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专题 09 二次函数的最值和存在性问题
【思维导图】
◎突破一：线段周长最值
【技巧】二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折
的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值。
线段最值即把线段的两个端点用坐标表示出来，然后根据距离差，列出关于坐标的二次函数的表达式，化
为顶点式，即可求出；在求周长的最值问题时，一般会和将军饮马问题有关，找到对称点，将周长问题转
化为线段最值即可。例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，
0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)y＝ x2﹣ x﹣2；对称轴为x＝
(2)存在，P的坐标为（ ，﹣ ）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得
（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得： 解得： ∴此抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2． ∵抛物线
解析式为y＝ x2﹣ x﹣2＝ ﹣ ∴抛物线的对称轴为x＝ ．
（2）解：存在，理由如下：连接PB由抛物线的对称性得：PA＝PB∴△PAC的周长PA+PC+AC＝
PB+PC+AC，∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，得
，解得： ，即直线BC的解析式为y＝ x﹣2．令x＝ ，则有y＝ ﹣2＝﹣ ，即
点P的坐标为（ ，﹣ ）．∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标
为（ ，﹣ ）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
专训1．（2021·安徽宣城·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B
（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）作点 关于对称轴 对称的点 ，连接 ，先根据二次函数的解析式求出点 的坐标，从而可得点
的坐标，再根据二次函数的对称性可得 ，然后根据两点之间线段最短可得当点 共线时，
周长最小，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
解：（1）将点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的函数关系式为 ；
（2）二次函数 的对称轴为直线 ，
当 时， ，即 ，
，
如图，作点 关于对称轴 对称的点 ，连接 ，则 ， ，周长为 ，
当 取得最小值时， 周长最小，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 最小，最小值为 ，
由两点之间的距离公式得： ，
则 周长的最小值为 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性
质是解题关键．
专训2．（2021··九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与
y轴交于点C．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）P点坐标为（2，－1）
【解析】
【分析】
（1）设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A、B的坐
标，进而抛物线解析式可求；
（2）连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，则有PA＋PC＝PB＋PC＝BC，所以此时PA＋PC最小，然后求出直线BC的解析式，进而问题可求．
【详解】
解：（1）设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
，
∴ ，
把点A的坐标（1，0）代入 得 ，
所以抛物线的解析式为 ；
（2）解：连接BC，交直线x＝2于点P，则PA＝PB，如图所示：
∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC，∴此时PA＋PC最小，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
把C（0，－3），B（3，0）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝x－3，当x＝2时，y＝x－3＝2－3＝－1，
∴P点坐标为（2，－1）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
专训3．（2022·湖南常德·九年级期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于
C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断 ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M△是抛物线对称轴上的一个动点，当 ACM的周长最小时，求点M的坐标．
△
【答案】（1）顶点D的坐标为（﹣ ， ）；（2） ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣ ，
△
）
【解析】
【分析】
(1)将点A的坐标代入函数解析式求出b的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标；
(2)根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标，然后分别求出AC、BC和AB的长度，然后根据勾
股定理的逆定理得出答案；
(3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，则BC与对称轴的交点就是点M，根据一次函数的
交点求法得出点M的坐标．
【详解】
解：(1)∵点A（1，0）在抛物线 上，
∴ +b+2=0，解得， ，
抛物线的解析式为 ，
则顶点D的坐标为 ；
(2) ABC是直角三角形，
证明△：点C的坐标为（0，2），即OC=2，当 ，
解得，x=﹣4，x=1，
1 2
则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4，
∴AB=5，
由勾股定理得，AC= ，BC= ，
AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，
连接BC交对称轴于M，此时 ACM的周长最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+△b，
由题意得， ， 解得， ，
则直线BC的解析式为： ，
当x= 时， ，
∴当M的坐标为 ．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数的交点坐标，属于中等难度的题型．待定系数法求函数解
析式是解决这个问题的关键．
◎突破二：面积最值问题
【技巧】一般会出现三角形的面积最值，利用“水平宽，铅垂高”，将面积最值转化为线段最值。有时候会
出现四边形的最值，只需将四边形分割为规则的图形即可，一般分为两个三角形，一个是定值，一个是最
值，只需求出最值即可。例．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知抛物线 经过点 和点 ．解答下
列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为 ，对称抽与 轴的交点为 ，求线段 的长；
(3)点 在抛物线上运动，是否存在点 使 的面积等于6？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 的坐标为： 或 或 或
【解析】
【分析】
（1）抛物线 经过点 ， ，根据待定系数法即可求解；
（2）先把抛物线解析式配方成顶点式得对称轴为直线 和点 ，再由对称性求得 ，即
