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专题 24.2 最值问题
【例题精讲】
【例1】如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边上一动点（点 不
与 ， 重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：连接 ，
点 和 关于 对称，
，
在以 圆心，3为半径的圆上，
当 ， ， 三点共线时， 最短，
， ，
，
故选： ．
【例2】如图，已知点 是 上一点，直线 过点 ，点 是 上的另一点，点是 的中点， ，若点 是 上的一个动点，且 ， 时，
求 的面积的最大值．
【解答】解：连接 ；
是 的中点，且 ，
，
，又 ，
；
过点 作 于 ，延长 交圆于点 ，则 是 的 边上的最大的高；
在 中， ， ，
，
，
的面积的最大值为 ．
【题组训练】
一．选择题（共8小题）
1．如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，
且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值为
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解： ，
，
，
，
若要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最小值，
过点 作 轴于点 ，
则 、 ，
，
又 ，
，
，
故选： ．
3．如图，点 ， 半径为2， ， ，点 是 上的动点，点 是的中点，则 的最小值是
A．1.4 B． C． D．2.6
【解答】解：如图，连接 交 于 ，连接 ，
由勾股定理得： ，
， ，
，
当 最小时， 最小，
当 运动到 时， 最小，
此时 的最小值 ，
故选： ．
4．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点， 是以点 为圆心，2为半径的
圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最大值是A．3 B． C． D．4
【解答】解：连接 ，如图，
当 时， ，解得 ， ，则 ， ，
是线段 的中点，
为 的中位线，
，
当 最大时， 最大，
而 过圆心 时， 最大，如图，点 运动到 位置时， 最大，
，
，
线段 的最大值是 ．
故选： ．5．如图， 是 的弦，点 是优弧 上的动点 不与 、 重合）， ，
垂足为 ，点 是 的中点．若 的半径是3，则 长的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解： ，垂足为 ，
，
点 是 的中点．
，
的最大值是直径的长， 的半径是3，
的最大值为3，
故选： ．
6．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ，点 为坐标平面内一点， ，点
为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为A． B． C． D．
【解答】解：如图，
点 为坐标平面内一点， ，
在 上，且半径为1，
取 ，连接 ，
， ，
是 的中位线，
，
当 最大时，即 最大，而 ， ， 三点共线时，当 在 的延长线上时，
最大，
， ，
，
，，即 的最大值为 ；
故选： ．
7．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满
足 ，则线段 长的最小值为
A． B．2 C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
，
（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
点 在以 为直径的 上，连接 交 于点 ，此时 最小，
在 中， ， ， ，
，
．
最小值为2．
故选： ．8．如图，在平面直角坐标系中， ， ， 半径为2， 为 上任意一点，
是 的中点，则 的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ．
， ，
，
点 的运动轨迹是以 为圆心半径为1的圆，
， ，
，
，
的最小值 ，
故选： ．
二．填空题（共12小题）
9．如图，在直角坐标系中， A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y
⊙＝﹣ x+3上的动点，过点P作 A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 2
． ⊙
【解答】解：如图，作AP⊥直线y＝﹣ x+3，垂足为P，作 A的切线PQ，切点为
Q，此时切线长PQ最小， ⊙
∵A的坐标为（﹣1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB＝3，AC＝5，
∴BC＝ ＝5，
∴AC＝BC，
在△APC与△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC（AAS），
