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专题 21.2 一元二次方程的应用
目录
增长率问题.........................................................................................................................................1
比赛循环问题.....................................................................................................................................2
病毒传播问题.....................................................................................................................................4
图形面积问题.....................................................................................................................................5
销售问题...........................................................................................................................................10
增长率问题
设 为起始量, 为终止量, 为增长(降低)的次数,平均增长率公式为
为平均增长率),平均降低率公式为 为平均降低率)
【例1】某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100元降为81元．已知两次降价的百分率都
为 ，那么 满足的方程是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得： ．
故选： ．
【变式训练1】某企业年产值从2019年的2亿元增长到2021年的7亿元，求这两年的年平
均增长率．设该企业这两年的年平均增长率均为 ，由题意可列得方程是
A． B． C． D．
【解答】解：设该企业这两年的年平均增长率均为 ，
由题意得，2020年的产值为 ，
2021年的产值为： ．故选： ．
【变式训练2】某农场2019年的产值为80万元，通过改进技术，2021年的产值达到96.8
万元，求该农场这两年产值的年平均增长率．设该农场这两年产值的年平均增长率为 ，
根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得：
则2019的产值为：80万元
2021的产值为： 万元．
那么可得方程： ．
故选： ．
【变式训练3】某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份
每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的
增长率是多少？设平均每月增长的百分率为 ，根据题意得方程
A． B．
C． D．
【解答】解：依题意，得： ．
故选： ．比赛循环问题
循环比赛(握手)问题:
表示队（人）数,
表示总场（次）数
【例2】距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他
同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
【解答】解：设该小组共有 人，则每人需写 份拼搏进取的留言，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
该小组共有6人．
故选： ．
【变式训练1】毕业前夕，九年级 班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，
作为珍贵的纪念，全班共赠出1980件礼物，那么这个班级共有学生
A．40人 B．42人 C．44人 D．45人
【解答】解：设这个班级共有学生 人，则每个学生需赠出 件礼物，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
这个班级共有学生45人．
故选： ．【变式训练2】在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了 55次
手，则参加会议的人数为
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：设到会 人，根据题意得：
，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：这次参加会议到会的人数是11人，
故选： ．
【变式训练3】某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举
行了21场比赛，那么共有 支球队参加了比赛．
A．6 B．12 C．7 D．14
【解答】解：设共有 支球队参加了比赛，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
共有7支球队参加了比赛．
故选： ．
病毒传播问题
病毒传播问题:
表示传染之前的人数, 表示每轮没人传染的人数, 表示传的天数或轮数, 表示
最终的总人数
【例3】一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，
经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选： ．
【变式训练1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数
目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57，则这种
植物每个支干长出的小分支个数是
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
这种植物每个支干长出的小分支个数是
故选： ．
【变式训练2】一种病毒每轮传播的人数为 ．若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮
传播共感染了144人，则 为
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：根据题意得：，
解得 ， （舍去），
故选： ．
【变式训练3】2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环
比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？
A．8 B．10 C．7 D．9
【解答】解：设共有 支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得 或 （舍 ，
共有10支队伍参加比赛．
故选： ．
图形面积问题
不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据体积面积
公式列出一元二次方程．
【例4】如图，把一块长为 ，宽为 的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正
方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 ，设剪去的小正
方形的边长为 ，则可列方程为A． B．
C． D．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为 ，则纸盒的底面为长 ，宽为
的长方形，
依题意，得： ．
故选： ．
【变式训练1】如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，
作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等
宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为 米，可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解： 小道的宽为 米，
种植菜园的部分可合成长为 米，宽为 米的长方形．
依题意得： ．故选： ．
【变式训练2】如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影
部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 540平方米，设道路的宽 米，则可列方
程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设道路的宽 米，则余下部分可合成长为 ，宽为 的矩形，
依题意得： ．
故选： ．
