24，
n n 5 3 6 4
则＝( )
A.2n－1 B.2－21－n
C.2－2n－1 D.21－n－1
答案 B
解析 设等比数列{a }的公比为q，
n
则q＝＝＝2.
所以＝＝＝2－21－n.
3.设S 为等比数列{a }的前n项和.若a ＝，a＝a ，则S ＝________.
n n 1 6 5
答案
解析 由a＝a 得(a q3)2＝a q5，
6 1 1
整理得q＝＝3.
所以S ＝＝＝.
5
4.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a }满足a ＋a ＝20，a ＝8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求a a －a a ＋…＋(－1)n－1a a .
1 2 2 3 n n＋1
解 (1)设{a }的公比为q(q>1)，
n
且a ＋a ＝20，a ＝8.
2 4 3
∴
消去a ，得q＋＝，
1
则q＝2，或q＝(舍).
因此q＝2，a ＝2，
1
所以{a }的通项公式a ＝2n.
n n
(2)易知(－1)n－1a a ＝(－1)n－1·22n＋1，
n n＋1
则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.
故a a －a a ＋…＋(－1)n－1·a a
1 2 2 3 n n＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝[1－(－4)n]
＝－(－1)n·.
感悟提升 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃
1 n n
而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a }的前n项
n
和S ＝na ；当q≠1时，{a }的前n项和S ＝＝.
n 1 n n
考点二 等比数列的判定与证明
例1 S 为等比数列{a }的前n项和，已知a ＝9a ，S ＝13，且公比q>0.
n n 4 2 3
(1)求a 及S ；
n n
(2)是否存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，
n
请说明理由.
解 (1)易知q≠1，
由题意可得
解得a ＝1，q＝3，
1
∴a ＝3n－1，S ＝＝.
n n
(2)假设存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列，
n
∵S ＋λ＝λ＋1，S ＋λ＝λ＋4，S ＋λ＝λ＋13，
1 2 3
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，
此时S ＋＝×3n，
n
则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列{S ＋}是以为首项，3为公比的等比数列.
n
感悟提升 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用
于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续
三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
训练1 已知数列{a }的前n项和为S ，且a ＋S ＝n.
n n n n
(1)设c ＝a －1，求证：{c }是等比数列；
n n n
(2)求数列{a }的通项公式.
n
(1)证明 ∵a ＋S ＝n①，
n n
∴a ＋S ＝n＋1②.
n＋1 n＋1
②－①得a －a ＋a ＝1，
n＋1 n n＋1所以2a ＝a ＋1，
n＋1 n
∴2(a －1)＝a －1，又a ＋a ＝1，
n＋1 n 1 1
所以a ＝，∴a －1＝－≠0，
1 1
因为＝，∴＝.
故{c }是以c ＝a －1＝－为首项，为公比的等比数列.
n 1 1
(2)解 由(1)知
c ＝－×＝－.
n
∵c ＝a －1，∴a ＝1－.
n n n
考点三 等比数列的性质及应用
角度1 项与和的性质
例 2 (1)若等比数列{a }的各项均为正数，且 a a ＝9，则 log a ＋log a ＋…＋
n 1 10 9 1 9 2
log a ＝( )
9 10
A.6 B.5
C.4 D.1＋
(2)(2021·衡水模拟)等比数列{a }的前 n项和为 S ，若 S ＝1，S ＝7，则 S ＝
n n 10 30 40
________.
答案 (1)B (2)15
解析 (1)log a ＋log a ＋…＋log a ＝log [(a a )·(a a )·(a a )·(a a )·(a a )]＝log 95
9 1 9 2 9 10 9 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 9
＝5，故选B.
(2)∵等比数列{a }的前n项和为S ＝1，S ＝7，
n 10 30
∴S 、S －S 、S －S 、S －S 成等比数列，
10 20 10 30 20 40 30
即1、S －1、7－S 、S －7成等比数列，
20 20 40
∴(S －1)2＝1×(7－S )，解得S ＝3或S ＝－2(舍)，
20 20 20 20
所以1、2、4、S －7成等比数列，
40
所以S －7＝8，解得S ＝15.
40 40
角度2 等比数列的最值
例3 数列{a }的前n项和为S ，且3a ＋S ＝4(n∈N*)，设b ＝na ，则数列{b }的
n n n n n n n
项的最大值为( )
A. B. C. D.2
答案 B解析 由条件可知：3a ＋S ＝4，3a ＋S ＝4(n≥2).相减，得a ＝a .
n n n－1 n－1 n n－1
又3a ＋S ＝4a ＝4，故a ＝1.
1 1 1 1
则a ＝，b ＝n.
n n
设{b }中最大的项为b ，则
n n
即
解之得3≤n≤4.
∴{b }的项的最大值为b ＝b ＝.
n 3 4
感悟提升 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比
中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的
变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的
影响.
