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第二十一章 一元二次方程 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一
元二次方程，逐一判断即可解答
【详解】解： 不是方程，故A不符合题意；
中，当 时，方程不是一元二次方程，故B不符合题意；
化简后为 ，是一元二次方程，故C符合题意；
为二元二次方程，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键．
2．（2023·黑龙江·统考三模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 元降为 元．已知两次
降价的百分率都是 ，则x的值是（ ）
A． B．25 C． D．20
【答案】B
【分析】根据经过两次降价后的价格 原价 建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得： ，
解得 或 ，
当 时， （不符合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．3．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的
取值范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义得到 ，根据一元二次方程有两个实数根得到 ，求出
的取值范围．
【详解】解： 一元二次方程 有两个实数根，
，
解得 ，
又 ，
且 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键，切记不
要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
4．（2023年湖北省省直辖县级行政单位中考二模数学试题）已知关于 的一元二次方程
的两个实数根为 、 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知： ，
，
， ，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
5．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得 ，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根
∴
∴ ，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中
记载的图表给出了 展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式 的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
【答案】C
【分析】由规律可得： ，令 ， ，可得 ，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得： ，
令 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
7．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴上，边 在x
轴上，点B的坐标是 ，D为 边上一个动点，把 沿 折叠，若点A的对应点 恰好落在矩
形的对角线 上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点 作 轴于点 ，先利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，从而可设
点 的坐标为 ，则 ，再根据折叠的性质可得 ，然
后在 中，利用勾股定理可求出 的值，由此即可得．【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
矩形 的边 在 轴上，边 在 轴上，点B的坐标是 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
由折叠的性质得： ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质、一元二次方程的应用，
正确求出直线 的函数解析式是解题关键．
8．（2023·广东广州·校考三模）若一元二次方程 无实数根，则一次函数
的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到 ，解得 ，然后根据一次函数的性质可得到一次函数
图象经过的象限．
【详解】解： 一元二次方程 无实数根，
，
，
，即 ，
又 ，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．也考查了一次函数图
象与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键．
9．（2022·浙江·九年级自主招生）关于x的方程 ，给出下列四个题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先将 分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可．
【详解】解: 时， 或方程化为： ①
时，
方程化为： ②
当 ，即 时，
方程①的根为：
方程②的根为：
分析可得 时，即： 时，有5个不相等的实根
时，
则
中， 不符合题意，故有2个实数根
中， ， 均不符合题意
故 时，有2个实数根
共有8个不相等的实数根
当 ，即 时，
方程①的根为： ，
方程②的根为： ，
故共有4个不相等的实数根当 ，即 时，
方程没有实数根
综上，方程可能有 个、 个、 个、 个实数根
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨
论是本题的解题关键．
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程 ，有下列说法：
①若 ，则方程 必有一个根为1；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求
根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，
∵无法确定a-b+c=0．故①错误；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式，
=b2-4ac＞0
△∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c（ac+b+1）=0若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
则由求根公式可得：
或 ，
∴ 或
∴b2−4ac＝(2ax +b)2，故④错误．
0
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解
题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023春·吉林四平·八年级校联考阶段练习）方程 的解是__________．
