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专题 12 点、直线与圆的位置关系
【思维导图】
◎考点题型1 点和圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r P
点在圆外 点在圆的外部 d>r⇔点P在⊙O的外部.
O
点在圆上 r P 点在圆周上 d=r⇔点P在⊙O的圆周上.
O
点在圆内 r P 点在圆的内部 d<r⇔点P在⊙O的内部.
O
例．（2022·河北邯郸·九年级期末）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若 ，则点P与⊙O的位
置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
【答案】C
【分析】根据点到圆心的距离小于半径即可判断点P在⊙O的内部．
【详解】∵⊙O的半径为5，PO＝6，∴点P到圆心O的距离大于半径，
∴点P在⊙O的外部，
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．
变式1．（2021·江苏淮安·九年级期中） 的半径为 ，点 到圆心 的距离 ，则点 与
的位置关系为（ ）
A．点 在 上 B．点 在 内 C．点 在 外 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解： 的半径为 ，点A到圆心 的距离为 ，
即点A到圆心 的距离小于圆的半径，
点A在 内．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外
d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
⇔变式2．（2022·全国⇔·九年级专题练习）在⇔平面直角坐标系中，以原点O为圆心，4为半径作圆，点P的坐
标是（5，5），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或在⊙O外
【答案】C
【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点P的坐标是（5，5），
∴ ，
而 的半径为4，
∴ 等于大于圆的半径，
∴点P在 外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
变式3．（2021·江苏常州·九年级期中）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a， B半
径为4．若点A在 B内部，则a的取值范围是（ ） ⊙
⊙A．a＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a＞2 D．a＜10
【答案】B
【分析】先表示出AB=|6-a|，从而列出|6-a|＜4，进而即可求解．
【详解】解：∵点B表示实数6，点A表示实数a，
∴AB=|6-a|，
∵ B半径为4．若点A在 B内部，
∴⊙|6-a|＜4，即：2＜a＜10⊙，
故选B．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆的内部则点与圆心的距离小于圆的半径，是解
题的关键．
◎考点题型2 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
A A A
B C
O B O C O
B C
图1 图2 图3
例．（2022·江苏·九年级）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．则△ABC的外心坐
标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义
可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到
，由此求解即可．
【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3），
∴直线BC∥y轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为1，
设△ABC的外心为P（a，1），
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴△ABC外心的坐标为（-2， 1），
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心
是三角形三边垂直平分线的交点．
变式1．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，⊙O是等边 ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（
） △A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到
∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，
∴CD= AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=( AD)2+32，
∴AD=2 ，
∴OA=OB= AD= ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
变式2．（2022·全国·九年级）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1
C．DB＝ AB D．点C是 ABD的外心
△
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判
断即可．
【详解】由作图可知：CA＝CB＝CD，
∴∠ABD＝90°，点C是 ABC外接圆的圆心，故A，D正确，
∵AC＝BC＝AB， △
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，∠D＝30°，
∴BD＝ AB，故C正确，
∴sin2A+cos2D＝ ，故B错误，
故选B．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等
知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式3．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）如图，△ABC和△DBC中，点D在△ABC内，AB
＝AC＝BC＝2，DB＝DC，且∠D＝90°，则△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】设△ABC的三角的平分线AP、CG交于点O，AP交BC于点P，CG交AB于点G，过点PE⊥CD
于点E，PF⊥BD于点F，根据△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，可得△ABC的内心和
△DBC的外心之间的距离为OP的长，求出OP的长，即可求解．
【详解】解：如图，设△ABC的三角的平分线AP、CG交于点O，AP交BC于点P，CG交AB于点G，过
点PE⊥CD于点E，PF⊥BD于点F，
∵AB＝AC＝BC＝2，DB＝DC，且∠D＝90°，
∴△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，
∴BP=CP，点O为△ABC的内心，
∴PD=PB=PC，
∴PE垂直平分CD，PF垂直平分BD，
∴点P为△DBC的外心，
∴△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为OP的长，
在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，
∴BP=1，∠OBP=∠OAB=30°，
∴ ，OP= ，OA=OB，
∴ ，∴ 或 ，即△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为 ．
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和外心问题，等边三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握等边
三角形和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