训练2 (1)公比不为1的等比数列{a }满足a a ＋a a ＝8，若a a ＝4，则m的值
n 5 6 4 7 2 m
为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
(2)(2022·成都诊断)已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，且S －2S ＝5，则a
n n 8 4 9
＋a ＋a ＋a 的最小值为( )
10 11 12
A.25 B.20 C.15 D.10
(3)设等比数列{a }的前n项和为S ，若＝3，则＝________.
n n
答案 (1)B (2)B (3)
解析 (1)∵公比不为1的等比数列{a }满足a a ＋a a ＝8，
n 5 6 4 7
∴a a ＝a a ＝4，由a a ＝4，
5 6 4 7 2 m
∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.
(2)在正项等比数列{a }中，S >0，
n n
因为S －2S ＝5，则S －S ＝5＋S ，
8 4 8 4 4
易知S ，S －S ，S －S 是等比数列，
4 8 4 12 8
所以(S －S )2＝S ·(S －S )，
8 4 4 12 8
所以S －S ＝＝＋S ＋10
12 8 4
≥2＋10＝20(当且仅当S ＝5时取等号)
4
因为a ＋a ＋a ＋a ＝S －S ，所以a ＋a ＋a ＋a 的最小值为20.
9 10 11 12 12 8 9 10 11 12(3)法一 由等比数列的性质知，S ，S －S ，S －S 仍成等比数列，
3 6 3 9 6
由已知得S ＝3S ，所以＝，
6 3
即S －S ＝4S ，S ＝7S ，所以＝.
9 6 3 9 3
法二 因为{a }为等比数列，由＝3，
n
设S ＝3a，S ＝a，
6 3
所以S ，S －S ，S －S 为等比数列，即a，2a，S －S 成等比数列，所以S －S
3 6 3 9 6 9 6 9 6
＝4a，
解得S ＝7a，所以＝＝.
9
等比数列前n项和性质的延伸
在等比数列{a }中，S 表示{a }的前n项和，{a }的公比为q，
n n n n
1.当S ≠0时，S ，S －S ，S －S ，…成等比数列(n∈N*).
n n 2n n 3n 2n
2.S ＝S ＋qnS ，特别地S ＝S ＋qS
n＋m n m 2n 奇 奇.
例 (1)已知等比数列{a }共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和
n
大80，则公比q＝________.
(2)已知{a }是首项为1的等比数列，S 是{a }的前n项和，且9S ＝S ，则数列的
n n n 3 6
前5项和为________.
答案 (1)2 (2)
解析 (1)由题设，S ＝S －80，S ＝－240.
偶 奇 2n
∴∴
(2)设等比数列{a }的公比q，易知S ≠0.
n 3
则S ＝S ＋S q3＝9S ，所以q3＝8，q＝2.
6 3 3 3
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.
1.设b∈R，数列{a }的前n项和S ＝3n＋b，则( )
n n
A.{a }是等比数列
n
B.{a }是等差数列
n
C.当b＝－1时，{a }是等比数列
n
D.当b≠－1时，{a }是等比数列
n答案 C
解析 当n＝1时，a ＝S ＝3＋b，
1 1
当n≥2，a ＝S －S ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，
n n n－1
当b＝－1时，a ＝2适合a ＝2·3n－1，{a }为等比数列.
1 n n
当b≠－1时，a 不适合a ＝2·3n－1，{a }不是等比数列.
1 n n
2.已知{a }是等比数列，a ＝2，a ＝，则公比q等于( )
n 2 5
A.－ B.－2 C.2 D.
答案 D
解析 由题意知q3＝＝，即q＝.
3.(2022·郑州模拟)设等比数列{a }的前n项和为S ，a ＝－8，a ＝，则S ＝(
n n 2 7 6
)
A.－ B. C. D.
答案 C
解析 设等比数列{a }公比为q，则a ＝a q5，
n 7 2
又a ＝－8，a ＝，
2 7
∴q＝－，故a ＝16，又S ＝，
1 n
即S ＝＝＝.
6
4.(2021·安庆三模)某工厂生产 A、B、C 三种产品的数量刚好构成一个公比为
q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量
为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(
)
A.100 B.140 C.180 D.120
答案 C
解析 ∵A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列，C产品的
数量为20，
∴A产品的数量为，B产品的数量为，
∵样本容量为260，∴＋＋20＝260，
解得q＝或－(舍去)，q＝，
则A产品的数量为＝＝180，故选C.
5.(2021·全国甲卷)等比数列{a }的公比为 q，前 n 项和为 S .设甲：q＞0，乙：
n n{S }是递增数列，则( )
n
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 当a ＜0，q＞1时，a ＝a qn－1＜0，此时数列{S }递减，所以甲不是乙的
1 n 1 n
充分条件.当数列{S }递增时，有 S －S ＝a ＝a qn＞0，若 a ＞0，则 qn＞
n n＋1 n n＋1 1 1
0(n∈N*)，即q＞0；若a ＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在这样的q，所以甲是乙的
1
必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
6.(2021·西安调研)已知数列{a }为各项均为正数的等比数列，S 是它的前n项和，
n n
若a a ＝4，且a ＋2a ＝，则S ＝( )
1 7 4 7 5
A.32 B.31 C.30 D.29
答案 B
解析 由a a ＝a＝4，且a >0，得a ＝2，
1 7 n 4
又a ＋2a ＝，所以a (1＋2q3)＝，
4 7 4
解得q＝，从而a ＝16.
