文档内容
专题 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
目录
点和圆的位置关系....................................................................................................................................1
取值范围......................................................................................................................................................4
最值问题......................................................................................................................................................6
直线和圆的位置关系...............................................................................................................................8
取值范围....................................................................................................................................................10
切线求角度...............................................................................................................................................11
切线求长度...............................................................................................................................................13
切线的判定...............................................................................................................................................16
切线长定理...............................................................................................................................................19
三角形的内切圆......................................................................................................................................21
证明综合....................................................................................................................................................24
点和圆的位置关系
① 点在圆内 点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上 点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外 点到圆心的距离大于半径
【例1】已知 O的半径为5，OA＝4，则点A在（ ）
A． O内⊙ B． O上 C． O外 D．无法确定
【解⊙答】解：∵OA＝4＜5⊙， ⊙
∴点A与 O的位置关系是点在圆内，
故选：A．⊙
【变式训练1】已知 O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能在（
） ⊙
A． O内 B． O外
C．⊙O上 D．⊙以上都有可能
【解⊙答】解：∵ O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，5＞
∴该点在圆外，⊙
故选：B．
【变式训练2】已知，点A为 O所在平面上一点，且点A到 O上所有点的距离中，最长
⊙ ⊙为5，最短为1，则 O的半径为（ ）
A．2 ⊙ B．2.5 C．3 D．2或3
【解答】解：∵点A为 O所在平面上一点，且点A到 O上所有点的距离中，最长为
5，最短为1， ⊙ ⊙
1
∴当点A在圆外时， O的半径= ×（5﹣1）＝2，
2
⊙
1
当点A在圆内时， O的半径= ×（5+1）＝3，
2
⊙
故选：D．
【变式训练3】已知 O的半径为5，点A在 O外，则OA长度可能是（ ）
A．2.5 ⊙ B．4 ⊙ C．5 D．7
【解答】解：∵点A在 O外， O的半径为5，
∴OA＞5 ⊙ ⊙
故选：D．
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作 D，则
下列各点在 D外的是（ ） ⊙
⊙
A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴CD＝AB＝6，∠A＝90°，
∴BD=√AB2+AD2=10，
∵CD＝6＜8，BD＝10＞8，AD＝8，
∴点A在 D上，点B在 D外，点C在 D内．
故选：B．⊙ ⊙ ⊙
【变式训练1】如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，DP＝2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在 P外 B．点B在 P外 C．点C在 P外 D．点D在 P内
【解答】解⊙：连接PB， ⊙ ⊙ ⊙
∵AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝6cm，
∴AD=√AB2−BD2=8cm，
∴PA＝AD＝DP＝8﹣2＝6cm，
在Rt△PBD中，BD＝6cm，PD＝2cm，
∴PB=√PD2+BD2=2√10cm，
∵PB＝PC＝2√10＞6，PD＝2＜6，AP＝6，
∴点A在 P上，点B、C在 P外，点D在 P内．
故选：A．⊙ ⊙ ⊙
【变式训练2】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3√5，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆
P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外