可求得 的长；
（3）设点 ，由 ，解得： ，即可求解．
(1)
解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式是 ．
(2)
∵ ，
∴抛物线的对称轴为： ，顶点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
(3)
存在，理由如下：
设 ，则点 的纵坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的面积等于6，
∴ ，
∴ ，①当 时，解得 ， ；
②当 时，解得 ， ．
∴存在点 使 的面积等于6．点 的坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，解—元二次方程，其中第（3）问要注意分类求解，
避免遗漏．
专训1．（2022·宁夏吴忠·九年级期中）已知△AOB 的三边OA= ，OB=6，AB= ，以顶点O为原点，
OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴
正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，
点P停止运动．
(1)求点A的坐标，并确定t的取值范围；
(2)求MN的长度(用含t的代数式表示)；
(3)设△AMN的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求S的最值．
【答案】(1)A(4，4) ，
(2)MN=6-
(3)S= ( )，S =12； S =0
最大 最小
【解析】
【分析】
（1）过点A作AC OB，交OB于点C，交MN于点D ，设OC=x，则BC=6- x，由勾股定理可得
，从而得到x=4．进而得到AC=4．即可求解；
（2）根据題意可得OP=t ，则CD= t ，再由△AMN ∽ △AOB．即可求解；（3）根据S= MN×AD ，可得到S关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
(1)
解：过点A作AC OB，交OB于点C，交MN于点D ，
设OC=x，则BC=6- x，
∵ ，
∴ ，
∴ ( )2 -x2=( )2 -(6-x)2
解得：x=4．
∴ AC= =4．
∴ A(4，4) ，
∴ ．
(2)
解：根据題意得OP=t ，则CD= t ，
∴AD=4-t
∵MN∥OB，
∴△AMN ∽ △AOB．
∴ ，
∴ ，
∴ MN=6 ；
(3)
解：S= MN×AD = (6 )(4-t)= = ，∵ 二次函数图象的对称轴是直线t=4，开口向上，
∴ S随着t 的增大而減小．
∴ 当t=0时，S有最大值，S =12；
最大
当t=4时，S有最小值，S =0．
最小
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握勾股定理，相似三
角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键．
专训2．（2022·广西钦州·九年级期末）已知抛物线 的顶点为 ，与y轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意设函数顶点式，将点（2，-1），（0，3）代入，化成一般式即可；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DP的长，根据三角形的面
积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
(1)
解：设抛物线解析式为 ，
∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴ ．∵点 在抛物线上，
∴ ．
解得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
(2)
解：如图，作PD垂直于x轴交BC于点D．
∵抛物线的解析式为 ，
∴点B的坐标为 ，则OB＝3．
∵点 ，
∴可求得直线BC的解析式为 ．
设 ， ，则 ， ．
，
整理得 ．
∵ ，
∴当 时， 有最大值，则P点坐标为 ．
【点睛】
本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，解（2）的关键是平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出DP的长．
专训3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知抛物线 与一直线相交于 ，
两点，与y轴交于点N．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求直线AC的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求 面积的最大值．
【答案】(1)y＝−x2−2x＋3
(2)y＝−x＋1
(3)
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法确定直线解析式；
（3）根据（2）的结论，设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），过点 作 轴，交 于点 ，
根据三角形面积公式求解即可．
(1)
解：由抛物线y＝−x2＋bx＋c过点A（1，0），C（−2，3），得
，
解得 ，
故抛物线为y＝−x2−2x＋3；(2)
设直线为y＝kx＋n过点A（1，0），C（−2，3），则
，
解得 ，
故直线AC为y＝−x＋1；
(3)
如图，过点 作 轴，交 于点 ，
∵直线AC为y＝−x＋1；
设Q（x，−x＋1），则P（x，−x2−2x＋3），
∴PQ＝（−x2−2x＋3）−（−x＋1）＝−x2−x＋2，
∴S APC＝
△
＝
＝ ，
∴△APC面积的最大值为
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代
数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．◎突破三：直角三角形的存在性问题
【技巧】明确哪几个点构成的直角三角形，先利用两点间的距离公式（可由勾股定理推导）把三角形的三
边的平方表示出来，然后利用勾股定理求出即可；但是此方法有个弊端就是会有高次方出现，不易求解。
另外一种方法就是利用两直线的垂直关系，直线的解析式k值乘积为-1，可求出。
例．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a≠0）的图象与x
轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5）， ，
【解析】【分析】
（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入 ，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为： ，直线AB平移后的关系式为： ，当其与抛物线只
有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为： ，将A
（-4,0）代入 得，解得： ，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设
PB所在直线解析式为： ，将B（0，-4）代入 得， ，此时P点坐标为：（-1,-
5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为： ，由于PA所在直线斜率为： ，PB在直线斜率为：
， =-1，则此时P点坐标为： ， ．
(1)
解：将B（0，-4），C（2，0）代入 ，
得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数解析式为： ．
(2)
向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时
△ABD的面积最大，
∵ 时， ， ，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为： ，将A（-4,0），B（0，-4），代入 ，
得： ，
解得： ，
∴直线AB关系式为： ，
设直线AB平移后的关系式为： ，
则方程 有两个相等的实数根，
即 有两个相等的实数根，
∴ ，