∴AP＝OB＝3，
∴PQ＝ ＝2 ．
∵PQ2＝PA2﹣1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2 ．10．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 为平面内的动点，且满
足 ， 为直线 上的动点，则线段 长的最小值为 ．
【解答】解：取 的中点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
点 ， ，
， ，
，
，
，
点 在以 为直径的圆上，
线段 长的最小值为 ．
故答案为： ．11．在 中，若 为 边的中点，则必有： 成立．依据以
上结论，解决如下问题：如图，在矩形 中，已知 ， ，点 在以
为直径的半圆上运动，则 的最小值为 1 0 ．
【解答】解：设点 为 的中点，点 为 的中点，连接 交半圆于点 ，此时
取最小值．
，四边形 为矩形，
， ，
，
，
．
故答案为：10．
12．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满
足 ，则线段 的最小值为 2 ．【解答】解： ，
，
，
，
点 在以 为直径的 上，
当 、 、 共线时 最小，
在 中， ， ，
，
，
．
最小值为2．
故答案为：2．
13．如图， 是半圆 的直径， ，点 在半圆 上， ， 是弧 上的
一个动点，连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中，
的最小值是 ．
【解答】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ，
，
点在以 为圆心， 为半径的圆上，，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
是直径，
，
， ，
，， ，
在 中， ，
，
故答案为： ．
14．在 中，若 ， ．则 的面积的最大值为 ．
【解答】解：作 的外接圆 ，过 作 于 ，
弦 已确定，
要使 的面积最大，只要 取最大值即可，
如图所示，当 过圆心 时， 最大，
， 过 ，
（垂径定理），，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．如图，等边三角形 的边长为4， 的半径为 ， 为 边上一动点，过点
作 的切线 ，切点为 ，则 的最小值为 3 ．
【解答】解：连接 、 ，作 于 ，如图，
等边三角形 的边长为4，
， ，
， ，
为 的切线，
，在 中， ，
点 是 边上一动点，
当点 运动到 点时， 最小，
即 的最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为：3．
16．如图， 、 是半径为 5 的 的两条弦， ， ， 是直径，
于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小值为
．
【解答】解：连接 ， ，作 垂直 于 ．
根据垂径定理，得到 ， ，
，
，
，
，在直角 中根据勾股定理得到 ，
则 的最小值为 ．
故答案为：
17．如图，已知点 为半圆上一点， 的度数为 ，点 为 上任意一点，
交 于点 ，连接 ，若 ，则 的最小值是 ．
【解答】解：如图， 的度数是 ，
，
，
，
，
点 的运动轨迹是 ，
连接 ， ， ， ， ， ．
是直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
18．如图，在 中，弦 ，点 在 上移动，连接 ，过点 作 交
于点 ，则 的最大值为 ．
【解答】解：连接 ，如图，
，
，
，
当 的值最小时， 的值最大，而 时， 最小，此时 、 两点重合，
，
即 的最大值为 ，
故答案为： ．
19．如图， 是 的弦， ，点 是 上的一个动点，且 ，若点
、 分别是 、 的中点，则 的最大值是 ．
【解答】解： 点 ， 分别是 ， 的中点，
，
当 取得最大值时， 就取得最大值，当 是直径时， 最大，
连接 并延长交 于点 ，连接 ，
是 的直径，
．
， ，
，
，．
故答案为： ．
20．如图，以 为圆心，半径为2的圆与 轴交于 、 两点，与 轴交于 ， 两
点，点 为圆 上一动点， 于 ，当点 在圆 的运动过程中，线段 的长
度的最小值为 ．
【解答】解：作 于 ，连接 ．
，
，
在 中， ， ，
， ，
， ，
，
，
，，
，
， ，
，
点 在以 为直径的 上，
当点 在 的延长线上时， 的长最小，最小值 ．
故答案为： ．
三．解答题（共10小题）
21．在 中，直径 ， 是弦， ，点 在 上，点 在 上，且
．
（1）如图1，当 时，求 的长度；
（2）如图2，当点 在 上移动时，求 长的最大值．
【解答】解：（1）连接 ，如图1，
， ，
，
在 中， ，
，在 中， ， ，
；
（2）连接 ，如图2，
在 中， ，
当 的长最小时， 的长最大，
此时 ，则 ，
长的最大值为 ．
22．如图， 是 的直径，点 、 是 上的点，且 ， 分别与 、
相交于点 、 ．