D．点B，C均在圆P内
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝3√5，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3√5，
∴PD=√AP2+AD2=7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3√5，
∴PC=√PB2+BC2=9，
∴PC＞PD＞PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
【变式训练3】如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为底边上的高，BC＝6，AC＝5，
以A为圆心，AD为半径作 A，则点C与 A的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点C在 A内 B．点C在 A上 C．点C在 A外 D．不能确定
【解答】解⊙：∵AB＝AC，AD⊥B⊙C， ⊙
∴AC＞AD，即AC＞ A的半径r，
∴点C与 A的位置关⊙系为点C在 A外．
故选：C．⊙ ⊙
取值范围
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以
点D为圆心作 D，其半径长为r，要使点A恰在 D外，点B在 D内，那么r的取值范
⊙ ⊙ ⊙围是（ ）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
【解答】解：在Rt△ADC中，∠C＝90，AC＝4，CD＝3，
∴AD=√AC2+CD2=√42+32=
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4
∵以点D为圆心作 D，其半径长为r，要使点A恰在 D外，点B在 D内，
∴r的范围是4＜r＜⊙5， ⊙ ⊙
故选：A．
【变式训练1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果
B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么 A半径r的取值范围是 6 ＜ r
＜ 1 0 ． ⊙
【解答】解：如图，连结AC，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10，
∵以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，
∴r＞6，
∵至少有一点在圆外，
∴r＜10，
∴ A半径r的取值范围是：6＜r＜10
故⊙答案为：6＜r＜10【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以顶点D为圆心作半径为r的圆，
若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r的取
值范围是 6 ＜ r ＜ 1 0 ．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝8，AD＝6，
则BD=√62+82=10
由图可知6＜r＜10
故答案为：6＜r＜10
【变式训练3】在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的
圆内，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3
【解答】解：∵点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜2，
则﹣2＜a﹣1＜2，
解得﹣1＜a＜3，
故选：C．
最值问题
【例4】如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的
A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
⊙A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
1
∴CD＝DB= BC＝12，
2
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
1
∴DE= PB，
2
∴当PB取最大值时，DE的长最
∵P是半径为3的 A上一动点，
∴当PB过圆心A时⊙，PB最大，
∵BD＝12，AD＝5，
∴AB=√122+52=13，
∵ A的半径为3，
∴⊙PB的最大值为13+3＝16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．
【变式训练1】如右图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，P为矩形内一点，∠APB＝
90°，连接PD，则PD的最小值为（ ）72√61
A．8 B．2√21 C．10 D．
61
【解答】解：如图，以AB为直径作 O，连接OD在矩形ABCD内部交 O于点P，则
此时PD有最小值． ⊙ ⊙
矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，
∴OP＝AO＝5，∠BAD＝90°，
∴OD=√AO2+AD2=√52+122=13，
∴PD＝OD﹣OP＝13﹣5＝8，
即PD的最小值为8
故选：A．
直线和圆的位置关系
相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点
叫做切点。
相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm
的长为半径作圆，则 C与AB的位置关系是（ ）
⊙A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
1
∴CD= BC＝2cm，
2
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与 C相切．
故答案为⊙：B．
【变式训练1】如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关
系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关
系相交，
故选：B．【变式训练2】已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与 O的公
共点的个数是（ ⊙） ⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【解答】解：∵ O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线⊙l的距离大于圆的半径，
∴直线l和 O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．⊙
【变式训练3】已知 O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的
距离d＝5，则直线l⊙与 O的位置关系是（ ）
A．相交 ⊙B．相切 C．相离 D．平行