即 的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得， ，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
(3)
①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为： ，
将A（-4,0）代入 得， ，
解得： ，
∴PA所在直线解析式为： ，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为： ，
将B（0，-4）代入 得， ，∴PA所在直线解析式为： ，
∴当x=-1时， ，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为： ，
∴PA所在直线斜率为： ，PB在直线斜率为： ，
∵PA⊥PB，
∴ =-1，
解得： ， ，
∴P点坐标为： ，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5）， ， 时，△PAB为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
专训1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图，二次函数 的图象经过点A（ 1，
0），B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)第一象限内的二次函数 图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当
S PCD=3时，求出点P的坐标；
(3△)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的 ，若存在，求出点M的坐
标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)P（ ， ），P（2，3）
1 2
(3)存在点M其坐标为 或
【解析】
【分析】
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）连接OP，设 ，分别求出 ， ， 的面积，然后用
可以表示出三角形的面积，计算求解即可；
（3）分别以 ， 讨论，两种情况均可以构造一线三垂直模型得到相似三角形进行
计算即可．
(1)
解：由题意，将A（ 1，0），B（3，0）代入得： ，解得 ，
抛物线表达式为： ；
(2)
（2）如图1，连接OP，设 ，
∵C在y轴上，
∴ ，
∴ ，
，
= = ，
，当 时，即 ．解得 ， ．
∴当 时， ；
当 时， ，
∴P（ ， ），P（2，3）
1 2
(3)
存在．
设 ，如图2，当∠MCD=90°时，过点M做MN⊥ 轴于点N，则∠MNC=∠COD=90°，
∵∠MCN=∠CDO，
∴△MNC∽△COD，
∴ ，
即 ，解得 （舍），
∴ ．
如图3，当∠MDC=90°时，过点M做MN⊥ 轴于点N，则∠MND=∠COD=90°，
∵∠MDN=∠DCO，
∴△MND∽△DOC，
∴ ，即 ，解得 ，
．
综上所述，存在点M其坐标为：点 或 ．【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、直角三角形的存在性和相似三角形，熟练
掌握待定系数法和数形结合思想的灵活运用是解题的关键．
专训2．（2021·福建·上杭县第三中学九年级期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为
x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)若点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，请直接写出使△PCB为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为y=x2-2x-3；
(2)存在，D（ ，- ）；
(3)点P的坐标为（1，2）或（1，-4）或（1， ）或（1， ）．
【解析】
【分析】
（1）把A与B两点坐标代入抛物线解析式得到两个方程，由对称轴公式列出方程，联立求出a，b，c的值，
即可确定出解析式；
（2）过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，由B、C两点可求得直线BC解析式，可设出点D坐标，则可
表示出E点坐标，则可表示出DE的长，可表示出△BDC的面积，根据二次函数的性质可求得其最大值时
的D点的坐标；（3）设P（1，n），先用含n的式子表示出BC2，PB2，PC2，再分三种情况：①若点B为直角顶点，则
BC2+PB2=PC2，②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，分别求
得n的值，从而可得点P的坐标．
(1)
解：由题意得： ，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
则抛物线解析式为y=x2-2x-3；
(2)
解：令y=0，则x2-2x-3=0，
解得：x=3或-1，
∴B（3，0），
如图，过D作y轴的平行线交BC于E，
设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为t2-2t-3，
设直线BC解析式为y=kx+m，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=x-3，
∴E点的坐标为（t，t-3），∵在第四象限的抛物线上，
∴DE= t-3-（t2-2t-3）=-t2+3t，
∴S DBC= ×（-t2+3t）×3=- （t- ）2+ ，
△
∵- ＜0，
∴当t= 时，△DAC面积最大，
∴D（ ，- ）；
(3)
解：如图，设P（1，n），
又∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC2=18，
PB2=（1-3）2+n2=4+n2，
PC2=12+（n+3）2=n2+6n+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，
即18+4+n2=n2+6n+10，
解得n=2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2，
即18+n2+6n+10=4+n2，
解得n=-4；
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，
即4+n2+n2+6n+10=18，
解得t= 或t= ．综上所述，点P的坐标为（1，2）或（1，-4）或（1， ）或（1， ）．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，勾股定理，数形结合、分
类讨论并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
专训3．（2022·四川绵阳·二模）将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到
抛物线 ．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知 ，点P是抛物线
H上的一个动点．
(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图1，点P在线段 上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作 ，垂足为D，
交 于点E．作 ，垂足为F，求 的面积的最大值；
(3)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形
是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点 ， ， ，
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线 ，根据点 的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据题意求得直线 的解析式为 ，设 ，则 ，进而根据二次函
数的性质求得 的最大值，进而根据 即可求解；
（3）设 ， ， ，则 ， ， ，分①当
时， ，即 ，②当 时， ，即
，③当 时， 即 ，解方程求解
即可．
(1)
解：由题意得抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线 ，
