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第二十一章 一元二次方程过关测试
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：60分钟 满分：100分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A项， ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符题意；
B项， ，是一元二次方程，故本项符题意；
C项， ，不是整式方程，即不是一元二次方程，故本项不符题意；
D项， ，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本项不符题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，
即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高
次数是2是解题关键．
2．将一元二次方程 化成一般形式后，若常数项为 ，则二次项系数和一次项系数分别是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】先化为一般形式，进而根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：一元二次方程 化成一般形式，常数项为 ，即 ，
∴二次项系数和一次项系数分别是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3．将方程 转化为 的形式，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据配方法求解一元二次方程的步骤，求得 ，即可求解．
【详解】解：
则 ，
故选：B
【点睛】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求一元二次方程的步骤．
4．如果a是一元二次方程 的根，则代数式 的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【分析】根据方程根的定义得到 ，则 ，整体代入代数式 即可得到答案．
【详解】解：∵a是一元二次方程 的根，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到
是解题的关键．
5．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】由 ， 即可求解；【详解】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 且 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
6．已知等腰三角形的两边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．3或4
【答案】D
【分析】先把方程化为 ，可得 ， ，再根据等腰三角形的定义可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
∴等腰三角形的两边长分别3或4；
∴该等腰三角形的底边长为3或4；
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
7．某超市销售一批玩具，平均每天可售出 件，每件盈利 元．经市场调查发现：每件玩具的售价每上
涨 元，平均每天的销售量就减少 件；每件玩具的售价每下降 元，平均每天的销售量就增加 件．爱
动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，每件玩具的售价上涨 元与下降 元平均每天所获得的利润相同，则
与 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将利润用函数关系式表示出来，再根据题意中的涨价、降价利润一致列出等式即可．【详解】设涨价的利润为 ，则 ，
降价的利润为 元，则 ，
由题意得： ，
∴ ，
整理得： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，解题的关键是根据题干信息列出等式．
8．已知 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．1009.5 B．2019 C．2023 D．2027
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的定义得到 ，根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，
再将 化为 ，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解： 是方程 的两个实数根，
， ，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ．
9．如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若
，则 的长为（ ）A．9 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】设 ，则 ， ，由勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：设 ，则 ，
四边形 是矩形，
∴ ，
∵将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，
∴ ，
∵
∴ ，
∵在 中， ，
∴
解得： （舍去）
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质一元二次方程及勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程是解
题的关键．
10．已知实数x，y满足 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2【答案】A
【分析】由 可得 ，进而可得 ，解得 或
，然后再对 进行变形即可解答．
【详解】解：∵ ，得 ，
即 ．
∴ 或 ．
即 或 ．
∴ ，所以 ， ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相
关定义和运算法则以及整体法来求解．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共计18分.
11．已知方程 的一个根是1，则m的值为
【答案】4
【分析】将 代入方程 即可求m的值．
【详解】解：∵方程 的一个根是1，
∴将 代入方程 ，∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．
12．已知一个一元二次方程的一个根为2023，二次项系数是1，则这个一元二次方程可以是 ．
（只需写出一个方程即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】以2023和0为根写一个二次项系数是1的一元二次方程即可．
【详解】解：一元二次方程的一个根为2023，二次项系数是1，这个一元二次方程可以为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．灵活应用整体代入的方法计算．
13．已知关于x的方程 的解是 ， ，则关于x的方程 的解是
．
【答案】 或
【分析】把后面方程 中的 看作整体，相当于前面方程中的 ，据此求解即可．
【详解】 解：关于x的方程 的解是 ， ，
方程 可变形为 ，
此方程中 或 ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键．
14．已知 是一元二次方程 的两根，则 的值是
【答案】4
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可得 ， ，然后将 化简、代入
求值即可．【详解】解：对于一元二次方程 ，
根据一元二次方程的根与系数的关系，可得 ， ，
所以 ．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系以及分式化简求值，熟练掌握一元二次方程的根
与系数的关系是解题关键．
15．已知 、 为非零常数， ，满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】将 变形得到 ，可把 和 可看作方程 的两根，根据
一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ 和 可看作方程 的两根，
∴ ， ，
则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题关键．16．如图，在 中， ， ， ，点P从A点出发，沿射线 方向
以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线 方向以4cm/s的速度移动．
（1） ；
（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后 的面积等于 ．