1
故S ＝＝31.
5
7.(2022·郑州期末)朱载堉(1536－1611)是中国明代一位杰出的律学家、数学家和
历学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是
目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间
的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音
之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的
频率为f ，第七个音的频率为f ，则＝______.
1 2
答案 2
解析 由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列{a }中的项，一共13项，
n
且＝q，
∵最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
∴a ＝2a ，即a q12＝2a ，可得q12＝2，
13 1 1 1
∴＝＝＝q4＝(q12)＝2，∴＝2.
8.(2021·河南六市联考)已知等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝7，S ＝63，则
n n 3 6
a ＝________.
1
答案 1
解析 由于S ＝7，S ＝63知公比q≠1，
3 6
又S ＝S ＋q3S ，得63＝7＋7q3.
6 3 3
∴q3＝8，q＝2.
由S ＝＝＝7，得a ＝1.
3 1
9.(2022·上海外国语附中月考)设数列{x }满足log x ＝1＋log x (a＞0，a≠1)，
n a n＋1 a n
若x ＋x ＋…＋x ＝100，则x ＋x ＋…＋x ＝________.
1 2 100 101 102 200
答案 100a100
解析 ∵log x ＝1＋log x (a＞0，a≠1)，则1＝log x －log x ＝log ，
a n＋1 a n a n＋1 a n a
∴＝a，
∴数列{x }是公比为a的等比数列，
n
∵x ＋x ＋…＋x ＝100，
1 2 100
∴x ＋x ＋…＋x ＝a100(x ＋x ＋…＋x )＝100a100.
101 102 200 1 2 100
10.等比数列{a }中，a ＝1，a ＝4a .
n 1 5 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记S 为{a }的前n项和.若S ＝63，求m.
n n m
解 (1)设数列{a }的公比为q，
n
由题设得a ＝qn－1.
n
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故{a }的通项公式为a ＝(－2)n－1或a ＝2n－1.
n n n
(2)若a ＝(－2)n－1，则S ＝.
n n
由S ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.
m
若a ＝2n－1，则S ＝2n－1.
n n
由S ＝63得2m＝64，解得m＝6.
m
综上，m＝6.
11.已知数列{a }的前n项和为S ，且满足2S ＝－a ＋n(n∈N*).
n n n n
(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列{a －1}的前n项和T .
n n
(1)证明 2S ＝－a ＋n，
n n
当n≥2时2S ＝－a ＋n－1，
n－1 n－1
两式相减，得2a ＝－a ＋a ＋1，
n n n－1
即a ＝a ＋.
n n－1
∴a －＝，
n
∴数列为等比数列.
(2)解 由2S ＝－a ＋1，得a ＝，
1 1 1
由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列.
∴a －＝－＝－，
n
∴a ＝－＋，
n
∴a －1＝－－，
n
∴T ＝－
n
＝－.
12.若正项等比数列{a }满足a a ＝22n(n∈N*)，则a －a 的值是( )
n n n＋1 6 5
A. B.－16
C.2 D.16
答案 D
解析 设正项等比数列{a }的公比为q＞0，
n
∵a a ＝22n(n∈N*)，
n n＋1
∴＝＝4＝q2，解得q＝2，
∴a a ＝a×2＝22n，a ＞0，解得a ＝2，则a －a ＝2－2＝16，故选D.
n n＋1 n n 6 5
13.(2022·长沙模拟)已知等比数列{a }中，a ＝2，a ＝，则满足a a ＋a a ＋…＋
n 2 5 1 2 2 3
a a ≤成立的最大正整数n的值为________.
n n＋1
答案 3
解析 已知{a }为等比数列，设其公比为q，
n
由a ＝a ·q3得，2·q3＝，q3＝，解得q＝，
5 2
又a ＝2，∴a ＝4.
2 1
∵＝q2＝，∴数列{a a }也是等比数列，其首项为a a ＝8，公比为.
n n＋1 1 2∴a a ＋a a ＋…＋a a ＝(1－4－n)≤，从而有≥.
1 2 2 3 n n＋1
∴n≤3.故n ＝3.
max
14.(2022·合肥质量检测)已知公比不为1的等比数列{a }满足a ＋a ＝5，且a ，
n 1 3 1
a ，a 构成等差数列.
3 2
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记S 为{a }的前n项和，求使S ＞成立的最大正整数k的值.
n n k
解 (1)设公比为q.由题意得a ＋a ＝2a ，
1 2 3
∴a (1＋q－2q2)＝0，
1
又∵a ≠0，∴q＝－或1(舍)，
1
∵a ＋a ＝5，∴a (1＋q2)＝5，∴a ＝4，
1 3 1 1
∴a ＝4·.
n
(2)S ＝＝.
n
∵S ＞，∴＞，
k
∴＜－，
显然，k为奇数，即＞＞＝.
解得k≤3，所以满足条件的最大正整数k的值为3.
