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2021 年上海市奉贤区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点A表示的数一定是整数
B. 点A表示的数一定是分数
C. 点A表示的数一定是有理数
D. 点A表示的数可能是无理数
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，可得答案．
【详解】数轴上的点与实数一一对性应，故A错误；
数轴上的点与实数一一对应，故B错误；
根据互为相反数的两个数的绝对值相等，故C错误；
数轴上的点与实数一一对应，所以点A有可能是无理数，故D正确；
故选D．
2. 在下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．
【详解】解：A、 a与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 = |a|与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、 =|a| 与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D、 =a2与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做
同类二次根式．
3. 下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0判断即可．
【详解】解：A．当m＜2时，m﹣3＜﹣1，故分式 一定有意义，故本选项符合题意；
B．m＜2，当m＝1时，分式 没有意义，故本选项不符合题意；
C．m＜2，当m＝﹣1时，分式 没有意义，故本选项不符合题意；
D．m＜2，当m＝﹣3时，分式 没有意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，即分母不等于0．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
5. 下列四个函数图像中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】A、错误，此函数为减函数，y随x的增大而减小；
B、错误，此函数为反比例函数，x＞0时，y随x的增大而减小；
C、正确，此函数为二次函数，x＞0时，y随x的增大而增大；
D、错误，此函数为二次函数，x＞0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增
大而增大．
故选C．
6. 已知在四边形 中， ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形 是平行四边形
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解】解：A、B.∵在四边形ABCD中， ，∴ 或 ，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误；
C.∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确．
D.当 时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定方法，是解题的
关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 当 时，化简： ________．
【答案】1-x
【解析】
【分析】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．
【详解】解：∵x＜1，
∴x-1＜0，
∴原式=-（x-1）
=1-x
故答案为：1-x．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，判断出x-1是负数是解题的关键．
8. 计算：（2a+b）（2a﹣b）＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式，即可解答．【详解】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故答案为：4a2﹣b2．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
9. 使得 的值不大于1的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得 ，通过求解一元一次不等式，即可得到答案．
【详解】∵代数式 的值不大于1，即
∴
∴
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了代数式、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法．
10. 已知函数 ，那么 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据已知直接将x=10代入求出答案．
【详解】解：∵f（x）= ，
∴f（10）= =2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键．
11. 已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】坡比 坡角的正切值， 设竖直直角边为 ，水平直角边为 ，由勾股定理求出斜边， 进而可求出 的正弦值 ．
【详解】解： 如图所示：
由题意，得： ，
设竖直直角边为 ，水平直角边为 ，
则斜边 ，
则 ．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．
的
12. 已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中 中位数是________．
【答案】21
【解析】
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，
23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2=21．
故答案为：21．
【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，
最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13. 将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，那么k的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，可得 ，即可得k的值．
【详解】解：∵将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，
∴直线y＝（k+1）x﹣2和直线y＝﹣3x平行，∴k+1＝﹣3，
解得k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查一次函数图像与几何变换，熟练掌握两直线平行问题，两直线平行，k值相等是关
键．
14. 欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，
而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长
为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为
_________________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出铜钱和中间正方形孔对的面积，然后利用几何概率计算．
【详解】解：∵S ＝1，S ＝ ，
正方形 圆
∴P＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是：能分别求出满足基本事件和总的基本事件的“几何度量”，
最后代入公式求解．
15. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到
Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是_________．【答案】
【解析】
【分析】根据网格图形找出点A、B顺时针旋转 后的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角
坐标系写出点F的坐标即可．
【详解】解：如图，点F的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化－旋转，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
16. 如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记 ， ，那么 ＝
__________________（用向量 、 表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形性质，得 为等边三角形，根据平行线性质，得 ；结合向量性质，得
，再根据向量性质计算，即可得到答案．
【详解】连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ，
∴
∴ 为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形、等边三角形、平行线、向量的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、向
量的性质，从而完成求解．
17. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图
1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 、正方形
、正方形 的面积分别为 、 、 ，如果 ，那么 的值是________．【答案】16
【解析】
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：S=（a+b）2，S=a2+b2，S=（a-b）2，
1 2 3
为
因 S+S+S=48，
1 2 3
即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，
∴3（a2+b2）=48，
∴3S=48，
2
∴S 的值是16．
2
故答案为16．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
18. 如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径
的⊙O外切，那么⊙P的半径长是________________．
【答案】
【解析】【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，
在等边△ABC中，AB＝4，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝OC＝2，
∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，
∴PO＝2＋BP，
∵OH⊥BC，
∴∠COH＝30°，
∴HC＝1，OH＝ ，
∵ ，
∴