将 代入，得： ，解得： ，
∴抛物线H的表达式为 ；
(2)
如图1，由（1）知： ，令 ，得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∵ ，∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴PD//OC，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ；
(3)
∵ ．∴设 ， ，
∴ ， ，
①当 时，
即 ，
解得
∴ ，
②当 时， ，即
解得 ，即
③当 时， 即
解得 ，即
综上所述：在抛物线的对称轴上存在点 ， ， ， ，使
以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键．
◎突破四：等腰三角形的存在性问题
【技巧】等腰三角形的存在性先利用圆规把满足条件的点求出来，再求坐标，以免漏掉。一般是画圆和作
中垂线。
例．（2022·江西上饶·九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A（1，0），
C（0，5）两点，与x轴的另一交点为B．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N；
①当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
②如图2，连接BM，当△BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①线段MN的长度最大时，当M的坐标为 ，线段MN的长度最大为 ；②（ ， ）或（1，0）或（2，-3）
【解析】
【分析】
（1）把A，C代入抛物线，求得b，c即可；
（2）①先求出BC的解析式，再设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），表示出MN的长，再配方
即可；
②设出M，N的坐标，再表示出MN和BN，再分三种情况：MN＝BN或MN＝BM或BM＝BN，分别计算
即可．
(1)
解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），C（0，5）两点，
∴c＝5，1+b+5＝0，
解得b＝﹣6，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
(2)
解：（2）①令y＝0，即x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1，x＝5，
1 2
∴B（5，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），
∴MN＝（﹣m+5）﹣（m2﹣6m+5），
∴ ，
∴当 时，MN的最大值为 ，此时M的坐标为（ ）即 ，
∴线段MN的长度最大时，当M的坐标为 ，线段MN的长度最大为 ；
②∵点M在抛物线y＝x2﹣6x+5上，点N在直线y＝﹣x+5上，
设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m2+5m，BN ，
∵OB＝OC，∴∠MNB＝∠OCB＝45°，
i．当MN＝BN时，﹣m2+5m ，
解得：m ，m＝5（舍去），
∴M（ ， ），
ii．当BM＝MN时，则∠NBM＝∠MNB＝45°，
∴∠NMB＝90°，则m2﹣6m+5＝0，
解得m＝1或m＝5（舍去），
∴M（1，0），
iii．当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，
∴∠NBM＝90°，
∴﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m+5，
解得m＝2或m＝5（舍），
∴M（2，﹣3），
当△BMN是等腰三角形时，点M的坐标为（ ， ）或（1，0）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，解
一元二次方程，第三问注意分类讨论是解决此题的关键．
专训1．（2022·广西·中考真题）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标
原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在， 或
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的表达式为 ，将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，直接利
用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的性质可得 ，即可证明 ，根据全等三角形的性
质即可求证；
（3）分别讨论：当点M在线段BD的延长线上时，当点M在线段BD上时，依次用代数法和几何法求解即
可．
(1)
设抛物线的表达式为 ，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得 ，解得 ，
抛物线的表达式为 ；
(2)
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
(3)
存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时 ，，
设 ，
设直线OM的解析式为 ，
，
解得 ，
直线OM的解析式为 ，
设直线BC的解析式为 ，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得 ，
解得 ，
直线BC的解析式为 ，
令 ，解得 ，则 ，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得 或 或 ，
点M为射线BD上一动点，，
，
，
当 时，解得 或 ，
，
．
当点M在线段BD上时，此时， ，
，
，
，
由（2）得 ，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；综上，ME的长为 或 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，
解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键．
专训2．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期末）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）
相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点，且抛物线与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3
(2)P（1，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标,由题意可知P点纵坐标为﹣
2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
(1)
解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得：
，
解得 ，
∴y＝2x2﹣x﹣3；
(2)把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：
，
解得 ，
∴y＝﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1）．
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P是CD垂直平分线与抛物线y＝2x2﹣x﹣3的交点,
由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
∴ ，
解得：x＝1或- ，
∵点P在第四象限，即x＞0 ，
∴x＝1．
∴P（1，﹣2）．
【点睛】
此题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、等腰三角形的性质、
解一元二次方程等知识，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点
P纵坐标带入抛物线解析式求点P的横坐标是解答的关键．
