文档内容
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一： 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
知识点二：一元二次方程根与系数的关系
如果方程 有两个实数根 那么
，
知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论
（1）以 为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是
的两个实数根是 那么
（2）如果方程 ，【题型探究】
题型一：一元二次方程根与系数的关系
【例1】．（24-25九年级上·贵州遵义）若 是一元二次方程 的两个根，则
（ ）
A．4 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若 ， 为方程 的两个根，则 ， 与
系数的关系式： ， ．
根据根与系数的关系求出 ， ，进而代入 计算即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 的一个根是
，则另一个根是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程 的两个根为 ， ，则
， ，据此即可求解．
【详解】解：设关于 的一元二次方程 的另一个根是 ，
则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）若 是一元二次方程 的两个根，则．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到 ，整体代入法求出分式的值即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ；
故答案为：3．
题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值
【例2】．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系，先利用一元二次方程解的定义得到
，再根据根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次
方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则 ， ．
【详解】解：∵ 是方程 的实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
故答案为： ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）若a，b是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 ．
【答案 】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，以及整体的思想，熟练掌握一元二次方程的
解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．先根据一元二次方程的解的定义得到 ，再根据根与系数
的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，
∴
∴
∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）一元二次方程 的两根为 ， ，则
．
【答案】
【分析】先利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式得到 ，
然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则 ，．
【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系得 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
题型三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
【例3】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于 的一元二次方程 的两个实数
根分别是 、 ，满足 ，那么 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算等，由
一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，利用完全平方公式把 转化为
，再代入可得关于 的一元二次方程，解方程求出 的值，最后根据 即可求解，掌握以
上知识点是解题的关键．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
整理得， ，
解得 或 ，
∵一元二次方程有两个实数根，
∴ ，
解得 ，
∴故答案为： ．
【跟踪训练1】．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）设实数m，n分别满足 ， ，
= ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系是解题关键．
根据 ， ，可得 ， 是方程 的两个根，再根据根与系数的关系即
可求解．
【详解】 ，
，
，
， 是方程 的两个根，
， ，
．
故答案为：
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国）若 是方程 的两个实数根，则代数式
的值为 ．
【答案】4046
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关性质是解题的关键．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出 ， ，将 变形为
，再代入 得到 ，即可求解．
【详解】解： 整理得： ，
∵ 是方程 的两个实数根，∴ ， ，
∴
．
故答案为：4046．
题型四：由方程两根满足关系求字母的值
【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于 的方程 的两根分别是方程
两根的相反数，则 的值为（ ）．
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，若 是方程 的根，
则 是解题的关键．
设方程 的两根分别为 ，根据根与系数的关系可得 ，由题得 分别是
方程 的两根，再利用根与系数的关系得 ，结合前面的关系即可求解．
【详解】设方程 的两根分别为 ，
由根与系数的关系得 ，
又关于 的方程 的两根分别是方程 两根的相反数，
所以方程 的两根分别为 ，
由根与系数的关系得 ，，
解得 ，
．
故选：A．
【跟踪训练1】．（2025·河北沧州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程 的两个根，且
，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，先整理 得 ，结合
，则 ，进行解出k的值，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵m，n是关于x的一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
解得
故选：D
【跟踪训练2】．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程 的两个实数根，则
（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果 是方程 的两根，那么， ．直接根据根与系数的关系求出 ，再整体代入计算求解即可．
【详解】解： 是一元二次方程 的两个实数根，
，
∴ ．
故选：C．
题型五 ：不解方程由根与系数的关系判断根的问题
【例5】．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程 ，则该方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．两根互为相反数
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ，
也考查了根的判别式．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对A、C选项进行判断；然后
根据根与系数的关系对B、D选项进行判断．
【详解】解：方程化为一般式为 ，
，
方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误；
设方程的两根为 、 ，
根据根与系数的关系得 ，
即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确．
故选：D．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北武汉·开学考试）已知一元二次方程 的两根分别是 ，
，则一元二次方程 的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据根与系数的关系得到 ， ，求出 ， ，然后代入 利用因式
分解法求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别是 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴一元二次方程 为 ，
