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专题 06 二次函数的变换
【思维导图】
◎考点题型1二次函数的平移
（1） 平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
② 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2） 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，
上加下减”．
例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）将抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位
长度，所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x＋2）2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x＋1）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣1）2＋3
变式1．（2021·山东烟台·九年级期中）将二次函数 的图象先向右平移2个单位，再向下平移
3个单位，所得图象的函数解析式为 ，则 、 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
变式2．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）将抛物线 图像先向上平移 个单位，
再向左平移 个单位后的解析式是( )
A． B．
C． D．
变式3．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由 的图像经过平移得到函数 的图
像呢？
小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度；
小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度．
对于上述两种说法，正确的是（ ）
A．小亮对 B．小丽对
C．小亮、小丽都对 D．小亮、小丽都不对
◎考点题型2
二次函数图象的对称
（1）关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
（2）关于 轴对称
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 轴对称后，得到的解析式是 ；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
4. 关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于顶点对称后，得到的解析式是 ．
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛
物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛
物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然
后再写出其对称抛物线的表达式．
例．（2022·河南周口·九年级期末）已知抛物线 经过 和 两点，则n的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
变式1．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数
y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（ ）
A．第一或第四象限 B．第三或第四象限
C．第一或第二象限 D．第二或第三象限
变式2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx
＋c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
1
﹣
x …… 0 2 3 4 ……
1
y …… 10 5 2 1 2 5 ……若A（m，y）、B（m﹣1，y）两点都在函数的图象上，则当m满足（ ）时，y＜y
1 2 1 2
A．m≤2 B．m≥3 C．m D．m
变式3．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）点 （－1， ）， （3， ）， （5， ）均在二次函数
的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型3 二次函数的图象与系数的关系
二次函数
y=ax2 +bx+c
（
a≠0
）的系数与图象的关系
（1）a的符号由抛物线
y=ax2 +bx+c
的开口方向决定：
开口向上⇔a>0
，
开口向上⇔a>0
；
（2） b 的符号由抛物线 y=ax2 +bx+c 的对称轴的位置及a的符号共同决定：对称轴在y轴左侧
⇔a,b 同号，对称轴在y轴右侧 ⇔a,b 异号；
（3）c的符号由抛物线 y=ax2 +bx+c 与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交⇔c>0 ，与y轴
正半轴相交⇔c<0
二次项系数a
二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．
⑴ 当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
1 当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小．
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
1 在a>0的前提下，b
当b>0时，− <0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；
2a
b
当b=0时，− =0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
b
当b<0时，− >0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）．
2a
2 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b>0时，− >0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
2a
b
当b=0时，− =0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
b
当b<0时，− <0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b同号）．
2a
【总结起来】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
常数项c
⑴ 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
3 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
例．（2021·山东烟台·九年级期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·云南玉溪·九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正
确的是( )
A．abc<0 B．b=－4a C．4a+2b≥m(am+b) D．a－b＋c>0变式2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线 的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A
在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：① ；②当 时，y随x增
大而减小；③ ；④若方程 没有实数根，则 ；⑤ ．其中正确结
论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式3．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的
图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
◎考点题型4二次函数与一次函数的综合判断
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 、
两点，则函数 的图像可能是（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数
的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·河南驻马店·九年级期中）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．变式3．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数 与一次函
数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型5
根据图像判断式子符号
例．（2021·广东湛江·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②a-
b+c=0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四
条信息：
①c＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③a＋b＋c＜0；
④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．
其中正确信息的个数有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的
部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
下列结论正确的是（ ）
①ab＞0；②a+b+c＜0；③若点（﹣7，y），点（7，y）在二次函数图象上，则y＜y；④方程ax2+bx+c
1 2 1 2
＝﹣3有两个不相等的实数根.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
变式3．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，
0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x
＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③﹣1≤a≤ ；④3≤n≤4中，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◎考点题型6 抛物线y=ax2+bx+c最值
抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点） 公式法：y=ax2+bx+c=a ( x+ b ) 2 + 4ac−b2 ，
2a 4a
b 4ac−b2 b
∴顶点是（− ， ），对称轴是直线x=− .
2a 4a 2a
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x−h) 2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴
是直线x=h.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
例．（2022·浙江金华·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的
函数表达式为 ，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离
为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x
（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
变式2．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为
1，则a值为（ ）
A． B． C． 或 D．﹣1或
◎考点题型7
待定系数法求函数解析式
例．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y=ax2+c的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二
次函数的表达式．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线经过点 ， ， ，求该抛物线的函数
关系式
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为
，与 轴的交点坐标为 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