【解答】解：∵x2﹣5x﹣6＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝6，
1 2
∵ O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴⊙r＝6，
∵d＜r，
∴直线l与 O的位置关系是相交，
故选：A．⊙
取值范围
【例6】已知 O的半径为10，直线AB与 O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范
围是 0 ≤ d ＜⊙ 1 0 ． ⊙
【解答】解：∵ O的半径为10，直线L与 O相交，
∴圆心到直线AB⊙的距离小于圆的半径， ⊙
即0≤d＜10；
故答案为：0≤d＜10
【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半
径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 r=√3 或 2 ＜ r ≤ 2√3． ．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC=√AB2−AC2=√42−22=2√3，
根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，
AC⋅BC 2×2√3
∴CD= = =√3，
AB 4
当圆与时AB相切时，r=√3，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2√3，
综上所述：r的取值范围是r=√3或2＜r≤2√3，
故答案为：r=√3或2＜r≤2√3．
切线求角度
【例7】如图，AB是 O的切线，切点为B，CD是 O的直径，连接BD，BO，BC，若
∠ABC＝50°，则∠D⊙的度数是（ ） ⊙
A．45° B．50° C．55° D．60°
【解答】解：∵AB是 O的切线，切点为B，
⊙∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵CD是 O的直径，
∴∠CBD⊙＝90°，
∵∠OBD+∠OBC＝90°，∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝∠ABC＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠OBD＝50°．
故选：B．
【变式训练1】如图，AB为 O直径，直线CD为 O的切线，C为切点，CD交AB的延
长线于点D，且AC＝CD，则⊙∠BAC＝（ ） ⊙
A．20° B．25° C．30° D．36°
【解答】解：连接OC，
∵CD为 O的切线，
∴OC⊥C⊙D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
由圆周角定理得：∠COD＝2∠CAD，
∴∠COD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
故选：C．【变式训练2】如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长
线交PA于点P，则∠P的度⊙数是（ ） ⊙
A．25° B．35° C．40° D．50°
【解答】解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是 O的切线，
∴PA⊥A⊙B，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
【变式训练3】如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，BD是 O的切线，点B为切
点，BD与线段AC的延长线相交于点⊙D，若∠AB⊙C＝65°，则∠D等于⊙（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【解答】解：∵BD是 O的切线，点B为切点，
∴AB⊥BD， ⊙
∴∠ABD＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∵∠A+∠D＝90°，
∴∠D＝∠ABC＝65°．故选：A．
切线求长度
【例8】如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，M为PB上一点，连
接MO交 O于点D，若MO∥PA，PA＝9，MD＝2，则 O的半径长是（ ）
⊙ ⊙
A．3 B．4 C．2√2 D．2√3
【解答】解：连接OP、OB，如图，设 O的半径为r，则OM＝MD+OD＝2+r，
∵PA、PB为 O的切线， ⊙
∴PB＝PA＝9⊙，OP平分∠APB，OB⊥PB，
∴∠AOP＝∠BOP，∠OBP＝90°，
∵MO∥PA，
∴∠MOP＝∠APO，
∴∠BPO＝∠MOP，
∴MP＝MO＝2+r，
∴BM＝PB﹣PM＝9﹣（2+r）＝7﹣r，
在Rt△OBM中，r2+（7﹣r）2＝（2+r）2，
解得r ＝3，r ＝15（舍去），
1 2
即 O的半径长是3
故⊙选：A．
【变式训练1】如图，AB是 O的切线，A为切点，OB交 O于点C，若 O的半径长为
1，AB=√3，则线段BC的长⊙是（ ） ⊙ ⊙A．1 B．√2 C．2 D．√3
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB是 O的切线，A为切点，
∴OA⊥A⊙B，
∴∠BAO＝90°，
在Rt△OAB中，OB=√OA2+AB2=√12+(√3) 2=2，
∴BC＝OB﹣OC＝2﹣1＝1
故选：A．
【变式训练2】如图，AB是圆O的直径，PQ切圆O于点E，AC⊥PQ于点C，AC交圆O
于点D，若OA＝5，EC＝4，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解：连接BD交OE于F点，如图，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵PQ切圆O于点E，
∴OE⊥PQ，∴∠OEC＝90°，
∵AC⊥PQ于点C，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形CDFE为矩形，
∴DF＝CE＝4，∠DFE＝90°，
∴OF⊥BD，
∴BF＝DF＝4，
在Rt△ABD中，AD=√AB2−BD2=√102−82=4
故选：C．
【变式训练3】如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，A为切点，连接BC，过点O
作BC的平行线交AC于点M⊙，若AB＝6，AC＝8⊙，则OM的长度为（ ）
A．7 B．5 C．√13 D．√34
【解答】解：∵AC是 O的切线，
∴BA⊥AC， ⊙
∴∠BAC＝90°，
∴BC=√AB2+AC2=√62+82=10，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABC，
OM AO OM 1
∴ = ，即 = ，
BC AB 10 2
解得：OM＝5，故选：B．
切线的判定
【例9】如图，以△ABC的边BC的长为直径作 O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：