专训3．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：y＝ax2＋bx
1
﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C ：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C 交于点N，与抛
2 1
物线C 交于点M．
2(1)求抛物线C 的表达式；
1
(2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）；
(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)y＝2x2+3x﹣1
(2)t2+2
(3)t＝0
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）把x=t分别代入两函数解析式，则可求得M、N的坐标，即可由MN=yM-yN求解；
（3）①当∠ＢNM＝90°，BN＝NM时；②当∠BMN＝90°，BN＝NM时；分别求解即可．
(1)
解：将点A(﹣1,﹣2)、B（(﹣2,1)代入抛物线C 表达式得：
1
，解得： ，
故抛物线C 的表达式为：y＝2x2+3x﹣1；
1
(2)
解：把x=t代入y＝2x2+3x﹣1，得：y=2t2+3t﹣1，
∴点N的坐标为（t，2t2+3t﹣1），
把x=t代入y＝3x2＋3x＋1，得：y=3t2+3t+1
∴点M的坐标为：（t，3t2+3t+1），
则MN＝（3t2+3t+1）﹣（2t2+3t﹣1）＝t2+2；
(3)
解：①当∠ＢNM＝90°时，如图1，则BN x轴,
∵B（-2，1），
∴2t2+3t﹣1=1，解得：t= -2或 ，
当BN＝NM时：
∵BN＝t﹣（﹣2）＝t+2，NM＝t2+2，
∴t＋2＝t2+2，
解得：t＝0或t=1，
∴同时满足两个条件时t无解
②当∠BMN＝90°时，如图2，
∴3t2+3t+1=1，解得：t=0或-1，
当BM＝MN时，
∵BM＝t+2，NM＝t2+2，
∴t+2＝t2+2，
解得：t＝0或t＝1，
∴同时满足两个条件时t=0
所以当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时t＝0
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，
避免遗漏．
◎突破五：（特殊）平行四边形的存在性问题例．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期末）如图，抛物线 与x轴交于A（1，
0），B（ ，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形，求出点M的坐标；
(3)设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段
BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)M（−1，0）或（−1，6）
(3)存在，P点坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ，3）
【解析】
【分析】
（1）将A（1，0），B（-3，0）代入y=-x2+bx+c，即可求解；
（2）设M（-1，m），由题意可知CM=CA，则1+（m-3）2=1+9，即可求解；
（3）求出D（-1，4），E（-1，2），设P（t，-t2-2t+3），Q（t，t+3），分三种情况讨论：①当DE为平
行四边形的对角线时；②当DP为平行四边形的对角线时；③当DQ为平行四边形的对角线时；利用平行
四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式即可求解．（1）解：将A（1，0），B（−3，0）代入 ，∴ ，解得： ．，∴
；
（2）解：∵ ，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，令x=0，则y=3，∴C（0，
3），设M（−1，m），∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM=CA，∴1+（m−3）2=1+9，解得m=0
或m=6，∴M（−1，0）或（−1，6）；
（3）解：存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）知D（-1，
4），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴ ，解得 ，∴y=x+3，∴E（-1，2），设P（t，-t2-
2t+3），Q（t，t+3），当DE为平行四边形的对角线时， ，∴t=-1，∴P（-1，4）
（舍）；②当DP为平行四边形的对角线时，4-t2-2t+3=2+t+3，解得t= ，∴P（ ，
）或（ ， ）；③当DQ为平行四边形的对角线时，4+t+3=2-t2-2t+3，解得t=-1（舍）或
t=-2，∴P（-2，3）；综上所述：P点坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ，
3）．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题
的关键．
专训1．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）如图，已知二次函数 为常数 的图象经过点 ，点 ，顶点为点 ，过点 作 ∥ 轴，交 轴于点 ，交二次函数
的图象于点 ，连接 ．
(1)求该二次函数的表达式及点 的坐标；
(2)若将该二次函数图象向上平移 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 的内部
不包括 的边界 ，求 的取值范围；
(3)若 为线段 上一点，且 ： ： ， 为直线 上一点，在抛物线上是否存在一点 ，使以
、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在， 点坐标为 或 或 或
【解析】
【分析】
（1）将点 ，点 代入 ，即可求解；
（2）平移后的顶点坐标为 ，求出直线 的解析式，由题意可知 ，求出 的取值
即可；（3）设 ， ，根据对角线分三种情况求解即可．
（1）解：将点 ，点 代入 ， ，解得 ，
， ；
（2）解∶ 平移后的函数解析式为 ， 平移后的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点
在 的直线上，设直线 的解析式为 ， ， ， ，当 时，
， ，解得 ；
（3）解∶ 存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当 时，
，解得 或 ， ， ， ： ： ， ， ，
设 ， ， 当 为平行四边形的对角线时， ，解得
或 ， 或 ； 当 为平行四边形的对角线时， ，解得 或 ， 或
； 当 为平行四边形的对角线时， ，此时无解；综上所
述： 点坐标为 或 或 或
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题
的关键．
专训2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，抛物线 与X轴交于A，B两点（点A在点
B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．
(1)求直线BC的函数表达式；
(2)连接OD，CD，求 周长的最小值；
(3)在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，
请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 或
【解析】【分析】
（1）先求出点 ，点 坐标，用待定系数法可求解析式；
（2）由 周长＝ ，可得 有最小值时， 周长的存在最小值，作点 关于对
称轴 ＝ 的对称点 ，当点 ，点 ，点 共线时， 的值最小，最小值为 的长，即
可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
（1）解：当 ＝ 时， ＝ ，则点 ，当 ＝ 时， ，∴ ＝ ， ＝ ，∴点
，点 ，设直线 解析式为： ＝ ，．∴ ∴ ∴直线 解析式为：
；
（2）解：∵ ，∴对称轴为 ＝ ，∵ 周长＝ ＝
，∴ 有最小值时， 周长的存在最小值，作点 关于对称轴 ＝ 的对称点