（1）求证：点 为 的中点；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）若 的半径为5， ，点 是线段 上任意一点，试求出 的最
小值．
【解答】（1） 是 的直径，，
，
，
，
，
即点 为 的中点；
（2）解： ，
，
而 ，
为 的中位线，
，
；
（3）解：作 点关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图，
，
，
此时 的值最小，
，
，
，
点 和点 关于 对称，
，
，
作 于 ，如图，
则 ，
则 ，
在 中， ，
，，
的最小值为 ．
23．已知， 是 的直径， ，点 在 的半径 上运动， ，垂足
为 ， ， 为 的切线，切点为 ．
（1）如图（1），当 点运动到 点时，求 的长；
（2）如图（2），当 点运动到 点时，连接 、 ，求证： ；
（3）如图（3），设 ， ，求 与 的函数关系式及 的最小值．
【解答】（1）解：连接
， ，
由勾股定理得， ；
（2）证明：连接 ， ， 为 的切线，
平分劣弧 ，
，
，
，
；（3）解：设 交 于点 ，延长线交 于点 ，
由相交弦定理，得 ，
， ，
，
由切割线定理，得 ，
， ，
，
，
．
24．如图， 的直径 ，半径 ， 为弧 上一动点（不包括 、 两
点）， ， ，垂足分别为 ． ．
（1）求 的长．
（2）若点 为 的中点，
①求弧 的度数．
②若点 为直径 上一动点，直接写出 的最小值．【解答】解：（1）连接 ，
的直径 ，
圆的半径为 ，
， ， ，
四边形 是矩形，
；
（2）① 点 为 的中点，
，
，
，
弧 的度数为 ；
②延长 交 于 ， 连接 交 于 ，
则 的最小值 ，
，
，
，
的最小值为 ．
25．如图， 、 、 、 是 上的四个点， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，点 是劣弧 上一动点（异于 、 ， 、 是关于 的一元二
次方程 的两根，求 的最大值．【解答】证明：（1）在 上截取 ，如图，
又 ，
是等边三角形，
， ，即 ．
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
（2）由（1）可知 ，
、 是方程的两根，
，
要使 有最大值，则 最大，即 为 的直径，连 并延长交 于点 ，
连接 ，
则 ，
，
，，
的最大值为4．
26．如图，平面直角坐标系 中，矩形 如图放置，点 ， ， 分别为 ，
边上的中点，动点 从点 出发以每秒2个单位速度沿 方向向点 运动，同时，动
点 从点 出发以每秒1个单位速度沿 方向向点 运动．当一个点到达终点时，另一
个点随之停止．连接 、 ，且 与 相交于点 ，连接 ．
（1）求线段 的长度；
（2）过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，求线段 长度的最小值．
【解答】解：（1）设运动时间为 秒．则 ， ．
，四边形 是矩形，
， ，
． ，
，
，
，
． ，
在 中， ， ，
．（2）由题意，点 在以 为直径的 的圆上运动，连接 ， ， ．
， ， ，
，
，
，
，
，
，
的最小值为 ．
27．如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ，以点 为圆心，
为半径作半圆，交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若点 是 的中点， ，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 是 边上的动点，当 取最小值时，直接写出 的
长．【解答】（1）证明：作 于 ，如图，
， 于点 ，
平分 ，
， ，
，
是 的切线；
（2）解： 点 是 的中点，
，
而 ，
， ，
，
图中阴影部分的面积 ；
（3）解：作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 ，如图，
，
，此时 最小，
，
，
而 ，
，
，
，
即 最小值为 ，
在 中， ，
在 中， ，
，即当 取最小值时， 的长为 ．
28．在 中，直径 ， 是弦， ，点 在 上，点 在 上，且
．
（1）如图当 时，求 的长；
（2）当点 在 上移动时，线段 长的最大值为 ；此时， 的度数为
．
【解答】解：（1）解：（1）连接 ，如图1，
， ，
，
在 中， ，，
在 中， ， ，
；
（2）连接 ，如图2，
在 中， ，
当 的长最小时， 的长最大，
此时 ，则 ，
长的最大值为 ，
在 中， ，
则 ，
故答案为： ， ．
29．如图，在 中， ， ， 经过点 ，且圆的直径 在线段
上．
（1）证明： 是 的切线；（2）设点 是线段 上任意一点（不含端点），连接 ，当 时，求
的最小值．
【解答】（1）证明：连接 ，如图1所示：
， ，
， ，
，
即 ， 是 的切线；
（2）解：作 平分 ，交 于 ，连接 、 、 ，如图2所示，
则 ．
，
、 是等边三角形，
，
四边形 是菱形，
根据对称性可得 ．
过点 作 于 ，
，
，
，
．
根据两点之间线段最短可得：
当 、 、 三点共线时， （即 最小，
，此时 ，
即 的最小值为 ．