AB是 O的切线． ⊙
⊙
【解答】证明：∵BC为 O的直径，
∴∠BDC＝90°， ⊙
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DBC，
∴∠DBC+∠ABD＝90°，
∴AB⊥BC，
∵BC为 O的直径，
∴AB是⊙O的切线．
【变式训练⊙1】已知，如图：AB是 O的直径，AB＝AC，BC交 O于D，DE⊥AC于点
E，求证：DE是 O的切线． ⊙ ⊙
⊙
【解答】证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
又∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠ABC，∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为 O的切线．
⊙
【变式训练2】如图，AB为 O的直径，点C，D在 O上，^AC=C^D=^DB，DE⊥AC．
求证：DE是 O的切线．⊙ ⊙
⊙
【解答】证明：连接OD，
∵^AC=C^D=^DB，
1
∴∠BOD= ×180°=60°，
3
∵C^D=^DB，
1
∴∠EAD=∠DAB= ∠BOD=30°，
2
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，
∵OD是 O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
⊙
【变式训练3】如图，点P是 O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP
的中点．在直径AB上方的圆⊙上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是 O的切线．
⊙
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是 O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
⊙切线长定理
【例10】如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，
则BD的长是（ ） ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵AC、AP为 O的切线，
∴AC＝AP＝6， ⊙
∵BP、BD为 O的切线，
∴BP＝BD，⊙
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4
故选：B．
【变式训练1】如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
分别交PA、PB于点C、D，⊙若PA＝8，则△PCD的周长⊙为（ ） ⊙
A．8 B．12 C．16 D．20
【解答】解：∵PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝⊙ED， ⊙
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16
故选：C．
【变式训练2】如图， O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度
为（ ） ⊙A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵ O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+C⊙D，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11
故选：D．
【变式训练3】如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形
ABCD的周长为 4 8 ． ⊙
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，⊙DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，
故答案为：48
三角形的内切圆
【例11】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， O是△ABC的内切圆，三个切点分别为
⊙D、E、F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．13 C．13√3 D．30
【解答】解：∵ O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊙⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10，
∴AB＝AF+BF＝13，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，
故（x+3）2+（x+10）2＝132，
解得：x ＝2，x ＝﹣15（舍去），
1 2
∴BC＝5，AC＝12，
1
∴S△ABC =
2
×5×12＝30，
故选：D．
【变式训练1】如图， O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝
5，CA＝4，则 O的半⊙径是（ ）
⊙
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝5，CA＝4，
∴AB=√BC2−AC2=3，
∵ O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
⊙∴BD＝BF，AD＝AF，CF＝CE，
如图，连接OD，OF，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，
∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则AF＝AD＝4﹣x，BD＝BE＝3﹣x，
∵AF+CF＝5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，
∴x＝1，
则圆O的半径为1
故选：A．
【变式训练2】如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
【解答】解：∵∠I＝116°，
∴∠IBC+∠ICB＝64°，
∵点I是△ABC的内心，
1 1
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
2 2
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝52°，
故选：B．证明综合
【例12】如图，四边形 ABCD 内接于 O，∠DAB＝90°，点 E 在 DC 的延长线上，且
∠CED＝∠CAB． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线．
（2）若AC∥DE，⊙当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在 O上，
∴DE是 ⊙O的切线；