，∴ ＝ ，∴当点 ，点 ，点 共线时， 的值最小，最小值为 ，
∵ ∴ 周长的最小值为 ；
（3）解：∵以 、 、 、 为顶点的四边形是以 为边的平行四边形，∴ ＝ ，或
＝ ，∴ ＝ ，或 ＝ ∴ ＝ 或 ，∴点 或 ．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，函数图像上点的坐标特征，轴对称的性质，平行四
边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
专训3．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）已知抛物线 过点C（4，0），顶点为
D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯
形，求点M的坐标（直接写出答案）．
【答案】(1)y＝﹣ x2+3x；
(2)（0，4）；
(3)（2，1）或（2，﹣1）．
【解析】
【分析】
（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝
2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线
BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标；
（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DM BC AO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形
BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，
再证明四边形BCMD是等腰梯形．
(1)
解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），
∴16a+12＝0，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+3x；
(2)
解：∵y＝﹣ x2+3x＝﹣ （x2﹣4x）＝﹣ （x﹣2）2+3，
∴顶点D的坐标为（2，3）．∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，
∴B（4，2）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，
得 ，
解得 ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（0，4）；
(3)
解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是
等腰梯形．理由如下：
设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．
分两种情况：
①如图1所示，
∵DM BC，
∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝BC，
∴3﹣y＝2，解得y＝1，∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，
此时，∵OM＝ ，AD＝ ，
∴OM＝AD，
又∵AO DM，AO≠DM，
∴四边形AOMD是等腰梯形；
②如图2所示，
∵DM AO，
∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM＝AO，
∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，
∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形，
此时，∵CM＝ ，BD＝ ，
∴CM＝BD，
又∵BC DM，BC≠DM，
∴四边形BCMD是等腰梯形．
综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另
一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及
分类讨论是解题的关键．
◎突破六：相似三角形的存在性问题
例．（2020·山东烟台·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x－2与x轴交于点A，与y轴
交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x= 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与 ABC相似？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，M(0，－2)，M(－2，3)，M(－5，18)，M(3，－2)
1 2 3 4
【解析】
【分析】
（1）先求出点C（0，－2），A（4，0）．再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先证得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ．然后分三种情况讨论：当M点与C点重合；当
点M在第二象限时；当点M在第四象限时，即可求解．
（1）解：对于y= x－2，当x=0时，y=-2，当y=0时，x=4∴C（0，－2），A（4，0）．∵对称轴是x=，∴ ．∴ ，解得 ，∴ ．
（2）解：∵对称轴是x= ，A（4，0），B（－1，0），∴AB2=52=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5．
∵AB2 =AC2 +BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ，当M点与C点重合，即M（0，－
2）时，△MAN∽△BAC；设M（n， ），则N（n，0）．当点M在第二象限时， MN=
，AN=4－n．当 时，MN= AN，即 = （4－n），整理得n2－2n－8=0，
解得n=4（舍去），n=－2，∴M（－2，3）；当 时，MN=2AN，即 =2（4－n），整
1 2
理得n2+n－20=0，解得n=4（舍去），n=－5，∴M（－5，18）；当点M在第四象限时，当 时，
1 2
MN=2AN，即 =2（4－n），整理得n2－7n+12=0，解得n=4（舍去），n=3；∴M（3，－
1 2
2）；综上所述：存在M（0，－2），M（－2，3），M（－5，18），M（3，－2），使得以点A、M、
1 2 3 4
N为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
专训1．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点
C(0，3)，顶点D的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上
是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，
请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-
12）或
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的
长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由
此可得出点M的坐标．
（1）解：∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵A（-1，0），∴B（3，0），设抛物
线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，∴抛物线
的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示， ∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠APC=∠ABC=45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，
3），∵A（-1，0），∴ ，∴ ，∴△ADE是直角三角形，且
∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，∵点M在直线l下方的抛物线上， 设
