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专题 24.2 最值问题
【例题精讲】
【例1】如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边上一动点（点 不
与 ， 重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【例2】如图，已知点 是 上一点，直线 过点 ，点 是 上的另一点，点
是 的中点， ，若点 是 上的一个动点，且 ， 时，
求 的面积的最大值．【题组训练】
一．选择题（共8小题）
1．如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，
且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值
为
A．3 B．4 C．6 D．8
3．如图，点 ， 半径为2， ， ，点 是 上的动点，点 是
的中点，则 的最小值是
A．1.4 B． C． D．2.6
4．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点， 是以点 为圆心，2为半径的
圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最大值是A．3 B． C． D．4
5．如图， 是 的弦，点 是优弧 上的动点 不与 、 重合）， ，
垂足为 ，点 是 的中点．若 的半径是3，则 长的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ，点 为坐标平面内一点， ，点
为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为A． B． C． D．
7．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满
足 ，则线段 长的最小值为
A． B．2 C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中， ， ， 半径为2， 为 上任意一点，
是 的中点，则 的最小值是
A．1 B． C．2 D．
二．填空题（共12小题）
9．如图，在直角坐标系中， A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y
⊙
＝﹣ x+3上的动点，过点P作 A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是
． ⊙10．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 为平面内的动点，且满
足 ， 为直线 上的动点，则线段 长的最小值为 ．
11．在 中，若 为 边的中点，则必有： 成立．依据以
上结论，解决如下问题：如图，在矩形 中，已知 ， ，点 在以
为直径的半圆上运动，则 的最小值为 ．
12．如图， 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满
足 ，则线段 的最小值为 ．13．如图， 是半圆 的直径， ，点 在半圆 上， ， 是弧 上的
一个动点，连接 ，过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中，
的最小值是 ．
14．在 中，若 ， ．则 的面积的最大值为 ．
15．如图，等边三角形 的边长为4， 的半径为 ， 为 边上一动点，过点
作 的切线 ，切点为 ，则 的最小值为 ．
16．如图， 、 是半径为 5 的 的两条弦， ， ， 是直径，
于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小值为
．
17．如图，已知点 为半圆上一点， 的度数为 ，点 为 上任意一点，
交 于点 ，连接 ，若 ，则 的最小值是 ．18．如图，在 中，弦 ，点 在 上移动，连接 ，过点 作 交
于点 ，则 的最大值为 ．
19．如图， 是 的弦， ，点 是 上的一个动点，且 ，若点
、 分别是 、 的中点，则 的最大值是 ．
20．如图，以 为圆心，半径为2的圆与 轴交于 、 两点，与 轴交于 ， 两
点，点 为圆 上一动点， 于 ，当点 在圆 的运动过程中，线段 的长
度的最小值为 ．三．解答题（共10小题）
21．在 中，直径 ， 是弦， ，点 在 上，点 在 上，且
．
（1）如图1，当 时，求 的长度；
（2）如图2，当点 在 上移动时，求 长的最大值．22．如图， 是 的直径，点 、 是 上的点，且 ， 分别与 、
相交于点 、 ．
（1）求证：点 为 的中点；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）若 的半径为5， ，点 是线段 上任意一点，试求出 的最
小值．23．已知， 是 的直径， ，点 在 的半径 上运动， ，垂足
为 ， ， 为 的切线，切点为 ．
（1）如图（1），当 点运动到 点时，求 的长；
（2）如图（2），当 点运动到 点时，连接 、 ，求证： ；
（3）如图（3），设 ， ，求 与 的函数关系式及 的最小值．24．如图， 的直径 ，半径 ， 为弧 上一动点（不包括 、 两
点）， ， ，垂足分别为 ． ．
（1）求 的长．
（2）若点 为 的中点，
①求弧 的度数．
②若点 为直径 上一动点，直接写出 的最小值．25．如图， 、 、 、 是 上的四个点， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，点 是劣弧 上一动点（异于 、 ， 、 是关于 的一元二
次方程 的两根，求 的最大值．26．如图，平面直角坐标系 中，矩形 如图放置，点 ， ， 分别为 ，
边上的中点，动点 从点 出发以每秒2个单位速度沿 方向向点 运动，同时，动
点 从点 出发以每秒1个单位速度沿 方向向点 运动．当一个点到达终点时，另一
个点随之停止．连接 、 ，且 与 相交于点 ，连接 ．
（1）求线段 的长度；
（2）过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，求线段 长度的最小值．27．如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ，以点 为圆心，
为半径作半圆，交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若点 是 的中点， ，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 是 边上的动点，当 取最小值时，直接写出 的
长．28．在 中，直径 ， 是弦， ，点 在 上，点 在 上，且
．
（1）如图当 时，求 的长；
（2）当点 在 上移动时，线段 长的最大值为 ；此时， 的度数为
．29．如图，在 中， ， ， 经过点 ，且圆的直径 在线段
上．
（1）证明： 是 的切线；
（2）设点 是线段 上任意一点（不含端点），连接 ，当 时，求
的最小值．