◎考点题型3 三点定圆的方法
1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，
这样的圆有无数个．
2） 经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作
出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在
的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为
半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
例．（2022·江苏镇江·九年级期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最
有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A．① B．② C．③ D．都不能
【答案】B
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，
进而可得到半径的长．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分
线的交点即为该圆的圆心．
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐
标系，使点A的坐标为(0，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．(－1，2) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(2，1)
【答案】C
【分析】连接 、 ，作出 、 的垂直平分线，其交点即为圆心．
【详解】解：如图所示：
作出AB、AC的垂直平分线，交点为D,
∴ 为圆心，
则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ，
故选：C．【点睛】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心
的位置．
变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(
)
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【答案】D
【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直
线上，有且只有一个圆．
解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四
个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四
点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C．
考点：确定圆的条件．
◎考点题型4 直线与圆的位置关系
设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置
图形 定义 性质及判定
关系
r O
相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离
d l直线与圆有唯一公共点，直线
r
相切 O 叫做圆的切线，公共点叫做切 直线 与 相切
d l
点
r 直线与圆有两个公共点，直线
相交 d O 直线 与 相交
l 叫做圆的割线
例．（2022·江苏·九年级专题练习）P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，下列
叙述正确的是（ ）
A．点P在⊙O外
B．点Q在⊙O外
C．直线l与⊙O一定相切
D．若OQ＝5，则直线l与⊙O相交
【答案】D
【分析】由P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，可得点P在⊙O上，直线l与
⊙O相切或相交；若OQ＝5，则直线l与⊙O相交，从而可得答案．
【详解】解：∵OP＝5，⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上，故A错误；
∵P是直线l上的点，
∴直线l与⊙O相切或相交；
∴若相切，则OQ＞5，且点Q在⊙O外；若相交，则点Q可能在⊙O上，⊙O外，⊙O内；故B，C错误．
∴若OQ＝5，则直线l与⊙O相交；故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的
应用．
变式1（2021·上海金山·九年级期末）如图，已知 中， ， ， ，如果以点
为圆心的圆与斜边 有公共点，那么⊙ 的半径 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出 然后根据直线与圆
的位置关系得到当 时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴
∴
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为
故选：C
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O
相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．
变式⇔2．（2022·广西钦州·九年级⇔期末）若直线 与半径为⇔ 的⊙O相交，则圆心O到直线 的距离可能为
（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【分析】根据圆与直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：∵直线 与半径为 的⊙O相交，
∴圆心到直线的距离d<r，即d<4，
∴满足条件的只有A选项，
故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：①直线与圆相交时，d<r；②直线与圆相切
时，d=r；③直线与圆相离时，d>r．
变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦
AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与
⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【详解】解：作OC⊥AB，
又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．
◎考点题型5 切线的判定定理
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
例．（2019·山东·九年级单元测试）下列四个命题中正确的是( )
①与圆有公共点的直线是该圆的切线;
②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线;
③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;
④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C【详解】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误；
②中，应经过此半径的外端，故错误；
③中，根据切线的判定方法，正确；
④中，根据切线的判定方法，正确．
故选C.
点睛：要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外
端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．
变式1．（2019·全国·九年级课时练习）如果L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是( )
A．AB经过圆心O B．AB是直径
C．AB是直径,B是切点 D．AB是直线,B是切点
【答案】C
【详解】试题分析：根据切线垂直于经过切点的半径即可得到结果.
由题意得还需要添加的条件是AB是直径，B是切点，故选C.
考点：切线的判定
点评：切线的判定是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需
多加注意.
