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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.
难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
自主学习
一、知识链接
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2. 如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？
算一算 解下列方程并完成填空：
(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.
两根
一元二次方程 x + x=？ x·x=？
x x 1 2 1 2
1 2
x2+3x－4=0
x2－5x+6=0
2x2+3x+1=0
想一想 方程的两根x，x 与系数a，b，c有什么关系？
1 2课堂探究
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
猜一猜
（1）一元二次方程 (x－x)(x－x) = 0 (x，x 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为
1 2 1 2
x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x，x 与 p，q 之间的关系吗？
1 2
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x 、 x ，那么，
1 2
你可以发现什么结论？
证一证：
x + x= x·x=
1 2 1 2
归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x x，那么 ， .
1、 2
(前提条件是b2－4ac≥0)
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.
归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别 Δ≥0，如是则代入 a、
b、c的值即可.
例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
变式题 已知关于x的方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.
练一练 设x，x 为方程x2－4x+1=0的两个根，则：
1 2(1) ， (2) ，
(3) ， (4) .
归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根
之积的形式，再整体代入.
常见的求值式子如下：
例4 设x，x 是方程 x2－2(k－1)x + k2 =0的两个实数根，且 4，求k的值.
1 2
方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程
有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .
三、课堂小结
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为
根与系数的关系的内容
x、 x，那么 ， .
1 2
根与系数的关系的应用
......当堂检测
1.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是 ，m = .
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .
3.已知关于 x 的方程 3x2－19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
4.已知x，x 是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x+1)(x+1)=4.
1 2 1 2
(1)求k的值； (2)求(x－x)2的值.
1 2
5.设x，x 是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：
1 2
(1) (x + 1)(x + 1)； (2)
1 2
拓展提升
6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；
(2)若方程两根x，x 满足|x-x|= 1 求m的值.
1 2 1 2参考答案
自主学习
一、知识链接
Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为
1.当 .
2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜
0时，方程无实数根.
想一想
两根
一元二次方程 x +x =？ x ·x =？
x x 1 2 1 2
1 2
x2+3x－4=0 -4 1 -3 -4
x2－5x+6=0 2 3 5 6
2x2+3x+1=0 -1
课堂探究
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
猜一猜
1.(x－x)(x－x) = x2－(x+x )x + xx = 0 , x+x =－p，xx=q.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2.x+x = ，xx= .
1 2 1 2
证一证：（注：b2－4ac≥0）
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程
有两个实数根.设方程的两个实数根是x，x，那么x + x = –( – 6 ) =6，x x = – 15 .
1 2 1 2 1 2
（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x，x，那么x + x = ， x x = .
1 2 1 2 1 2（3）方程可化为4x2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.
∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x， x，那么x + x = ，x x =
1 2 1 2 1 2
解：设方程的两个根分别是x，x，其中x=2 . 所以x x =2x= 即x =
1 2 1 1 2 2 2
例2
由于x + x=2+ = 得k=－7. 答：方程的另一个根是 k=－7.
1 2
变式题 解：设方程的两个根分别是x，x，，其中x=1.所以x + x=1+ x=6，即 x=5 .
1 2 1 1 2 2 2
由于x·x=1×5= 得m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15.
1 2
例3 解：根据根与系数的关系可知：
∵ ∴
练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12
例4 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k-1)2-4k2≥0，即-8k + 4≥0. k≤ 由根与系数的
关系得 x+x= 2(k-1) , x x =k 2.∴ = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2-8k
1 2 1 2
+4.由 4，得 2k2-8k +4 =4，解得k=0，k=4 . ∵k≤ ，所以k=0.
1 2
当堂检测
1. ；-3. 2. 1 ； -2.
3.解：将x = 1代入方程中3 -19 + m = 0.解得m=16. 设另一个根为x，则
1
4.解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x+1)(x+1)=xx+(x+x)+1= 解得k = -7；
1 2 1 2 1 2
(2)因为k = -7,所以 则5. 解：根据根与系数的关系得
（1）(x+1)(x+1)=xx+(x+x)+1=
1 2 1 2 1 2
（2）
拓展提升
6.解：设方程两根分别为 x ，x （x ＞x ），则x-x=1.由方程有两个实数根，得 Δ = k2-
1 2 1 2 1 2
8≥0，即 k2≥8 由根与系数的关系，得
7. 解 ： （ 1 ） 方 程 有 实 数 根 ， 所 以 Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m· （ m-2 ） =4m2-
4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.
（2）∵方程有实数根x，x，
1 2
解得m=8.经检验，m=8是方程的解.