【答案】 或
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
12．（2023·内蒙古·统考中考真题）若 是一元二次方程 的两个实数根，则
________．
【答案】 /
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次
方程 的两个实数根 ， 满足 ， ．
13．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）已知关于 一元二次方程 有两个
相等的实数根，则 的值为___________．
【答案】
【分析】直接根据判别式判断即可得出答案．
【详解】解：由题意可知： ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解与判别式之间的关
系．
14．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）用一段长为 的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园
的面积为 ，墙的长度为 ．设垂直于墙的一边长为 ，则x的值为________．
【答案】10
【分析】设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，根据菜园的面积为 ，列出
一元二次方程，解之得出 的值，再结合墙的长度为 ，即可确定 的值．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，
依题意得： ，
整理得： ，解得： ， ，
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
即 的值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（上海市长宁区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知方程 ，如果设
，那么原方程转化为关于y的整式方程为______．
【答案】
【分析】根据换元法即可求解．
【详解】解：方程 ，如果设 ，
∴
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
16．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以 为边长作正方形，已知 且满足 ，
．
（1）若 ，则图1阴影部分的面积是__________；（2）若图1阴影部分的面积为 ，图2四边形 的面积为 ，则图2阴影部分的面积是__________．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出 ，根据题意得出 ，进而得出 ，根
据图2阴影部分的面积为 ，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形 的面积为 ，
∴ ， ，即
∴ （负值舍去）
∵ ， ．
解得：
∵ ①
∴ ，
∴ ，
∴ ②
联立①②解得： （ 为负数舍去）或∴ ，
图2阴影部分的面积是
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次
方程，正确的计算是解题的关键．
17．（2023·山东临沂·统考二模）在 中， ， ，将 沿 翻折到 ，
的垂直平分线与 相交于点E．若 ，则 的长为______．
【答案】
【分析】连接 ，根据线段垂直平分线的性质得出 ，设 ，在 中，利用勾股
定理可求 ，利用折叠的性质和等腰三角形的性质可证 ，利用勾股定理可得
，由 可构建关于x的方程，然后解方程即可求解．
【详解】解：连接 ，∵ 的垂直平分线与 相交于点E，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
∴ ，
由折叠可知， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程
的解法等知识点，正确作出辅助线、构造合适的直角三角形是解答本题的关键．
18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
的两个根为 ，则__________．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得 ， ，所以
，则
，然后代入即可求解．
【详解】由根与系数的关系得 ， ，
所以 ，
则 ，
则
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求
值．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）解下列方程：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解： ．
移项得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
∴原方程的解是： ．
（2） ．
因式分解得 ，
∴ 或 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
解得 或 ．
∴ 的值为1或 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
21．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）电动车轻巧易操作，让我们的生活更加舒适便捷．
本学期高老师为了方便上下班也买了一辆电动自行车．请解决以下两个问题：
(1)高老师家离学校有2000米的路程，她骑电动车上班时间比原来步行上班时间节省了20分钟．已知电动
车的速度是步行速度的5倍．求高老师的步行速度．
(2)某天，高老师路过电动车专卖店，发现之前购买的那款电动车经过两个月后，售价由2620元降到了
元，已知每月降价的百分率相同，求每月降价的百分率．
【答案】(1)80米/分
(2)
【分析】（1）设高老师的步行速度为 ，根据骑电动车上班时间比原来步行上班时间节省了20分钟
列出方程，解之即可；
（2）设每月降价的百分率为y，根据售价由2620元降到了 元，列出方程，解之即可．
【详解】（1）解：设高老师的步行速度为 ，
由题意可得： ，
解得： ，经检验： 是原方程的解，
∴高老师的步行速度为80米/分．
（2）设每月降价的百分率为y，
由题意可得： ，
解得： 或 （舍），
∴每月降价的百分率为 ．
【点睛】本题考查了分式方程，一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出
方程．
22．（2023·浙江杭州·校考三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角
顶点作 ， ，再以A为圆心， 为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E
分别表示 和 ，我发现 是一元二次方程 的一个根，琮琮说 一定不是此方程的根．
(1)写出 与 表示的数
(2)求出 的值