⊙
（2）解：∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
1
∴CB＝AB＝8，AF＝CF= AC，
2
在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=4√5，
BC⋅CD 8×4 8√5
∴CF= = = ，
BD 4√5 516√5
∴AC＝2CF= ．
5
【变式训练1】如图，已知AB是 O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE
交 O于点D，过点D作PC⊥BE⊙垂足为点C．
⊙（1）求证：PC与 O相切；
（2）连结OC，如⊙果PD＝2√3，∠P＝30°，求OC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵OA＝OD，
∴∠BAE＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠BEA，
∴OD∥BE，
∵PC⊥BE，
∴PC⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴PC与⊙O相切；
（2）解⊙：在Rt△OPD中，∠ODP＝90°，∠P＝30°，PD
∴OD＝PD•tanP＝2，OP= =4，
cosP
∴PB＝OP+OB＝4+2＝6，
∴PC＝PB•cosP＝3√3，
∴CD＝PC﹣PD＝2√3−√3=√3，
∴OC=√OD2+CD2=√22+(√3) 2=√7．
一．选择题（共8小题）
1．已知 的直径为10，点 到点 的距离大于8，那么点 的位置
A．一定在 的内部 B．一定在 的外部
C．一定在 上 D．不能确定
【解答】解： ，
，
点 一定在 的外部．
故选： ．
2．如图，在 中， ， ， ．点 为射线 上一动点，过
点 作 于 ，交 于 ， 是 的中点，则 长度的最小值是A． B． C．1 D．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
， ，
，
，
，
，
点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
，
的最小值为1，
故选： ．
3．已知点 在半径为8的 外，则
A． B． C． D．【解答】解： 点 在圆 的外部，
点 到圆心 的距离大于8，
故选： ．
4．下列叙述正确的是
A．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
B．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．方差越大，说明数据就越稳定
【解答】解： 、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项不
符合题意；
、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项不符合题意；
、不在同一直线上的三点确定一个圆，本选项符合题意；
、方差越大，越不稳定，故本选项不符合题意．
故选： ．
5．如图， 内接于圆，弦 交 于点 ，连接 ．下列角中，是 所对圆周角
的是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得： 所对的圆周角为 和 ，
故选： ．
6． 的半径为4，直线 上一点 与点 的距离为1，则直线 与 的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断
【解答】解： 直线 上一点 与点 的距离为1，
圆心 到直线 的距离小于或等于1，而 的半径为4，
圆心 到直线 的距离小于圆的半径，
直线 与 相交．
故选： ．
7． 的半径为5，若直线 与该圆相交，则圆心 到直线 的距离可能是
A．3 B．5 C．6 D．10
【解答】解： 的半径为5，直线 与 相交，
圆心 到直线 的距离 的取值范围是 ，
故选： ．
8．如图， 是 的切线， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
，
，
，
是 的切线，
，
，
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是 6，最小值是1，则这个圆的半径是 2.5
．【解答】解：如图：
当点 在圆外时，
点到圆上的最小距离 ，最大距离 ，
直径 ，
半径 ．
故答案为：2.5．
10．已知 的半径为5，圆心 ，坐标原点 与 的位置关系是 在 上 ．
【解答】解： 点 的坐标为 ，
，
半径为5，
，
点 在 上．
故答案为：在 上．
11．如图， 为 上一点， ， ， 是半径为 的 上两点，且
，若 的最小值为 ，则半径 的最小值是 ．
【解答】解：如图，过点 作 ，使 ，
，
，又 ，
△ ，
，
，
当 、 、 三点共线时， 的最小值 ，
作 ，
当 时， 最小，
在 △ 中， ，
故答案为： ．
12．在平面直角坐标系中有 ， ， 三点， ， ， ．现在要画一个圆
同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
【解答】解： ， ， 不在同一直线上
经过点 ， ， 可以确定一个圆
该圆圆心必在线段 的垂直平分线上
设圆心坐标为
则点 在线段 的垂直平分线上
由勾股定理得：圆心坐标为
故答案为： ．
三．解答题（共3小题）
13．在矩形 中， ， ．
（1）若以 为圆心， 长为半径作 （画图），则 、 、 与圆的位置关系是什
么？
（2）若作 ，使 、 、 三点至少有一个点在 内，至少有一点在 外，则
的半径 的取值范围是 ．
【解答】解：（1）连接 ，
， ，
，
的半径为 长，
点 在 上，点 在 外，点 在 外；
（2） 以点 为圆心作 ，使 ， ， 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点
在圆外，
的半径 的取值范围是 ．
故答案为： ．
14．如图， 中， ， ， ，点 是 的中点．
（1）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 都在 上，求 的值；
（2）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 中有两个点在 内，有一个
点在 外，求 的取值范围．【解答】解：连接 ．
， ， ，
，
（1） 点 ， ， 都在 上，
．
（2） 点 ， ， 中有两个点在 内，有一个点在 外，
．
15．已知：如图， 是菱形 内一点， ， ，垂足为点 ，且
，联结 ．
（1）求证：菱形 是正方形；
（2）当 是线段 的中点时，求证：点 在以 为半径的 上．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
四边形 为菱形，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
菱形 为正方形；
（2）连接 ， ，
四边形 为正方形，
， ，
为 的中点， ，
是 的垂直平分线，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
点 在以 为半径的 上．
