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第二十一章 一元二次方程 基础常考 60 题（15 个考点）专练
【精选2023年最新题型训练】
基础常考题一、一元二次方程的定义
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）下列方程中，关于 的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·湖北黄冈·九年级统考期末）关于 的方程 是一元二次方程，则 的
值为 ．
3．（2023·上海·八年级假期作业）关于 的方程 ．
(1)当 取何值时，方程为一元二次方程？
(2)当 取何值时，方程为一元一次方程？
基础常考题二、一元二次方程的一般形式
1．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程 化成 的形式，
则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程 化成一元二次方程的一般形式后，
二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ，则 ．
3．（2023·上海·八年级假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．
(1) （ 、 是常数，且 ）；
(2) ；(3) ．
基础常考题三、一元二次方程的解
1．（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期末）若 是一元二次方程 的一个实数根，则
的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
2．（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）关于x的一元二次方程
的一个根是1，则常数 ．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一元二次方程 中，若 ，则称 是该方程的
中点值．
(1)方程 的中点值是 ．
(2)已知 的中点值是 ，其中一个根是 ，求 的值．
基础常考题四、直接开方法解一元二次方程
1．（2023春·福建福州·八年级校考期末）解一元二次方程： ．
2．（2023·上海·八年级假期作业）用开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．3．（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程： ；
基础常考题五、配方法解一元二次方程
1．（2023·上海·八年级假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）配方法解方程： ．
3．（2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）根据要求解下列方程：
(1) （直接开平方法）．
(2) （配方法）．
基础常考题六、公式法解一元二次方程
1．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考期末）解方程： ．2．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
3．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
基础常考题七、因式分解法解一元二次方程
1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）解方程： ．
2．（2023·上海·八年级假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）解方程
(1)
(2)基础常考题八、换元法解一元二次方程
1．（2023春·八年级课时练习）关于 的方程 的解是 （ 均为常数，
），则方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）若 ，则
．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知 ，求 的值．
基础常考题九、配方法的应用
1．（2023秋·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）若关于 的一元二次方程 配方后得到方
程 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河北石家庄·七年级统考期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子
或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成 （a，b为整数）的
形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
解决问题：已知40是“完美数”，请将它写成 （a，b为整数）的形式： ．
3．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式 的最小值．
解： ，
∵ ，∴
∴多项式 的最小值是4
(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；
(2)求多项式 的最大值．
基础常考题十、根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．（2023·河南周口·校联考三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关
2．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程 无实数解，则m取到的最小正整数值是
．
3．（2023·北京昌平·统考二模）关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求 的取值范围．基础常考题十一、根据一元二次方程的情况求参数
1．（2023春·湖南郴州·八年级校考期末）已知关于x的方程 有两个实数解，求k的取
值范围（ ）
A． B． 且 C． D． 且
2．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值是 ．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
基础常考题十二、一元二次方程根与系数的关系
1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则
的值是（ ）
A． B． C．1 D．72．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若一元二次方程 的两个根是 、 ，则
的值是
3．（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期末）已知关于 的一元二次方程 ，
(1)求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
基础常考题十三、用一元二次方程解决问题——增长率问题
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196
万个．设该厂八，九月份平均每月的增长率为x，则可以得到关于x的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·安徽滁州·八年级统考期末）某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，
2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此
类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为 元/件．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华
气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，
这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
(1)求每张电影票的原定零售票价；
(2)为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每
张32元，求平均每次降价的百分率．
基础常考题十四、用一元二次方程解决问题——营销问题
1．（2023·全国·九年级假期作业）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是40
元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价 （元/千克）与销售量 （千克）之间满足的关系如图所示．
（1）写出 关于 的函数关系式 ；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为 ．
3．（2023·全国·九年级假期作业）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平
均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低1元，则平均
每月可多卖出20本．设每本科普读物的售价降低 元．
(1)小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出600本．”请判断小宇的说法是否正确，并说
明理由；
(2)若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2860元，销售经理甲说：“在原售价的基础上降低3
元，可以完成任务”，销售经理乙说：“在原售价的基础上降低1元即可”，请判断甲、乙两人的说法是
否正确并指出应采取谁的意见．
基础常考题十五、用一元二次方程解决问题——图形有关的问题
1．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，把一块长为 ，宽为 的矩形
硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 ．设剪去小正方形的边长为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·安徽·九年级专题练习）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三
部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，则该矩
形荒地的长为 ．
3．（2023春·江苏·八年级期末）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分
M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的 ，求a的值．
基础常考题十六、一元二次方程的基础题型汇总（共15道题）1．（2023春·北京房山·八年级统考期末）用配方法解方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·江苏·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 ，若 ，则此方
程必有一个根为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
3．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算： ，
若关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于 的方程， ，则下列说法正确的是
( )
A．不存在 的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个 的值，使得方程没有实数解
C．无论 为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论 为何值，方程有两个不相等的实数根
6．（2023春·河南周口·八年级统考期末）关于x的一元二次方程的解 的解为 ．
7．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则
．
8．（2023春·北京平谷·八年级统考期末）公园里有一个边长为6米的正方形花坛，现在想扩大花坛的面积．
要使花坛的面积增加28平方米后仍然是正方形，设边长延长 米，则可列方程为 ．9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
a的取值范围是 ．
10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，则实数 的取值范围是 ．
11．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
12．（2023春·江西抚州·八年级校考阶段练习）如图，用1张边长为 的正方形纸片，2张边长为 的正方
形纸片，3张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探
求相应的等式．
(1)你得到的等式是______；
(2)借助拼图的方法，将多项式 因式分解．13．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的
传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有 个人患
了甲流．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某药房最近售出了 盒口罩．已知售出的 医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒
医用口罩的单价为 元，每盒普通医用口罩的价格为 元，则售出 医用口罩和普通医用各多少盒时，
总销售额最多？请说明理由．
14．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程 有两
个实数根 ，
(1)求k的取值范围；
(2)若 ， 满足 ，求k的值．15．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式 变形为
的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此
之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：
材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为 ，所以 ，所以，当 时，原
式的最小值为2．
完成问题：
(1)求 的最小值；
(2)若实数 满足 ．求 的最大值．