【答案】 ； 1或7或 ．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，再根据勾股定理即可得出答案；
（2）过点Q作 于点E，则 ，当运动时间为t秒时， ， ，
， ，根据 的面积等于 ，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符
合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点Q作 于点E，则 ，如图所示，当运动时间为t秒时， ， ， ， ，
依题意得： ．
当 时， ，
解得： ， ；
当 时， ，
解得： （不符合题意，舍去）， ．
∴经过1或7或 秒后， 的面积等于 ．
故答案为：1或7或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
三、解答题：本题共7小题，共计52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用因式分解法求解；
（2）移项后，利用因式分解法求解．
【详解】（1）解： ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）解： ，∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，属于基础题，要有一定的运算求解能力，熟练运用因式分解法解一
元二次方程是解决本题的关键．
18．关于x的一元二次方程 ，
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当方程根的判别式等于5时，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
【分析】（1）由根的判别式可得出 ，由此可证出无论 为何值，方程总有两个不相等
的实数根；
（2）令 ，解之即可得出 的值．
【详解】（1）证明： ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴无论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记当 时，方
程有两个不相等的实数根；（2）令 ，求出 值．
19．已知关于 的一元二次方程 ．(1)求证：无论 取任何实数，方程总有实数根；
(2)已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）根据根的判别式来判断即可；
（2）根据等腰三角形腰相等求出符合条件的 ，即可求出周长．
【详解】（1）证明：
恒成立
故无论 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为 时， 为方程的解，
把 代入，得 ，
得 ，
方程的另外一个解为 ，
此时三角形的周长 ，
当底为 时，由于另两边恰好是这个方程的两根，
故 ，
解得 ，
此时方程的解为 ，
三角形的周长 ．
综上所述，答案为 或 ．
【点睛】本题主要考查根的判别式，等腰三角形的性质，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
20．数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对
给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅．
(1)用 表示一元二次方程的两个实根，填写表格．
一元二次方程0 ①
② ③
(2)数学家韦达对规律进行归纳；对于 ，若 ，则 ； ．
（用含 的代数式表示）．
(3)设 是方程 的两个实根，利用上述结论求 的值．
(4)类比探索，若一元三次方程 可以转化为 ，则
； （用含 的代数式表示）．
【答案】(1)① ；② ；③
(2) ，
(3)
(4) ，
【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得；
（2）利用公式法求出方程的解，由此即可得；
（3）先根据（2）的结论可得 ， ，再根据 ，代入计算即可得；
（4）先化简方程 ，再比较各项的系数即可得．
【详解】（1）解： ，
，
，则 ，
，
，
即 ，
则 ， ，
故答案为：① ；② ；③ ．
（2）解： ，
，
即 ，
则 ， ，
故答案为： ， ．
（3）解： 是方程 的两个实根，
， ，
则
．（4）解：
，
则 ， ，
所以 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是
解题关键．
21．4月12日华为新出的型号为“ ”的手机在上海召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，
购进10000台“ ”手机进行销售，每台的成本是4400元，在线同时向国内、国外发售．第一个星
期，国内销售每台售价是5400元，共获利100万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加
400元，获得的利润却是国内的6倍．
(1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？
(2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低 ，销量上
涨 ；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨 ，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，
结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多 万元，求m的值．
【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是10800元
(2)
【分析】（1）根据(国外的售价 成本) 销售的数量 国内的6倍，列方程解出即可；
（2）根据第二个星期国外的销售总额-国内的销售总额 元，利用换元法解方程可解答．
【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是10800元；
（2）第一个星期国内销售手机的数量为： (台)，由题意得： ，
，
，
设 ，则原方程化为： ，
，
或 (舍)，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了手机销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题
意，找出数量关系是解决问题的关键．
22．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离 处的
B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少
分钟．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系
式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最
后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为 ，则小明的速度为 ，
依据题意列方程得， ，
，
，
经检验， 是原式方程的解．．
小红的速度为 ，小明的速度为 ．
故答案为： ； ．
（2）解： 小明的速度为 ，
小明从A地道B地需要的时间为： ．
小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
．
设B地到C地的距离为 ，依据题意列方程得，
，
，
，
，
或 （舍去）．
A地到C地所需要时间为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关
系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
23．如图，已知，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，
动点 从 开始沿 边向点 以 的速度运动，动点 从点 开始沿 边向 以 的速度运动，
、 分别从点 、 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1) 为何值时， ？为什么？
(2)当 cm时，求t的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）当 时，可得四边形 是平行四边形，必有 ，列出等式计算即可，
（2）分两种情况，在 利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）由题意知， ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即当 时， ．
（2）如图1，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，∴ ，
解得： ， （不合图，舍去）；
如图2，
过 作 于 ，
则四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不合图，舍去）， ；
综上所述，满足条件的t的值为6或7．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰梯形等知识，解题
关键是正确理解题意，列出方程．