(3)你认为琮琮说的对吗？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)琮琮说的不对，理由见详解
【分析】（1）先根据勾股定理求出 的长度，再根据 ，利用点的平移即可得出结果；
（2）把 代入一元二次方程 ，即可得出结果；
（3） ，求出一元二次方程 的解，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，
在 中， ，
以A为圆心， 为半径画圆，交数轴于D、E两点，
，
；
（2）解： 是一元二次方程 的一个根，
，
解得： ；
（3）解：琮琮说的不对，理由如下：
，则一元二次方程 为 ，
解这个方程得：
而 ，即 一定是此方程的根，
故琮琮说的不对．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，勾股定理，点的平移与点的坐标之间的关系，本题的关
键是理解一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解法．
23．（2023春·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
(3)若此方程的两个实数根分别为 、 ，求代数式 的值．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)5．
【分析】（1）根据判别式定理，运用配方法求解；
（2）根据求根公式确定解的形式，结合整数根的条件求解；（3）根据根与系数关系，结合完全平方公式对代数式变形，运算求解．
【详解】（1）解：由题意，
∴方程有两个实数根．
（2） 时，
化简，得 或
方程有整数根，则
（3）由题知， ，
∴
∴ ，
∴原式=
【点睛】本题考查一元二次方程判别式，根与系数关系，完全平方公式，根据公式灵活对代数式变形是解
题的关键．
24．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系：
， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________，
___________；
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据 ，
最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由
，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∵
，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．
25．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）图，在矩形 中， ， ， ， ，
分别从 ， ， ， 出发沿 ， ， ， 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达
所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若 （ ），则 ，
， ．
(1)当 为何值时， ， 长度相等？
(2)当 为何值时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三
角形？
(3)当 为何值时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)当 为 时， ， 长度相等
(2)当 时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三
角形
(3)当 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形
【分析】（1）由题意得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可【详解】（1）解： ， ，
时，即 ，
解得： 或 （舍去），
当 为 时， ， 长度相等；
（2）解：当点 与点 重合或点 与点 重合时，以 ， 为两边，以矩形的边（
或 ）的一部分为第三边可能构成一个三角形，
当点 与点 重合时，
由题意得： ，
解得： ， （舍去），
，
此时点 与点 不重合，
符合题意；
当点 与点 重合时，
由题意得： ，
解得： ，
此时 ，不符合题意，
点 与点 不能重合．
综上所述，所求的值为： ；
（3）解： 当 点到达 点时， ，此时 点和 点还未相遇，
点 只能在点 的左侧，
当点 在点 的左侧时，如图 所示：
由题意得： ，
解得： （舍去）， ，
当 时四边形 是平行四边形；
当点 在点 的右侧时，如图 所示：由题意得： ，
解得： （舍去）， ，
当 时，四边形 是平行四边形；
综上所述，当 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的熟练关系列出一元二
次方程解决问题解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系 中，已知四边形 的顶点 ，
分别在 轴和 轴上．直线 经过点 ，与 轴交于点 已知 ， ，
平分 ，交 于点 ，动点 从 点出发沿着线段 向终点 运动，动点 从 点
出发沿着线段 向终点 运动， ， 两动点同时出发，且速度相同，当 点到达终点时 点也停止运
动，设 ．
(1)求 和 的长；
(2)如图 ，连接 ， ，求证：四边形 为平行四边形；
(3)如图 ，连接 ， ，当 为直角三角形时，求所有满足条件的 值．
【答案】(1)16，20
(2)见解析
(3) 或 或 或
【分析】（1）求得A，F两点坐标，进而求得AF长，取AF的中点M，连接OM，作CG AD交AF的延长线于G，作GH⊥OC于H，求得A，F坐标，从而求得AF，推出 AOQ是等边三角形，从而得出
∠OAF=60°，从而得出∠CFG=30°，进而得出AG CE，进一步得出△四边形AECG是平行四边形，从而
CE=AG，进一步求得结果；
（2）在（1）的基础上，证明出结论；
（3）分为三种情形，当∠QFP=90°，解直角三角形CPQ求得CP，进而求得AQ；当∠PQF=90°时，在
∠QFP=90°的图形上，根据P′P1=FQ′求得结果；当∠QPF=90°时，分别表示出PQ2和PF2，根据
PQ2+PF2=FQ2列出方程，进而求得结果．
【详解】（1）如图 ，
取 的中点 ，连接 ，作CG AD交 的延长线于 ，作 于 ，
当 时， ，
，
当 时，
，
，
，
，
，
， 是 的中点，
，
，
，
，
在四边形 中， ，，
平分 ，
，
，
，
，
，
，AG//CE
，四边形 是平行四边形，
，
设 ，则 ，
，
， 舍去 ，
，
；
（2）证明：由（1）知：AF//CE，
，
四边形 为平行四边形；
（3）解：如图 ，
当 时， 图中 ，
，
，，
，
当 时， 图中 ，
由 得，
，
，
，
如图 ，
当 时，作 于 作 于 ，
设 ，
， ， ，
在 中，
，
在 中，
，
由 得，
，
， ，
或 ，综上所述： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，平行四边形判定，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正
确分类，根据条件列出方程．
