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专题 21.2 一元二次方程的应用
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增长率问题.........................................................................................................................................1
比赛循环问题.....................................................................................................................................2
病毒传播问题.....................................................................................................................................4
图形面积问题.....................................................................................................................................5
销售问题...........................................................................................................................................10
增长率问题
设 为起始量, 为终止量, 为增长(降低)的次数,平均增长率公式为
为平均增长率),平均降低率公式为 为平均降低率)
【例1】某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100元降为81元．已知两次降价的百分率都
为 ，那么 满足的方程是
A． B． C． D．
【变式训练1】某企业年产值从2019年的2亿元增长到2021年的7亿元，求这两年的年平
均增长率．设该企业这两年的年平均增长率均为 ，由题意可列得方程是
A． B． C． D．
【变式训练2】某农场2019年的产值为80万元，通过改进技术，2021年的产值达到96.8
万元，求该农场这两年产值的年平均增长率．设该农场这两年产值的年平均增长率为 ，
根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
【变式训练3】某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的
增长率是多少？设平均每月增长的百分率为 ，根据题意得方程
A． B．
C． D．
比赛循环问题
循环比赛(握手)问题:
表示队（人）数,
表示总场（次）数
【例2】距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他
同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
【变式训练1】毕业前夕，九年级 班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作
为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【变式训练2】在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了 55次
手，则参加会议的人数为
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式训练3】某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举
行了21场比赛，那么共有 支球队参加了比赛．
A．6 B．12 C．7 D．14病毒传播问题
病毒传播问题:
表示传染之前的人数, 表示每轮没人传染的人数, 表示传的天数或轮数, 表示
最终的总人数
【例3】一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人
传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
【变式训练1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数
目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57，则这种
植物每个支干长出的小分支个数是
A．8 B．7 C．6 D．5
故选： ．
【变式训练2】一种病毒每轮传播的人数为 ．若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮
传播共感染了144人，则 为
A．11 B．12 C．13 D．14
【变式训练3】2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环
比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？
A．8 B．10 C．7 D．9
图形面积问题
不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据体积面积
公式列出一元二次方程．
【例4】如图，把一块长为 ，宽为 的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正
方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 ，设剪去的小正方形的边长为 ，则可列方程为
A． B．
C． D．
【变式训练1】如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，
作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等
宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为 米，可列方程为
A． B．
C． D．
【变式训练2】如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影
部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 540平方米，设道路的宽 米，则可列方
程为A． B．
C． D．
【变式训练3】春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长
，宽 的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区
域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的 ，求小路的宽，设小路的宽为 ，
则可列方程
A． B．
C． D．
【例5】如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱
笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少
米？
【变式训练1】如图，利用一面墙（墙 最长可利用 ，围成一个矩形花园 ，
与墙平行的一边 上要预留 宽的入口（如图中 所示，不用砌墙），现有砌 长
的墙的材料．
（1）当矩形的长 为多少米时，矩形花园的面积为 ；
（2）能否围成面积为 的矩形花园，为什么？【变式训练2】如图，有一道长为 的墙，计划用总长为 的栅栏，靠墙围成由三个
小长方形组成的矩形花圃 ．若花圃 的面积为 ，求 的长．
【变式训练3】某农户要利用一面 长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用
木栅栏围成，木栅栏长 ．
（1）鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
（2）鸡场的面积能达到 吗？为什么？
销售问题
【例6】某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游
客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价
格提高 元，则可列方程为
A．
B．
C．
D．【变式训练1】某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价 20元销售，则每周可售出
100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品
每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为 元，则根据题意所列方程正确
的是
A． B．
C． D．
【变式训练2】某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可
售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可
增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降
低 元，可列方程为
A． B．
C． D．
【例7】某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，
每天可以销售48件，现进行降价处理．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次
下降的百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利
510元，则每件商品应降价多少元？
【变式训练1】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩
大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价 1元，那么平均每天可多售出
2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（2）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【变式训练2】某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平
均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降价 元．
（1）用含 的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 ；
（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
【变式训练3】2022年2月4日，万众瞩目的冬奥会在我们的首都北京开幕了，与往届冬奥
会所不同的是，这届冬奥会大家都被吉祥物 冰墩墩吸引了，导致市场大量缺货，为满
足市场需求，温州某玩具加工厂打算紧急招聘70名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分
为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，根据
市场行情，普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元，为保证全部售出，每生
产1件升级款就将升级款的售价降低5元（每件利润不低于150元），设每天生产升级款
件．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人 每天的产量（件 每件可获得的利润（元
普通款冰墩墩
升级款冰墩墩
（2）当 取多少时，工厂每日的利润可达到17200元？
【变式训练4】位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝
殿（又称
无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来
参观．据统计，
假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为 5元，当售价为
10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场
调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利
2800元，则售价应降低多少元？
【变式训练5】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元
时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装
降价 元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含 的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
1．某口罩生产厂生产的口罩1月份产量为60万个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场
对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，第一季度产量达到
198.6万个．设口罩日产量的月平均增长率为 ，列出的方程为
A．
B．
C．
D．
2．2021年第二季度，某市实现垃圾分类的小区数比第一季度增加了 ，第三季度比第
二季度增加了 ，假设该市小区数量不变，设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的
小区平均增加的百分数为 ，则 满足的方程是
A． B．
C． D．
3．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加 ，这两年
平均每年绿地面积的增长率是
A． B． C． D．4．近年来，快递业成为我国经济的一匹“黑马“，2018年我国快递业务量为507亿件，
2020年快递量将达到700亿件，设快递量平均每年增长率为 ．则下列方程中正确的是
A． B．
C． D．
5．某市2019年底有2万户 用户，计划到2021年底全市 用户数累计达到8.72万户．
设全市 用户数年平均增长率为 ，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
6．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了
132件．如果全组共有 名同学，则根据题意列出的方程是
A． B．
C． D．
7．如图，已知长方形 的面积为1，长与宽之差为1，则该长方形的周长为
A．2 B． C． D．
8．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 的小正方形，做成的无盖盒子容积为
，则原铁皮的边长为A． B． C． D．
9．某校九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排了
45场比赛，设共有 个队参赛，依题意列方程，化成一般式为 ．
10．现规定一种新的运算： ，当 时，则 的值为 ．
11．如图，要设计一幅宽 ，长 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的
宽度比为 ，如果要使所占的面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽为 ，依
题意列方程为 ．
12．某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需
要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三
边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和
出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
13．根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一般形式．
（1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增
长率都相同，求每月印刷的增长率 ；
（2）一个微信群里共有 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产
生132条消息．
14．如图，在宽为 长为 的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为
耕地，要使耕地的面积为 ．若设路宽为 ，列出方程，并将其化成一元二次方
程的一般形式．15．春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价
的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水
果均全部售出，水果店获利1800元．
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了 300千克水蜜桃，商家见第一
批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克 17元的价格出售，售出了 千
克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克 16元的基础上还
降低了 元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水
果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求 的值．
