文档内容
专题 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
目录
点和圆的位置关系....................................................................................................................................1
取值范围......................................................................................................................................................2
最值问题......................................................................................................................................................3
直线和圆的位置关系...............................................................................................................................4
取值范围......................................................................................................................................................5
切线求角度..................................................................................................................................................5
切线求长度..................................................................................................................................................7
切线的判定..................................................................................................................................................8
切线长定理..................................................................................................................................................9
三角形的内切圆......................................................................................................................................10
证明综合....................................................................................................................................................11
点和圆的位置关系
① 点在圆内 点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上 点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外 点到圆心的距离大于半径
【例1】已知 O的半径为5，OA＝4，则点A在（ ）
A． O内⊙ B． O上 C． O外 D．无法确定
【变式训⊙练1】已知 O的半径⊙为3，平面内有一点到⊙圆心O的距离为5，则此点可能在（
） ⊙
A． O内 B． O外
C．⊙O上 D．⊙以上都有可能
【变式⊙训练2】已知，点A为 O所在平面上一点，且点A到 O上所有点的距离中，最长
为5，最短为1，则 O的半径⊙为（ ） ⊙
A．2 ⊙ B．2.5 C．3 D．2或3
【变式训练3】已知 O的半径为5，点A在 O外，则OA长度可能是（ ）
A．2.5 ⊙ B．4 ⊙ C．5 D．7
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作 D，则
下列各点在 D外的是（ ） ⊙
⊙A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式训练1】如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，点P为
AD上的点，DP＝2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在 P外 B．点B在 P外 C．点C在 P外 D．点D在 P内
【变式训练2】
⊙
矩形ABCD中，AB＝ ⊙8，BC＝3√5，点P在边 ⊙AB上，且BP＝3AP⊙ ，如果圆
P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【变式训练3】如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为底边上的高，BC＝6，AC＝5，
以A为圆心，AD为半径作 A，则点C与 A的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点C在 A内 B．点C在 A上 C．点C在 A外 D．不能确定
⊙ ⊙ ⊙
取值范围
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以
点D为圆心作 D，其半径长为r，要使点A恰在 D外，点B在 D内，那么r的取值范
⊙ ⊙ ⊙围是（ ）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
【变式训练1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果
B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么 A半径r的取值范围是
． ⊙
【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以顶点D为圆心作半径为r的圆，
若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r的取
值范围是 ．
【变式训练3】在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的
圆内，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3
最值问题
【例4】如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的
A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
⊙A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【变式训练1】如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝
90°，连接PD，则PD的最小值为（ ）
72√61
A．8 B．2√21 C．10 D．
61
直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点
叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm
的长为半径作圆，则 C与AB的位置关系是（ ）
⊙
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
【变式训练1】如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关
系是（ ）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【变式训练2】已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与 O的公