【变式训练3】春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长
，宽 的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区
域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的 ，求小路的宽，设小路的宽为 ，
则可列方程A． B．
C． D．
【解答】解：设小路的宽为 米，则绿化区域的长为 米，宽为 米，
故选： ．
【例5】如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱
笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少
米？
【解答】解：设垂直于墙的边长为 米，则平行于墙的边长为 米，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
．
答：矩形花圃的长为10米，宽为5米．
【变式训练1】如图，利用一面墙（墙 最长可利用 ，围成一个矩形花园 ，
与墙平行的一边 上要预留 宽的入口（如图中 所示，不用砌墙），现有砌
长的墙的材料．
（1）当矩形的长 为多少米时，矩形花园的面积为 ；
（2）能否围成面积为 的矩形花园，为什么？【解答】解：（1）设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又 墙 最长可利用 ，
．
答：当矩形的长 为 时，矩形花园的面积为 ．
（2）不能围成面积为 的矩形花园，理由如下：
设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又 墙 最长可利用 ，
， 均不符合题意，舍去，
不能围成面积为 的矩形花园．
【变式训练2】如图，有一道长为 的墙，计划用总长为 的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃 ．若花圃 的面积为 ，求 的长．
【解答】解：设 ，则 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
答： 的长为 ．
【变式训练3】某农户要利用一面 长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边
用木栅栏围成，木栅栏长 ．
（1）鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
（2）鸡场的面积能达到 吗？为什么？
【解答】解：（1）设与墙平行的边的长是 ，则与墙垂直的边的长是 ，
依题意得： ，整理得： ，
解得： ，
，
鸡场的面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是 ．
（2）鸡场的面积不能达到 ，理由如下：
设与墙平行的边的长是 ，则与墙垂直的边的长是 ，
依题意得： ，
整理得： ．
△ ，
该方程没有实数根，
即鸡场的面积不能达到 ．
销售问题
【例6】某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游
客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价
格提高 元，则可列方程为
A．
B．
C．
D．【解答】解：根据题意得： ．
故选： ．
【变式训练1】某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价 20元销售，则每周可售出
100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品
每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为 元，则根据题意所列方程正确
的是
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选： ．
【变式训练2】某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可
售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可
增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降
低 元，可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设售价每千克降低 元，
由题意得： ，
故选： ．
【例7】某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，
每天可以销售48件，现进行降价处理．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次
下降的百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利
510元，则每件商品应降价多少元？
【解答】解：（1）设这两次中平均每次下降的百分率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：这两次中平均每次下降的百分率为 ．
（2）设每件商品应降价 元，则每件的销售利润为 元，平均每天的销售量为
件，
依题意得： ，
解得： ，
解得： ， ．
答：每件商品应降价2.5元或1.5元．
【变式训练1】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩
大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价 1元，那么平均每天可多售出
2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（2）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【解答】解：（1）设每件服装降价 元，则每件的销售利润为 元，平均每天
的销售量为 件，
依题意得： ，整理得： ，
解得： ， ．
又 需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价 元，则每件的销售利润为 元，平均每天的销售量为
件，
依题意得： ，
整理得： ．
△ ，
此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
【变式训练2】某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为100元，若每件售价为160元，则平
均每个月可售出100件，经调查发现，每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，设每件衬衫降
价 元．
（1）用含 的代数式表示每月可售出的衬衫件数为 ；
（2）若商场每月要盈利7875元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
【解答】解：（1）每件衬衫每降价2元，商场平均每月可多售出10件，
每件衬衫降价 元，每月可售出衬衫件数为 件．
故答案为： 件；
（2）每件衬衫降价 元，由题意得，解得 ，
要尽快减少库存
答：每件衬衫应降价25元
【变式训练3】2022年2月4日，万众瞩目的冬奥会在我们的首都北京开幕了，与往届冬奥
会所不同的是，这届冬奥会大家都被吉祥物 冰墩墩吸引了，导致市场大量缺货，为满
足市场需求，温州某玩具加工厂打算紧急招聘70名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分
为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，根据
市场行情，普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元，为保证全部售出，每生
产1件升级款就将升级款的售价降低5元（每件利润不低于150元），设每天生产升级款
件．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人 每天的产量（件 每件可获得的利润（元
普通款冰墩墩
升级款冰墩墩
（2）当 取多少时，工厂每日的利润可达到17200元？
【解答】解：（1） 普通工人每人每天可以生产2件普通款或1件升级款，且每天生产升
级款 件，
安排 人生产升级款冰墩墩，安排 人生产普通款冰墩墩，
每天生产 件普通款冰墩墩．
又 普通款每件利润为140元，升级款每件利润为350元，
填表如下：
产品种类
每天工人数（人 每天的产量（件 每件可获得的利润（元
普通款冰墩墩 140
升级款冰墩墩 350
故答案为： ； ；140；350；
（2）依题意得： ，整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
当 时， ，符合题意．
答：当 取30时，工厂每日的利润可达到17200元．
【变式训练4】位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝
殿（又称
