第二十一章一元二次方程（基础过关）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第2套）

第二十一章 一元二次方程 （基础过关） 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是 ( ) 1 A. x2  0 B. ax2 bxc0 C. (x1)(x2)1 D. 3x2 2xy5y2 0 x2 【答案】C。 【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数。由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者 为正确答案： 1 A、x2  0不是整式方程，故本选项错误； x2 B、当a=0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误； C、由原方程，得x2 x30，符合一元二次方程的要求，故本选项正确； D、方程3x2 2xy5y2 0中含有两个未知数；故本选项错误。故选C。 【考点】一元二次方程的定义。 2.方程 化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5,6,-8 B. 5，-6，-8 C. 5，-6,8 D. 6,5，-8 [来源:学.科.网Z.X.X.K] 【答案】C 【解析】先将该方程化为一般形式： .从而确定二次项系数为5，一次项系数为-6， 常数项为8 答案选C。 【考点】一元二次方程的项和系数 3、若 ，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A 没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判断 【答案】A 【分析】根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得方程解的情况。 【解析】∵5k+20＜0，即k＜﹣4，∴△=16+4k＜0，则方程没有实数根．故选A 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数 根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 4、某市从2018年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2018年“竹文化”旅游收入 约为2亿元．预计2020“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ） A．2% B．4.4% C．20% D．44% 【分析】设该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2018年及2020年 “竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x， 根据题意得：2（1+x）2=2.88， [来源:Zxxk.Com] 解得：x=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去）． 1 2 答：该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%． 故选：C． 【考点】一元二次方程的应用． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的 关键． 5．关于 的一元二次方程 的一个根是0，则 值为（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】B． 【解析】根据题意得： 且 ，解得： ，故选B． 【考点】1．一元二次方程的解；2．一元二次方程的定义． 6.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程 的根，则三角形的周长为( ) A.13 B.15 C.18 D.13或18 【答案】A 【解析】解一元二次方程可求得方程的两根为 ，那么根据三角形的三边关系，可知3 ＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．故选A 【考点】解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长 7、根据下列表格对应值： 3.24 3.25 3.26 -0.02 0.01 0.03 判断关于 的方程 的一个解 的范围是（ ） A. ＜3.24 B.3.24＜ ＜3.25 C.3.25＜ ＜3.26 D.3.25＜ ＜3.28【答案】B 【解析】当3.24＜ ＜3.25时， 的值由负连续变化到正， [来源:学科网] 说明在3.24＜ ＜3.25范围内一定有一个 的值，使 ， 即是方程 的一个解.故选B. 【考点】利用夹逼法求近似解 8．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据 题意，可列方程为 A． x（x–1）=36 B． x（x+1）=36 C．x（x–1）=36 D．x（x+1）=36 【答案】A 【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x–1）=36，故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关 系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． x x 9.已知 是方程 的两个实数根，则 的值等于 x、x x2 6x30 2  1 1 2 x x 1 2 A．6 B．6 C． 10 D．10 【答案】C 【解析】∵ 是方程 的两个实数根，∴ ， 。 x、x x2 6x30 x x 6 x x 3 1 2 1 2 1 2 x x x 2 x2 x x 2 2x x 62 23 ∴ 2  1  2 1  1 2 1 2  10 。故选C。 x x x x x x 3 1 2 1 2 1 2 【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。 10.关于 的方程 的根的情况描述正确的是. x x2 2kxk 10 A．k为任何实数，方程都没有实数根 B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实 数根三种 【答案】B。【解析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案； ∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0， ∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。 【考点】一元二次方程根的判别式。 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键． 2 1 11、已知a是方程x2 x1=0的一个根，则  的值为 a2 1 a2 a 1 5 1 5 A． B． C．－1 D．1 2 2 【答案】D 【解析】∵ 2 1 2 1 2a a1 a1 1 ，  =  =  = = a21 a2a a1a1 aa1 aa1a1 aa1a1 aa1a1 a2a 又∵a是方程x2 x1=0的一个根，∴a2 a1=0，即a2 a=1。 2 1 1 ∴  = =1。故选D。 a2 1 a2 a 1 【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。 12、已知2是关于 的方程 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角 x x2 2mx3m0 形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B. 【分析】∵2是关于 的方程 的一个根，∴ ，解pol得 . x x2 2mx3m0 44m3m0 m4 ∴方程为 ，解得 . x2 8x120 x 2, x 6 1 2 ∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长， ∴根据三角形三边关系，只能是6，6，2.∴三角形ABC的周长为14.故选B. 【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程；确定三角形的条件. 二、填空题（每小题3分，共18分） 13、扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小 禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为 .【答案】（30–2x）（20–x）= ×20×30 【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30–2x）（20–x）= ×20×30，故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 14、已知方程 没有实数根，则代数式 . 【答案】2 【分析】由方程 没有实数根，得 ，求的a的范围，然后根据此范围化 简代数式。 【解析】∴ ，即 ， ，得 则代数式 【考点】根的判别式。 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式。当 时，方程没有实数根。同时考查了一元二 次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。 15、 。 【答案】3． 【解析】用换元法： ，则原化为： x2 –x–6=0解得, x=–2或3. 即 或 ，因为 ，所以 故答案为3. 【考点】因式分解法解一元二次方程（换元法）； 16．关于 x 的方程 x2–2x+2m–1=0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根 ．【答案】x=x=1． 1 2 【解析】∵关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根， ∴b2–4ac=4–4（2m–1）≥0，解得m≤1， ∵m为正整数，∴m=1，∴x2–2x+1=0，则（x–1）2=0，解得：x=x=1． 1 2 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 17.已知x，x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣ ＝0的两个实数根，且x ﹣x＝1，则 1 2 1 2 m＝______． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得出 x+x ＝2m﹣1 ①，xx ＝﹣ ②，结合 x﹣x ＝1 求出 1 2 1 2 1 2 ，将其代入②求解可得． 【解析】根据题意知x+x＝2m﹣1 ①，xx＝﹣ ②， 1 2 1 2 ∵x﹣x＝1 ③， 1 2 由①③，得： ， 代入②，得：m（m﹣1）＝﹣ ， 解得m＝ ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 ， 是一元二次方程 的两根时， ， ．18、已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则 的值是 . 【答案】7 【分析】根据已知两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab 的值代入计算即可求出值 【解析】根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4， 则原式= 【考点】根与系数的关系． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键. 三、解答题（共46分） 19、（6分）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）： （1） ；（公式法）（2） ；（配方法） （3） ( －2)＋ －2＝ x2 4x20 x2 4x10 x x x 0． [来源:Zxxk.Com] 【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二 次方程有四种解法：直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求 解。 4 168 42 6 【解析】（1）解: x= = =2 6 2 2 （2）移项，得 ．配方，得 ， x2 4x1 x2 4x414 (x2)2 3 由此可得 ∴ ， x2 3 x 2 3 x 2 3 1 2 （3）把方程左边因式分解，得(x2)(x1)0． 从而，得 ，或 ；所以 。 x20 x10 x 2，x 1 1 2 【考点】解一元二次方程。 20、（8分）（2020·山东省初三三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母 表示，我们可以用公式 来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋ ×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地 的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问 到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400 【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【分析】（1）根据题意，由公式 来计算等差数列的和，即可得到答案； （2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到 答案． 【解析】（1）由题意，得 ， ， ， ∵ ，∴ ； （2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 1200x+ ×400＝25200，整理得：（x﹣9）（x+14）＝0， ∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．∴2009+9-1=2017； 答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的 关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．21、（8分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴 产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4 倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数 量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率． 【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座． （2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%． 【解析】（1）1.5×4=6（万座）． 答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座． （2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x， 根据题意，得：6（1+x）2=17.34， 解得：x=0.7=70%，x=–2.7（舍去）． 1 2 答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22、（8分）已知关于 的方程 有两个实数根 . x x2 2(k1)xk2 0 x ,x 1 2 （1）求 的取值范围；（2）若 ，求 的值； k x x x x 1 k 1 2 1 2 1 【解析】（1）依题意得0，即2k1 2 4k 0 。解得k  。   2 （2）依题意 ， x x 2(k1) , x x k2 1 2 1 2 以下分两种情况讨论： ①当 时，则有 ，即 ，解得 x x 0 x x x x 1 2k1k2 1 k  k 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ∵k  ，∴k  k 1不合题意，舍去 。 2 1 2 ② x  x 0 时，则有 x x x x 1，即 2k1  k2 1 ，解得 k 1 ， k 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ∵k  ，∴k 3。 2 综合①、②可知k 3 。 【考点】一元二次方程根与系数的关系及判别式 23、（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）求证：方程有两个不相等 的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x，x，且|x|=|x|-2，求m的值及此时这个方程的根。 1 2 1 2【答案】（1）证明见解析；（2）x=﹣1+ ，x =﹣1﹣ 或x=1﹣ ，x=1+ ． 1 2 1 2 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等 的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系x+x=- ，x•x= ，表示出两根的关系，得到x，x 异 1 2 1 2 1 2 号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解. 【解析】（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0， ∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2， ∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣ ）2+ ， ∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根； （2）∵x•x= =﹣m2≤0，x+x=m﹣3，∴x，x 异号， 1 2 1 2 1 2 又|x|=|x|﹣2，即|x|﹣|x |=﹣2， 1 2 1 2 若x＞0，x＜0，上式化简得：x+x=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1， 1 2 1 2 方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1+ ，x=﹣1﹣ ， 1 2 若x＜0，x＞0，上式化简得：﹣（x+x）=﹣2，∴x+x=m﹣3=2，即m=5， 1 2 1 2 1 2 方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x=1﹣ ，x=1+ ． 1 2 综上:略 【考点】根的判别式及解一元二次方程；分类讨论。 24．(8分)如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修 建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米. （1）用含 的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 （元）、 （元）与修建面积 之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 图13－ 1 图13－2 考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用．. 分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程进行计算即可； （3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取 值范围即可． 解答：解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）； （2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）= ×60×40， 解以上式子可得：a=5，a=45（舍去）， 1 2 答：所以通道的宽为5米； （3）设修建的道路和花圃的总造价为y，由已知得y=40x， 1 y= ，则y=y+y= ； 2 1 2 [来源:Zxxk.Com] x =（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400； 花圃 x =60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a， 通道 当2≤a≤10，800≤x ≤2016，384≤x ≤1600， 花圃 通道 ∴384≤x≤2016， 所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元， 当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384， 解得a=2，a=48（舍去）， 1 2 所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．