∴BP＝ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、等边三角形性质以及勾股定理得应用，利用勾股定理列出关于
BP的方程是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】3【解析】
【分析】根据零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等运算法则计算即可．
【详解】解：原式＝ ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等知识点，掌握以上知
识点的运算法则是解题关键．
20. 解方程： ＝ ﹣1．
【答案】 ．
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方
程求解．
【详解】解：去分母，得 ，
整理，得 ，
解得 , ．
经检验： 是原方程的根， 是增根．
故原方程的根为 ．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟知分式方程与一元二次方程的解法．
21. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）① ， ，② ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就
是D，即可确定点D的坐标；
（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
②在直角 中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用 的面积等积转换求
得AM的长度，然后在 中利用正弦函数的定义求得 的正弦值．
【详解】解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，
在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；②解：在直角 AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝ ，
△
故答案为： ；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
则 OA•CH＝ OC•AM，即 ×4×6＝ × •AM，
解得，AM＝ ；
在Rt AMC中，sin∠ACO＝ ．
△
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；
利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
22. 阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进
行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表
中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆
量．
时间 记忆量
刚记忆完 100%
20分钟后 58.2%
1小时后 44.2%
9小时后 35.8%
1天后 33.7%
2天后 27.8%
6天后 25.4%
30天后 21.1%观察表格和图像，回答下列问题：
（1）图中点A的坐标表示的实际意义是________；
（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（ ）
A．0—20分钟；B．20分钟—1小时C．1小时9小时；D．1天—2天．
（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学
的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会
比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？
【答案】（1）2天大约记忆量保持了27.8%；（2）A；（3）减少约66.3%；①每天上午、下午、晚上各复
习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）依据图象中点的坐标，即可得到A点表示的意义；
（2）根据图象判断即可；
（3）依据函数图象，可得如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%左右．
【详解】解：（1）由题可得，点A表示：2天大约记忆量保持了27.8%；
故答案为：2天大约记忆量保持了27.8%
（2）由图可得，0-20分钟 内记忆保持量下降41.8%，故0-20分钟内内遗忘的速度最快，
故选：A；
（3）如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%，记忆量减少约66.3%；
学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
23. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，连
接BE并延长，交边AC于点F．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G，连接CG．如果 ，求证：四边形ADCG是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明△BDE和△ADC全等得出∠EBD＝∠CAD，再证△BED∽△AEF，即可得证；
（2）先证△AEG∽△DCA，得出DC＝AG，证明出四边形ADCG是平行四边形，再证一个角是直角即可
得证．
【详解】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，
在△ACD和△BED中，
，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠EBD＝∠CAD，
又∵∠BED＝∠AEF，
∴△BED∽△AEF，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，
即BF⊥AC；
（2）：∵AG∥BC，
∴∠AGE＝∠EBD，
由（1）知∠EBD＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠CAD，
又∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴ ，
∴AE•AD＝DC•AG，∵ ，DE＝DC，
∴ ，
∴DC＝AG，
又∵AG∥DC，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，关
键在于利用直角三角形的性质证明出角相等，再证明出三角形相似，用相似的性质证明出结论．
24. 如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向下平移 个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段 上，求 的值；（3）如果点 是抛物线位于第一象限上的点，联结 ，交线段 于点 ，当 时，求点
的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为 ；（2） ；（3）点
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；
（3）通过证明 ，可证 ，即可求解．
【详解】解：（1） 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
，
解得： ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，
顶点坐标为 ， ，
与 轴交于点 ，点 ，
，
， ，
点 ，设直线 解析式为 ，
，
解得： ，
直线 解析式 为，
当 时， ，
；
（3）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
，
，
，
，
，
， ，
， ，点 ，，点 ，，
， ，
，
，
点 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，
灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25. 已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝ ，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点
E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．
【答案】（1） ；（2）0≤CD ；（3）
【解析】
【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出BC＝8，由勾股定理求出AC＝6，由平行线分线段成比例定理
得出 ，求出CF，则可得出答案；（2）当点G恰好在AB上时，解直角三角形求出CD的长，则可得出答案；
（3）设CD＝x，则BE＝ （8﹣x），设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，证明
△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性质得出∠AFO＝∠AEO＝90°，过点E作EH⊥AC于点H，由梯形
的中位线定理得出EH＋CD＝2OF＝DE，解方程 [10﹣ （8﹣x）]＋x＝ （8﹣x）可得出答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，cosB＝ ＝ ，
又BC＝8，
∴AB＝10，
∴AC＝ ＝6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE中，
cosB＝ ，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝ ，
∵四边形EFDG 是平行四边形，
∴EF∥DG，
∵点G在BC上，
∴EF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴CF＝ ，在Rt△CFD中，cos ；
（2）∵四边形EFDG是平行四边形，
∴DF∥EG，
当点G恰好在AB上时，
∴DF∥AB，
∴ ，
设CD＝x，则 ，
∴CF＝ ，
在Rt△BDE中，cosB＝ ，
又CD＝x，则BD＝8﹣x，
∴BE＝ （8﹣x），
∵AE＝AF，
∴ ，
∴x＝ ，
当点G在△ABC内时，0≤CD ；（3）设CD＝x，则BE＝ （8﹣x），
∴AE＝10﹣ （8﹣x），
设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，
∵平行四边形EFDG是矩形，
∴OF＝OE＝ DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
过点E作EH⊥AC于点H，
又∠C＝90°，
∴EH∥HF∥CB，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH＋CD＝2OF＝DE，
∵ （8﹣x），EH＝ [10﹣ （8﹣x）]，
∴ [10﹣ （8﹣x）]＋x＝ （8﹣x），
∴x＝ ，∴CD＝ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