无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来
参观．据统计，
假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为 5元，当售价为
10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场
调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利
2800元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （舍去）．
答：平均增长率为 ；
（2）设售价应降低 元，
则每天的销量为 个．
根据题意可得 ，
解得 ， （舍去）．
答：售价应降低 元．【变式训练5】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元
时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大
销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装
降价 元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含 的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
【解答】解：（1）设每件童装降价 元时，每天可销售 件，每件盈利 元，
故答案为： ， ；
（2）根据题意，得： ．
解得： ， ，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）依题意，可列方程：
，
化简，得 ，
△ ．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到2000元．1．某口罩生产厂生产的口罩1月份产量为60万个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场
对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，第一季度产量达到
198.6万个．设口罩日产量的月平均增长率为 ，列出的方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率为 ，
依题意，得： ，
故选： ．
2．2021年第二季度，某市实现垃圾分类的小区数比第一季度增加了 ，第三季度比第
二季度增加了 ，假设该市小区数量不变，设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的小
区平均增加的百分数为 ，则 满足的方程是
A． B．
C． D．
【解答】解：设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的小区平均增加的百分数为 ，第
一季度的产值为1，
根据题意得： ，
故选： ．3．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加 ，这两年
平均每年绿地面积的增长率是
A． B． C． D．
【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为 ，根据题意得，
，
解得 （舍去）， ．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为 ．
故选： ．
4．近年来，快递业成为我国经济的一匹“黑马“，2018年我国快递业务量为507亿件，
2020年快递量将达到700亿件，设快递量平均每年增长率为 ．则下列方程中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：设快递量平均每年增长率为 ，
依题意，得： ．
故选： ．
5．某市2019年底有2万户 用户，计划到2021年底全市 用户数累计达到8.72万户．
设全市 用户数年平均增长率为 ，则下列方程正确的是
A． B．C． D．
【解答】解：设全市 用户数年平均增长率为 ，
依题意得： ，
故选： ．
6．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了
132件．如果全组共有 名同学，则根据题意列出的方程是
A． B．
C． D．
【解答】解：设全组有 名同学，则每名同学所赠的标本为： 件，
那么 名同学共赠： 件，
所以， ．
故选： ．
7．如图，已知长方形 的面积为1，长与宽之差为1，则该长方形的周长为
A．2 B． C． D．
【解答】解：设长方形的宽为 ，则长为 ，
依题意得： ，解得： ， （不合题意，舍去），
该长方形的周长 ．
故选： ．
8．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 的小正方形，做成的无盖盒子容积为
，则原铁皮的边长为
A． B． C． D．
【解答】解：设原铁皮的边长为 ，则做成的无盖盒子的底面为边长是 的
正方形，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
原铁皮的边长为 ．
故选： ．
9．某校九年级组织了篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排了
45场比赛，设共有 个队参赛，依题意列方程，化成一般式为 ．
【解答】解：设邀请 个球队参加比赛，
依题意得 ，
即 ，
化为一般形式为： ，
故答案为： ．10．现规定一种新的运算： ，当 时，则 的值为 2 或 3
．
【解答】解： ， ，
，
解得 ， ，
故答案为：2或3．
11．如图，要设计一幅宽 ，长 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的
宽度比为 ，如果要使所占的面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽为 ，依
题意列方程为 ．
【解答】解： 横、竖彩条的宽度比为 ，横彩条的宽为 ，
竖彩条的宽为 ．
依题意得： ，
即 ．
故答案为： ．
12．某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需
要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三
边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和
出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 3 0 或 3 2 米．【解答】解：设矩形场地的长为 米，则宽为 ，
根据题意，得 ．
解得 ， ．
所以矩形场地的长为30或32米．
故答案是：30或32．
13．根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一般形式．
（1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增
长率都相同，求每月印刷的增长率 ；
（2）一个微信群里共有 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产
生132条消息．
【解答】解：（1）设每月印刷的增长率都为 ，
根据题意得： ．
化为一般形式为 ；
（2）设有 个好友，依题意得
，
化为一般形式为 ．
14．如图，在宽为 长为 的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为
耕地，要使耕地的面积为 ．若设路宽为 ，列出方程，并将其化成一元二次方程
的一般形式．【解答】解：设路宽为 ，
则耕地的长应该为 ，宽应该为 ；
根据面积公式可得： ．
整理得出： ．
15．春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价
的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水
果均全部售出，水果店获利1800元．
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了 300千克水蜜桃，商家见第一
批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克 17元的价格出售，售出了 千
克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克 16元的基础上还
降低了 元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水
果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求 的值．
【解答】解：（1）设水蜜桃的进价是每千克 元，则苹果的进价是每千克 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：水蜜桃的进价是每千克5元；
（2） ，
整理得： ，解得： ， （不合题意，舍去）．
答： 的值是25．