∴
解得 ， ．
故选：D．
【跟踪训练2】．（2025·河北邯郸·三模）已知关于 的一元二次方程 ，以下不正确的是（ ）
A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为 ，则另一个根为
C．两根之积为 D．两根之和为
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系。根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根
的判别式，以及根与系数的关系．
先把二次项系数化为正系数，计算根的判别式的值，结合根与系数的关系，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：方程化为 ，
∵ ，
∴方程有两个不相等的实数解，
∴选项 的说法正确，不符合题意；
∵方程的两根之积为 ，
∴若方程有一个根为 ，则另一个根为 ，
∴选项 、选项 的说法正确，不符合题意；
∵方程的两根之和为 ，
∴选项 的说法不正确，符合题意，
故选： ．
题型六 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足 ，求k的值
【答案】(1)
(2)2
【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是
解题的关键．
（1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到 ，结合k的取值范围解方程即可．
【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵方程 有两个不相等的实数根 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，又∵ ，
∴ ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程： ．
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)设 ， 是方程的两个根，且 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m的值为3或
【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）表示出根的判别式，证明大于零即可；
（2）利用根与系数的关系得 ， ，再将 变形为 ，进而可得关
于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：
，
因为 ，
所以 ，
所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：因为 ， 是方程的两个根，
所以 ， ，
又因为 ，
即 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以m的值为3或 ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程 ．(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若 ，求 的值；
(3)若方程有一个根不小于5，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“ 时，
方程有实数根”；根与系数的关系，若 是方程 的根，则 ，利用因式
分解法求出方程的解．
（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到 ，根据非负数的性质得到 ，然后根据判别式的意义
得到结论；
（2）根据根与系数的关系，得到 ，先展开 ，再代入
求解即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程可得出 ，结合该方程有一个根不小于5，可得出
，解之即可得出m的取值范围．
【详解】（1）证明： ， ， ，
，
方程总有两个实数根．
（2）由 是方程 的根，
，
，解得 ．
（3） ，
即 ，
，
方程有一个根不小于5，
，
．
的取值范围是 ．
题型七 ：根与系数关系中的新定义问题
【例7】．（2023·湖北黄石·一模）阅读理解材料：已知实数 满足 ，且 ．
根据材料．求 的值．
解：由题知 是方程 的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得 ，
．
解决以下问题：
(1)方程 的两个实数根为 ，则 ___________， ___________．
(2)已知实数 满足 ，且 ，求 的值．
(3)已知实数 满足 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)1
【分析】本题主要考查了根与系数的关系：二次项系数不为0，则常用以下关系： ， 是一元二次方程的两根时， ， ．
（1）直接利用根与系数的关系求解；
（2）先把 、 看作方程 的两根，则利用根与系数的关系得到 ， ，再利用
，则可计算出 的值，然后根据算术平方根的定义得到 的值．
（3）先把 变形为 ，则 、 可看作方程 的两根，根据根与系数的关
系得到 ， ，接着把 化为 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：∵方程 的两个实数根为 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）解： ， ，且 ，
、 可看作方程 的两根，
， ，
，
；
（3）解： ，
，
∴两边除以 得： ，
，即 ，、 可看作方程 的两根，
， ，
．
【跟踪训练1】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程 （ ）有
两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
① ；② ；③ ；④ ．
(2)若方程 是“邻根方程”， ， 是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．
【答案】(1)②④
(2)① ，② ，
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系．
（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可；
②利用 ， 即可求得 、 ．
【详解】（1）解：①解方程 得 ， ，
∵ ，
∴方程 不是“邻根方程”；
②解方程 得 ， ，
∵ ，
∴方程 是“邻根方程”；③解方程 得 ， ，
∵ ，
∴方程 不是“邻根方程”；
④解方程 得 ， ，
∵ ，
∴方程 是“邻根方程”．
故答案为：②④；
（2）解：①∵方程 是“邻根方程”， 、 是方程的两根，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
②∵方程 是“邻根方程”， 、 是方程的两根，
∴ ， ，
解得 ， ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如果方程 的两个根是 、 ，那么
，请根据以上结论解决下列问题．
(1)已知关于 的方程 ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
(2)已知 满足 ， ，求 的值．
【答案】(1)(2) 或2
【分析】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（1）先设方程 的两个根分别是 ，得出 ， ，再根据这个一元二次方
程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案
（2）分两种情况，当 时，a、b满足 ， ，得出a，b是 的解，求出
和 的值，即可求出 的相应值；当 时，则 ．
【详解】（1）解：设方程 ，的两个根分别是 ，
∴ ，
则 ， ，
则方程 的两个根分别是已知方程两根的倒数．
（2）解：当 时，
∵a、b满足 ，
∴a、b是 的解，
∴ ，
∴
当 时，
故综上所述， 的值为-47或2.
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程 的两根
为 ， ，则 + ，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ， ，
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于x的一元二次方程 的两个实数根 、 ，已知
，则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）以及判别式的应用．关于x的一元二次方程
的两个实数根 、 ，根据韦达定理可知， ，通过已知条件代入式子后得出 ，
再进一步验证判别式，此时 ，表明方程恒有两实数根，将 代入原方程后，满足已知条件的两根
之和为2．
【详解】解：由题意知，关于x的一元二次方程 的两个实数根 、 ，
∴ ，
∴ ，
进一步验证判别式： ，表明方程恒有两实数根，
将 代入原方程后，两根的和为2，符合题意．
故选：B．
3．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则
的值为（ ）
A．0 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】C【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得 ，
，再进一步求解即可.