变式2．（2021·全国·九年级课时练习）如图， 内接于 ，过A点作直线 ，当 （ ）
时，直线 与 相切．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到
∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得
∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与 O相切．
【详解】解：当 时，直线 与⊙ 相切．
理由如下：
作AF交圆O于F点，连接BF．∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∴直线DE与 O相切．
故选：C ⊙
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°．
变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，P是 的直径 的延长线上一点， ，则当
（ ）时，直线 是 的切线．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA，当 30°时，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出∠OAP＝90°，即可证
明直线 是 的切线．
【详解】解：当 30°时，直线 是 的切线．
证明：连接OA．
∵∠P＝30°， 30°，
∴∠PAC＝120°；
∵OA＝OC，∴ 30°，
∴ ，
即OA⊥PA，
∴直线 是 的切线．
故选：B
【点睛】本题考查了切线的判定，解题关键是熟记切线的判定定理，连接半径进行证明推理．
◎考点题型6切线的性质定理
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
例．（2022·河北保定·九年级期末）如图， 是 的切线， 是切点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】A
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最
后利用切线的性质解题即可．
【详解】解： PA，PB是⊙O的切线，
，
，
，
，
，
，
．故选：A．
【点睛】本题考查圆的切线长定理以及切线的性质，掌握切线长定理以及切线的性质是解题关键．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，
连接BC，PA.若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【答案】A
【分析】根据切线的性质可得 ，则可得 ．再根据圆周角定理可得
，则可求出∠B的度数．
【详解】∵AB是⊙O的直径，且PA与⊙O相切
∴
又∵∠P=36°
∴
∴
故选:A
【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键．
变式2．（2021·福建南平·九年级阶段练习）如图，点 为 上一点，点 为 延长线上一点， 切
于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，再求解 再利用三角形的外角的性质及等腰
三角形的性质可得结论．
【详解】解：连接 ，
切 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： B．
【点睛】本题考查的是切线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，等腰三角形的性
质，掌握“切线的性质”是解本题的关键．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若 ，则
∠ACB的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵ ，
∴ =90°-37°=53°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．
◎考点题型7 切线长定理
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，P为⊙ 外的一点，PA，PB分别切⊙ 于点A，B，CD切⊙
于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若 ，则 的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，
故选：C．
【点睛】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
变式1．（2022·浙江·金华市第九中学九年级阶段练习）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（
）A．90°﹣α B． α C．2α D．90°﹣ α
【答案】D
【分析】根据切线性质，证得 ≌ ，通过等量代换得出 ，再根据等腰三角形的
性质，由∠P＝α，求得 即可．
【详解】解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴ ，即
在 与 中，
∵
∴ ≌ （SAS），
∴ ，
在 中，
,
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在 中， ，即 ，
∵ ，∴
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求
得 是解题关键．
变式2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知 、 是 的两条切线， 、 为切点，连接
交 于 ，交 于 ，连接 、 ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2
C．2，6 D．1，6
【答案】C
【分析】根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共两个；
根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，
△OBP，△CBP，共6个．
【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
故选C．
【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品
质．
变式3．（2022·山东德州·九年级期末）如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，
使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（ ）A．70° B．64° C．62° D．51°
【答案】B
【分析】先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO＝∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，
加上BD＝OB，则可判断 AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO
＝∠BAO＝∠BAD，然后△利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可计算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝
90°﹣∠BAD求解．
【详解】解：∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB，
∵BD＝OB，
∴AB垂直平分OD，
∴AO＝AD．
∴△AOD为等腰三角形，
∴∠BAO＝∠BAD，
∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，
∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°，
∴3∠BAD＝78°，
解得∠BAD＝26°，
∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
◎考点题型8 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．
内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
例．（2021·全国·九年级课时练习）若 的外接圆半径为R，内切圆半径为 ，则其内切圆的面积与
的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得： 结合勾股定理
可得： 再求解直角三角形的面积 ，从而可得直角三角形的内
切圆的面积与直角三角形的面积之比．
【详解】解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：
设，
，
而
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识
是解题的关键．
变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC
都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在
圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
【答案】C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方
形的边长．
【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH= =AE．
∴AD=AE+DE= +2．
故选C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 中， ， 是内心，则 等于（
A．120° B．130° C．150° D．160°
【答案】B
【分析】根据内心的性质得到BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，再利用角平分线的定义和三角形内角和
定理计算可得．
【详解】解：∵I是内心，
∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI）
=180°- （∠ABC+∠ACB）
=130°，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点．
变式3．（2019·湖北武汉·三模）在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，AC=3，BC=4，分别用r、r、r、
1 2
表示△ABC，△ACD，△BCD内切圆的半径，则( )
A．r+r+r= B．r+r+r=
1 2 1 2
C．r﹣r﹣r=﹣ D．r﹣r﹣r=﹣
1 2 1 2
【答案】A
【分析】由勾股定理及三角形的面积表示可求出线段CD、AD、BD的长，根据r= ，r=
1
，r= 计算即可.
