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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.
难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
自主学习
一、知识链接
1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？
2.下面式子哪些是方程？
2+6=8； 2x+3； 5x+6=22；
+3y=8； x-5<18； .
x
3. 在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下
部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高 AB为2
m，下部BC=x m，请列出方程.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然
后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条
件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
观察与思考：上述方程有什么共同点？
知识要点：
一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 （二
次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0).
ax2是 ，a是 ；
bx是 ，b是 ；c是 .
想一想：为什么一般形式中ax2 + bx + c = 0要限制a ≠ 0？b、c 可以为0吗？
方法总结：只要满足a≠0即可，b、c可以为 .
典例精析
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化
简整理再做判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2 + x = 36； (2) x3 + x2 = 36；
(3)x + 3y = 36；(5) x + 1 = 0；
ax2 + bx + c = 0；
(7)
例2 a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2； (2) (a－1)x| a| +1 －2x－
7=0.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于2，列出
关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解．
【变式题】方程(2a－4)x2－2bx+a=0，
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
思考：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点： ；
2.不同点： .
例3 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一
次项和常数项及它们的系数.
注意：系数和项均包含前面的符号.
探究点2：一元二次方程的根
一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也
叫做一元二次方程的根.
试一试：下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解?
-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6
例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个
字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.
【变式题】已知a是方程 x2 + 2x－2=0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022的值.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解
时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.
探究点3：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横
向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总
面积为570m2，小路的宽应为多少呢？
思考：
1. 若设小路的宽是x m，则横向小路面积是 m2，纵向小路的面积是 m2
两者重叠的面积是 m2.
2. 由于花坛的总面积是570 m2. 你能根据题意，列出方程吗？
想一想：还有其它的列法吗？试说明理由.三、课堂小结
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是
一元二次方程的概念
2(二次)的方程.
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件.
一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值.
建立一元二次方程模型 审→设→找→列
当堂检测
1.下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2； x2=0； (x+3)(2x–4)=x2；
3y2=(3y+1)(y–2)； x2=x3+x2–1； 3x2=5x–1.
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 +3x=2
3y2 + 1 = 2
y
4x2 = 5
(2–x)(3x+4)=3
3.关于x的方程(k2–1)x2＋2(k–1)x＋2k＋2＝0，
当k 时，是一元二次方程；
当k 时，是一元一次方程.
4.（1）已知方程5x2+mx–6=0的一个根为4，则m的值为 ；
（2）若关于x的一元二次方程 (m+2)x2+5x+m2–4=0，有一个根为0，求m的值.5. (1) 如图，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）；
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75万辆，两年后增加到108万辆.
求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
拓广探索
6.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1，求a+b+c的值.
思考：（1）若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
（2）若 a–b+c=0，4a+2b+c=0，你能通过观察，写出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?参考答案
自主学习
一、知识链接
1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一
次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是 1；③是整式
方程.
2. 5x+6=22，x+3y=8 ， .
3.解：列方程得x2= 2(2－x)，整理，得x2 + 2x－4 = 0．
课堂探究
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1 解：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100－2x) cm，宽为(50－2x)
cm.根据方盒的底面积为3600 cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x +350 = 0.
问题2 解：根据题意，列方程： 化简，得
观察与思考 共同点：①方程的两边都是整式 ； ②都只含一个未知数；③未知数的最高
次数都是2.
知识要点 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2
（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2是二次项， a是二次项系数；
bx是一次项， b是一次项系数； c是常数项.
想一想 当a = 0时，bx＋c = 0，不符合定义；当a≠0，b = 0时，ax2＋c = 0，符合
定义；
当a≠0，c=0时，ax2＋bx= 0，符合定义；当a ≠ 0，b = c = 0时，ax2 = 0，符合定义．
典例精析
例1 C
判断 （1）对 （2）错 （3）错 （4）错 （5）错 （6）对
（7）错 （8）错
例2 解：(1)将方程整理，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元
二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.
变式 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；（2）当a=2且b ≠0时，
是一元一次方程．
思考：相同点：都是整式方程，且只含有一个未知数
不同点：一元一次方程：未知数最高次数是 1
一元二次方程：未知数最高次数是 2
例3 解：去括号，得：3x2－3x=5x+10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为
3x2－8x－10=0.其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是－8x，系数是－8；常数项是－10.
探究点2：一元二次方程的根
问题1x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6 14 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
所以x=－2，x=3是方程 x2–x–6 = 0的解.
例 4 解：由题意把 x=3 代入方程 x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，
.
变式题 解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.
∴2a2+4a+2022=2(a2+2a)+2022=2×2+2018=2026.
探究点3：建立一元二次方程模型建立
问题 解：设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x
m2，两者重叠的面积是2x2 m2.
根据题意得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.整理得x2－36x＋35=0.
想一想：(20－x)(32－2x) = 570.
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1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x－4)=x2；3x2=5x－1.
3. 从左至右从上至下依次为 x2+3x－2=0，1，3，－2；3y2－2 y+1=0，3，－2 ，1；
4x2－5=0，4，0，－5；3x2－2x－5=0，3，－2，－5.
4. k ≠±1 k＝－1
4.(1) ；
(2)解：将x=0代入方程得m2－4=0，解得m=±2.∵ m+2 ≠0，∴ m≠－2，综上所述，m =2.
5.(1)解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2.根据题意，得
，
整理得 .
(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得 ，整理得
.
拓广探索
6.解：由题意得 ， 即 .
思考：(1)解：由题意得 ，即 .∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)必有一个
根是1.
(2)x=－1或x=2.
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