第二十一章一元二次方程（能力提升）（原卷版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第2套）

第二十一章 一元二次方程 （能力提升） 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共36分） 1、若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则一次函数 的 大致图象可能是 y y y y O O x O x O x x A B C D 2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了 原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价， 若这两天此股票股价的平均增长率为 ，则 满足的方程是 A. B. C. D. 3、根据下列表格中代数式 与 的对应值，判断方程 的一个根 的大致范围是( ) 6.17 6.18 6.19 6.20 －0.03 －0.01 0.02 0.06 A．6< x <6.17 B．6.17< x <6.18 C．6.18< x <6.19 D．6.19< x <6.20 4.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A． 10 B． 14 C． 10或14 D． 8或10 5．已知 分别是三角形的三边长，则一元二次方程 的根的 情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6、方程 的全体实数根之积为（ ） A、60 B、 C、10 D、 7、若方程 是关于x的一元二次方程，则必有（ ）． A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对 8、我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而 得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x=0，x=2．这种解法体现的数学 1 2 思想是（ ） A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想 9、定义：如果一元二次方程ax2 bxc0(a0)满足abc0，那么我们称这个方程为 “凤凰”方程. 已知ax2 bxc0(a0) 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结 论正确的是 A．ac B．ab C．bc D． a bc 10、小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1． 他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是 A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数 根 11、有两个一元二次方程：M： ，N： ，其中 ，以下列 ax2 bxc0 cx2 bxa0 ac0 四个结论中，错误的是( )A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等 的实数根； B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同； 1 C、如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根； 5 [来源:学§科§网Z§X§X§K] D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x1.12、已知实数m，n满足 ， ，则 （ ）. A、 B、2009 C、－2009 D、 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路 各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积 77m2，设道路的宽为xm，则根 据题意，可列方程为__________． 14、等腰三角形三边长分别为 ，且 是关于 的一元二次方程 的 两根，则 的值为 ． 15、对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4 ﹡2=42﹣4×2=8．若x ，x 是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x ﹡x = 1 2 1 2 16、已知关于x的方程 的两根分别为 和1，则方程 的两根为 . 17、如果m，n是两个不相等的实数，且满足 m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式 2n2﹣ mn+2m+2020= ． 18、如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍， 则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正 确说法的序号）． ①方程 是倍根方程； ②若 是倍根方程，则 ；③ ，则关于 的方程 是倍根方程； ④若方程 是倍根方程，且，则方程 的一个根为 ． 三、解答题（共46分） 19.（6分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的边长，已知 ，这时我们把关于 x 的形如 二次方程称为 “勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” ，必有实数根；(3)若 x  1是“勾系一元二次方程” 的一 个根，且四边形 ACDE 的周长是6 ，求ABC 的面积． 20、（8分）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货． [来源:学科网ZXXK] （1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少 元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元， 而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800 个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包 售价为多少元？ 21、（8分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。 例：解方程 x2  x110 解：(1)当 即 时． ， x10 x1 x1  x1 原方程化为 ，即 ，解得 ． x2 (x1)10 x2 x0 x 0，x 1 1 2 ∵x1，故x0舍去，x1是原方程的解 (2)当 即 时． ， x10 x1 x1 (x1) [来源:学§科§网] 原方程化为 ，即 ，解得 ． x2 (x1)10 x2 x20 x 1，x 2 1 2 ∵x1，故x1舍去，x2是原方程的解． 综上所述，原方程的解为 。 x 1，x 2 1 2 解方程： x2 2 x2 4022. （8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相 同的根，求此时m的值． 23．(8分)阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它 转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一 元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于 “去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共 同的基本数学思想 转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过 因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x =0,x = ， x = ； 1 2 3 （2）拓展：用“转化”思想求方程 的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子 的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草 坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．24．(8分)实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每 次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次 任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了 一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数， 这 个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决 问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表① 所取的2个整数 1，2 1，3， 2，3 2个整数之和 3 4[来源:Z+xx+k.Com] 5 如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大 是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表② 1， 所取的2个整数 1，2 1，4 2，3 2，4 3，4[来源:学# 3， 科#网Z#X#X#K] 2个整数之和 3 4 5 5 6 7如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是 3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． （4）从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共 有______种不同的结果． 探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有___ 种不同的结 果． （2）从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共 有______种不同的结果． 探究三：从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取4个整数，这4个整数之 和共有______种不同的结果． 归纳结论：从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决： 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张 奖券，共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸： （1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种 不同的结果？（写出解答过程） （2）从3，4，5，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整 数，这 个整数之和共有______种不同的结果．