共点的个数是（ ⊙） ⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【变式训练3】已知 O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的
距离d＝5，则直线l⊙与 O的位置关系是（ ）
A．相交 ⊙B．相切 C．相离 D．平行
取值范围
【例6】已知 O的半径为10，直线AB与 O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范
围是 ⊙ ． ⊙
【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半
径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
切线求角度
【例7】如图，AB是 O的切线，切点为B，CD是 O的直径，连接BD，BO，BC，若
∠ABC＝50°，则∠D⊙的度数是（ ） ⊙A．45° B．50° C．55° D．60°
【变式训练1】如图，AB为 O直径，直线CD为 O的切线，C为切点，CD交AB的延
长线于点D，且AC＝CD，则⊙∠BAC＝（ ） ⊙
A．20° B．25° C．30° D．36°
【变式训练2】如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长
线交PA于点P，则∠P的度⊙数是（ ） ⊙
A．25° B．35° C．40° D．50°
【变式训练3】如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，BD是 O的切线，点B为切
点，BD与线段AC的延长线相交于点⊙D，若∠AB⊙C＝65°，则∠D等于⊙（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°切线求长度
【例8】如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，M为PB上一点，连
接MO交 O于点D，若MO∥PA，PA＝9，MD＝2，则 O的半径长是（ ）
⊙ ⊙
A．3 B．4 C．2√2 D．2√3
【变式训练1】如图，AB是 O的切线，A为切点，OB交 O于点C，若 O的半径长为
1，AB=√3，则线段BC的长⊙是（ ） ⊙ ⊙
A．1 B．√2 C．2 D．√3
【变式训练2】如图，AB是圆O的直径，PQ切圆O于点E，AC⊥PQ于点C，AC交圆O
于点D，若OA＝5，EC＝4，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8【变式训练3】如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，A为切点，连接BC，过点O
作BC的平行线交AC于点M⊙，若AB＝6，AC＝8⊙，则OM的长度为（ ）
A．7 B．5 C．√13 D．√34
切线的判定
【例9】如图，以△ABC的边BC的长为直径作 O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：
AB是 O的切线． ⊙
⊙
【变式训练1】已知，如图：AB是 O的直径，AB＝AC，BC交 O于D，DE⊥AC于点
E，求证：DE是 O的切线． ⊙ ⊙
⊙
【变式训练2】如图，AB为 O的直径，点C，D在 O上，^AC=C^D=^DB，DE⊥AC．
⊙ ⊙求证：DE是 O的切线．
⊙
【变式训练3】如图，点P是 O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP
的中点．在直径AB上方的圆⊙上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是 O的切线．
⊙
切线长定理
【例10】如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，
则BD的长是（ ） ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练1】如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
分别交PA、PB于点C、D，⊙若PA＝8，则△PCD的周长⊙为（ ） ⊙
A．8 B．12 C．16 D．20【变式训练2】如图， O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度
为（ ） ⊙
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式训练3】如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形
ABCD的周长为 ． ⊙
三角形的内切圆
【例11】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， O是△ABC的内切圆，三个切点分别为
D、E、F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积⊙是（ ）A．60 B．13 C．13√3 D．30
【变式训练1】如图， O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝
5，CA＝4，则 O的半⊙径是（ ）
⊙
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
【变式训练2】如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
证明综合
【例12】如图，四边形 ABCD 内接于 O，∠DAB＝90°，点 E 在 DC 的延长线上，且
∠CED＝∠CAB． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线．
（2）若AC∥DE，⊙当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．
【变式训练1】如图，已知AB是 O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE
⊙交 O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．
⊙（1）求证：PC与 O相切；
（2）连结OC，如⊙果PD＝2√3，∠P＝30°，求OC的长．
一．选择题（共8小题）
1．已知 的直径为10，点 到点 的距离大于8，那么点 的位置
A．一定在 的内部 B．一定在 的外部
C．一定在 上 D．不能确定
2．如图，在 中， ， ， ．点 为射线 上一动点，过
点 作 于 ，交 于 ， 是 的中点，则 长度的最小值是
A． B． C．1 D．3．已知点 在半径为8的 外，则
A． B． C． D．
4．下列叙述正确的是
A．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．方差越大，说明数据就越稳定
5．如图， 内接于圆，弦 交 于点 ，连接 ．下列角中，是 所对圆周角
的是
A． B． C． D．
6． 的半径为4，直线 上一点 与点 的距离为1，则直线 与 的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断
7． 的半径为5，若直线 与该圆相交，则圆心 到直线 的距离可能是
A．3 B．5 C．6 D．10
8．如图， 是 的切线， ，则
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
9．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 ．10．已知 的半径为5，圆心 ，坐标原点 与 的位置关系是 ．
11．如图， 为 上一点， ， ， 是半径为 的 上两点，且
，若 的最小值为 ，则半径 的最小值是 ．
12．在平面直角坐标系中有 ， ， 三点， ， ， ．现在要画一个圆
同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
三．解答题（共3小题）
13．在矩形 中， ， ．
（1）若以 为圆心， 长为半径作 （画图），则 、 、 与圆的位置关系是什
么？
（2）若作 ，使 、 、 三点至少有一个点在 内，至少有一点在 外，则
的半径 的取值范围是 ．
14．如图， 中， ， ， ，点 是 的中点．
（1）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 都在 上，求 的值；
（2）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 中有两个点在 内，有一个
点在 外，求 的取值范围．
15．已知：如图， 是菱形 内一点， ， ，垂足为点 ，且
，联结 ．（1）求证：菱形 是正方形；
（2）当 是线段 的中点时，求证：点 在以 为半径的 上．