2
【详解】解：如图，
∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，AC=3，BC =4，
根据勾股定理得AB=5，
，即
CD=
在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD= ，则BD = ．
∵Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△BCD的内切圆半径分别是r、r、r，
1 2
∴r= ，r= ，r= ，
1 2
∴r+r+r= ．
1 2故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆的性质，即三角形的面积 （内切圆的半径 三角形的周长），
灵活的利用该公式求三角形内切圆的半径是解题的关键.
◎考点题型9 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆
叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
例．（2022·广西梧州·九年级期末）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（
）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【分析】⊙O的内接四边形性质对角和180°，加上已知条件∠A：∠C＝1：2，即可求得∠C．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°
又∵∠A：∠C＝1：2
∴∠C=120°
故选：A．
【点睛】此题考查了⊙O的内接四边形性质，解题的关键结合已知条件求解．
变式1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则
∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C
【分析】根据∠AOB=40°，可得∠ABO=70°，再由BC∥OA，可得∠OBC=∠AOB=40°，从而得到
∠ABC=110°，再由圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠ABO=70°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=40°，
∴∠ABC=110°，
∴∠ADC=180°-110°=70°
故选C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边
形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若
AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形
的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出
∠A+∠C=180°是解此题的关键．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距．
【详解】解：∵一个正方形的周长为24，
∴正方形的边长为6，
由中心角只有四个可得出360°÷4=90°，
∴中心角是：90°，
∴边心距是边长的一半，为3，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型．
◎考点题型10 圆和圆的位置关系
设 的半径分别为 （其中 ），两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
两个圆没有公共点，并且每
r R 两 圆 外
外离 个圆上的点都在另一个圆的
O1 O2
离
外部．
两个圆有唯一公共点，并且
r R 除了这个公共点之外，每个 两 圆 外
外切
O1 O2
圆上的点都在另一个圆的外 切
部．相交 两个圆有两个公共点．
O1
R
O2
两圆相交
两个圆有唯一公共点，并且
内切
r O 1O
2
除了这个公共点之外，一个 两 圆 内
R 圆上的点都在另一个圆的内 切
部．
两个圆没有公共点，并且一
R 个圆上的点都在另一个圆的 两
内含
r O1 O2 内部，两圆同心是两圆内含 圆内含
的一种特例．
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外
离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【圆和圆的位置关系小结】
例．（2021·全国·九年级单元测试）已知⊙O 和⊙O 的半径分别为3和4cm， 且OO=8cm，则⊙O 与
1 2 1 2 1
⊙O 的位置关系是（ ）
2
A．外离 B．相交 C．相切 D．内含
【答案】A
【分析】由⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm、4cm，且圆心距OO=8cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两
1 2 1 2
圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【详解】∵⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm、4cm，且圆心距OO=8cm，
1 2 1 2
又∵3+4＜8，
∴两圆的位置关系是外离．
故选A．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数
量关系间的联系．变式1．（2022·上海·一模）已知点 ， ，如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与
⊙B的位置关系（ ）
A．内切 B．外切 C．内含 D．外离
【答案】A
【分析】求出AB=5，根据圆心距=半径之差，即可判断．
【详解】解：∵点A（4，0），B，0，3），
∴AB= =5，
∵⊙A与⊙B的半径分别为：2与7，
∴半径差为：7-2=5，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间
的联系是解此题的关键．
变式2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与
圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
变式3．（2021·上海·九年级专题练习）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，
BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
【答案】A
【分析】结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆与圆之间位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆之间位置关系的性质，从
而完成求解．