，则t＞2或t＜0，∵MF⊥l，∴点F（t，3），∴ ，
，∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，∴或 ，∴ 或 ，解得
t=2（舍去） 或t=3或t=-3或 （舍去）或 ，∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或 ，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或
（-3，-12）或 ．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与
判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出
AD∶AE的值是解题关键．
专训2．（2022·广东茂名·九年级期末）如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A
（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设M为该抛物线上直线BC下方一点，过点M作x轴的垂线，交线段BC于点N，线段MN是否存在最
大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接
PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)线段MN存在最大值，最大值为(3)点P的横坐标为5或2或 或
【解析】
【分析】
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将点C(0,−2)代入即可求得解析式；
(2)求出直线BC的解析式为 ，设 ，则 ，可得
，据此即可解答；
(3)设 ，则 ，EQ=n−1，分两种情况：①△COE∽△PQE；
②△COE∽△EQP，分别根据相似三角形的性质即可分别求得．
(1)
解：∵该抛物线的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
将点C(0，-2)代入，得：-3a=-2，
解得 ，
∴抛物线解析式为： ；
(2)
解：线段MN存在最大值；
理由如下
∵
∴E(1，0)，
设BC的直线解析式为y=kx+b，
∴∴
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
，
当 时，线段MN存在最大值，最大值为 ；
(3)
解：∵C(0，-2)，E(1，0)，
∴OC=2，OE=1，
设 ，则 ，EQ=n-1，
(1)若 ，则 ，
即 ，
解得n=0(舍去)或n=5或n=2或n=-3(舍去)，
此时点P的横坐标为5或2；
(2)若 ，则 ，即 ，
解得 或 ，
∵n>1∴此时点P的横坐标为 或 ；
综上所述，点P的横坐标为5或2或 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论是
解题的关键．
专训3．（2022·山东德州·二模）如图，抛物线经过 ， ， 三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为
顶点的三角形与 OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
△
(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得 ，直接写出点D坐
标．
【答案】(1)
(2)存在，（2，1）
(3)点 的坐标为（3，1）
【解析】
【分析】
（1）把A、B、C坐标代入解析式即可确定出解析式；
（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 OAC相似，首先根据点P的位置求得点m的取值范
围，然后由相似三角形的两种情况进行分类讨论； △
（3）过D作y轴的平行线交AC于E．利用待定系数法求得直线 的解析式为 ．再利用三角形面积公式列式求解即可．
(1)
解：∵该抛物线过点A（4，0），B（1，0），C（0，-2），
∴将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入解析式，
得 ，
解得 ，
∴此抛物线的解析式为 ；
(2)
解：存在．
如图，设 点的横坐标为 ，
∵ 是抛物线 段上一动点，
∴ ，
则 点的纵坐标为 ，
当 时， ， ．
又∵ ，
∴①当 时， ，即 ．
解得 ， （舍去），
∴P（2，1）；
②当 时， ，
即 ．
解得 ， （均不合题意，舍去）
∴当 时，P（2，1）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）；
(3)
解：如图，设 点的横坐标为 ，则 点的纵坐标为 ．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC解析式为 ，
将A与C坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．∴ 点的坐标为 ．
∴ ，
∴ ，
∴
又
∵
∴
解得， ，
当 时，点 与点 重合，不符合题意，
当t=3时，y=1，
∴点 的坐标为（3，1）．
【点睛】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三
角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
◎突破七：等腰直角三角形例．（2022·广东深圳·二模）如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点
C，点D是抛物线上位于直线 上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 ， ，若 ，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线 平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴
上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 点坐标为
(3) ， ，
【解析】
【分析】
（1）抛物线 交x轴于 ， 两点，设抛物线的解析式为 ，由
，即可得到抛物线的解析式；
（2）求出点C坐标为（0，3），BC＝AB＝5，得到 ，设点D的坐标是
，得到 ，求得x即可得到点D的坐标；
（3）先求出直线AD的解析式，得到 ，然后分三种情况求解即可．(1)
解：设抛物线的解析式为 ，
由题意得
∴ ＝
∴抛物线的解析式为
(2)
解：当 x＝0时， ，
∵抛物线交y轴于点C，
∴点C坐标为（0，3）
∴ OC＝3，
∵ 点B的坐标为（4，0）
∴ OB＝4
∴BC＝
∴BC＝AB＝5
∴
∵
∴
∴
设点D的坐标是
如图1，作 轴于点E，则BE＝4－x，
∴
解得
点坐标为(3)
解：设直线AD的解析式为 ，把点A、D的坐标得
解得
∴直线 的解析式为 ，
∵
∴
①如图2，
若 ，则 ，∴
即
②如图3，
若 ，则 ，
∴
∴
即
③如图4，
若 ，则 ，
作 于点Q，则∴
∴
即
综上所述， ， ， 时， 是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，正确画
出图形，进行分类讨论是解题的关键．
专训1．（2022·四川·岳池县教研室二模）如图，已知抛物线与x轴交于 ，B两点，顶点为 ，
E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形 为正方形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，求正方形 的面积；
(3)如图2，连接 ，与 交于点M，与y轴交于点N，若P为抛物线上一点，Q为直线 上一点，且
P，Q两点均位于直线 下方，当 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．
【答案】(1)该抛物线的解析式为
(2)正方形 的面积是32
(3)点P的坐标为
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）如图1，过点F作 ，垂足为R．设 ，则 ，
， ，则 ，再列方程求解即可；
（3）先求解 ， ， ，再求解直线 的解析式为 ，设 ．如图2，
过点P，Q分别作 的垂线，垂足分别为T，G．证明 ，可得 ．利用
点P在抛物线上，列方程，再解方程即可.