【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故选：C
4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在 中，对角线 ， 的长是关于x的一元二次方程
的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A． 且 B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解
题的关键．设一元二次方程 的两个根为 ， ，由题意得， ， ，由根与系数的关系可得，
， ，解得 ，再利用一元二次方程根的判别式 求出 的范围，即可得出答案．
【详解】解：设一元二次方程 的两个根为 ， ，
由题意得， ， ，
由根与系数的关系可得， ， ，
解得： ，
∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ，
∴k的取值范围是 ．
故选：B．5．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，
而解得方程两根为 和5，乙把常数项看错了，解得两根为 和 ，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据得到的解，求出正确的一次项系数和常数项即可解答，
熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意得 ， ，
令 ，则 ， ，
∴关于x的一元二次方程是 ．
故选：D．
6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于 的方程 的两根之和为 ，两根之积为 ，
则关于 的方程 的两根之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根，则
，利用换元的思想是解决问题的关键．
把方程 看作关于 的一元二次方程，则利用关于 的方程 的两根
为 得到 ，然后利用根与系数的关系即可解答本题．
【详解】解：把方程 看作关于 的一元二次方程，
设关于 的方程 的两根为 ，
则方程 的两根为 ，
关于 的方程 的两根之和为 ，两根之积为 ，，
．
故选：D．
7．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）【新考向】对一元二次方程 ，某学习小组给出了下列结论：
甲：这个方程有两个不相等的实数根；
乙：设这个方程的两个根分别为 ， ，则有 ， ，
丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为 ；
丁：这个方程的解为 ，
老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识
点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，故乙错误；
∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确；
∴ ，
∴ ， ，故丁正确，丙错误；
故选：C．
8．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次方程根
与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得 ， ，再利用
，即可求解．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
故选：B．
9．（2025·广西梧州·三模）已知实数 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则代数式
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练
掌握一元二次方程的根与系数的关系．
先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系求出根的和与积，再将代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：原方程 移项得 ，
依题得 、 是方程的两个实数根，
， ，，
原式 ．
故选： ．
二、填空题
10．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是
．
【答案】1
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据 ， 即可求解．
【详解】解：方程的两个根之和为 ，
则另一个根为 ，
故答案为：1．
11．（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知 ， 是一元二次方程 的两个根，且该方程的两根
互为倒数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知
识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程 的两个实
数根是 ， ，那么 ， ．
根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得 ，于是
可得关于 的一元一次方程，解方程即可求出 的值．
【详解】解： ，
又 该方程的两根互为倒数，即： ，
，
解得： ，
12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，对于一元二次方程 ，两根之和等于 ，两根之积等
于 ，据此即可求解．
【详解】∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
13．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，若
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一
元二次方程根和系数的关系可得 ， ，即得到 ，得到 ，进
而根据 即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
又∵ ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不合题意，舍去，
∴ ，
故答案为： ．
14．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知 是方程 的两个根，那么 = ，
， ，
【答案】
【分析】根据根与系数的关系得出 ， ，再变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
∴ ；
∵
∴
故答案为： ， ， ， ．三、解答题
15．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是 ，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根 满足 ， 求k的值．
【答案】(1) 或 ；
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系是解
题的关键．
（1）把 代入方程求出k的值即可；
（2）根据方程有两个实数根得到 ，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得
，再整理 并将 整体代入得到关于k的
一元二次方程求解即可；
【详解】（1）解：把 代入方程得：
解得： 或 ；
（2）解：∵方程 的两个实数根
∴ ，解得： ；
∴ ，
∴
，
解得： 或 （不合题意，舍去）．
∴ ．
16．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）已知关于 的一元二次方程 ．(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)该方程的另一个根为2
【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握 的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；
熟记根与系数的关系是解题关键．
（1）判断 即可证明；
（2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出 ，解方程组求出另一根．
【详解】（1）解：∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为m，则 ，
解得 ，
故该方程的另一个根为2．
17．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为 ，且满足 ，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 或 ．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方
程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键．
（1）计算判别式的值得到 ，利用非负数的意义得到 ，然后根据判别式得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到 ，将 变形为 ，然后解关于m的
方程即可．
【详解】（1）证明：∵ ，不论 为何值时，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得 ，
∵ 即： ，
∴ ，
解得 ，
∴m的值为 或 ．
18．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】
材料 ：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
材料 ：已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，∴ ， ，
则 ．
【数学理解】
（1）一元二次方程 的两个根为 ， ，则 _____， ______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，求 的值．
（3）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（ ） ， ；（ ） ；（ ） ．
【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解
题的关键．
（ ）利用根与系数的关系即可求解；
（ ）根据根与系数的关系得 ， ，由 ，再代入即可求解；
（ ）根据题意可得 、 可看作方程 的两根，则 ， ，由，再代入即可求解．
【详解】解：（ ）根据根与系数的关系得 ， ；
故答案为： ， ；
（ ）根据根与系数的关系得 ， ，
∴
；
（ ）∵实数 ， 满足 ， ，且 ，
∴ 、 可看作方程 的两根，
∴ ， ，
∴
，
∴ ．
19．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系： ，
．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ， ；
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，则 的值为 ；
(3)提升：已知实数s，t满足 ， 且 ，则 的值 ；
(4)拓展：已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，则实数
的取值范围是 ．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
(4)
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据 ，最后代入
求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由
，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可；
（4）根据方程有两个不相等的实数根得到 ，求出 ，然后利用根与系数的关系得到， ，然后代入 求出 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∵
，
∴ 或 ，
当 时，，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
（4）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，
∴
解得
∵关于 的一元二次方程
∴ ，
∵
∴
∴
解得
综上所述， ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题
意，掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．