(1)
解： 抛物线的顶点为 ，
设该抛物线的解析式为 ，
将 代入，解得 ，
该抛物线的解析式为 ，即 ．
(2)
如图1，过点F作 ，垂足为R．
设 ，
则 ，
， ．
四边形 是正方形，，
，
解得 （舍去）或 ，
， ，
，
正方形 的面积是32．
(3)
解：令
解得：
，
轴，
， ，
设直线 为
解得
则直线 的解析式为 ．
设 ．
如图2，过点P，Q分别作 的垂线，垂足分别为T，G．
是等腰直角三角形，
， ，
．
又 ， ，
，， ，
．
点P在抛物线上，
，
解得 ， ．
，
，
点P的坐标为 ．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一元二次方程的解法，
利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的运用等腰直角三角形与正方形的性质建
立方程是解本题的关键.
专训2．（2022·贵州毕节·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x轴分
别交于A、B两点，且点A在点B的左侧．
(1)求出点A、B的坐标．
(2)记抛物线的顶点为C，连接AC，BC，当△ABC为等腰直角三角形时，在抛物线上是否存在一点D，使
得 ？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为
(2)存在，点D的坐标为 ，
【解析】
【分析】
（1）将抛物线解析式化成两点式即可得出答案；
（2）根据 ABC为等腰直角三角形易求出点C的坐标，然后可求出二次函数解析式，再由 可
△
得 ，设出点D的坐标，根据 列方程求解即可．(1)
解：∵ ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)
解：存在，点D的坐标为 ， ；
如图，根据（1）可知 ，且C为抛物线的顶点，过点C作 ，则AH＝HB＝1，
∵当 ABC为等腰直角三角形时， ，
△
∴点H的坐标为 ，
∴ ，故点C的坐标为 ，
将点 代入 中，得 ，
∴抛物线表达式为 ．
当 时，则有 ，
设点D的坐标为 ，
过点D作x轴的垂线，则有 ，
当 时，此方程无解；
当 时，解得 ， ．
∴点D的坐标为 ， ．【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角函数的
应用，解一元二次方程等知识，灵活运用各性质是解题的关键．
专训3．（2022·四川·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于
点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．
(1)求B，C，D三点坐标；
(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；
(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．
【答案】(1) 、 、 ；
(2) ；
(3) ．
【解析】
【分析】
（1）对于 ，令 ，解得x=3或-1，令x=0，则y=3，故点A、B、C的坐标分别为(-1，0)、(3，0)、(0，3),，函数的对称轴为x=1，当x=1时， =4，即可求解；
（2） DEF是等腰直角三角形，EF∥x轴轴，则根据函数的对称性，只有∠EDF为直角一种情况，即
HF=D△H，即可求解；
（3）由 PBC面积 ，即可求解．
△
(1)
解：对于 ，令 =0，解得x=3或-1，令x=0，则y=3，
故点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，
函数的对称轴为 ，当 时， ，
故点 的坐标为 ，
故 ， ， 三点坐标分别为 、 、 ；
(2)
是等腰直角三角形， 轴，
则根据函数的对称性，只有 为直角一种情况，
设点 ，点 和点 关于函数对称轴对称，故点 ，
过点 作 与点 ，
是等腰直角三角形，故 为等腰直角三角形，
故 ，即 ，
则 ，解得 （舍去）或0，故 ，
则 ；
(3)
过点 作 轴交 于点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为 ，
设点 的坐标为 ，则点 ，
则 面积 ，
，故 面积存在最大值，此时 ，
故点 ．
【点睛】
本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会
利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之
间的关系．
