文档内容
第 21 章一元二次方程全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习五种方法
【2个概念】
1.一元二次方程定义
2.一元二次方程的根
【1个解法】
一元二次方程的解法
【2个关系】
1.一元二次方程的根的判别式
2.一元二次方程的根与系数的关系
【1个应用】
一元二次方程应用
【3种思想】
1.整体思想
2.转化思想
3.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习五种方法】
【2个概念】
1.一元二次方程定义
1．（2022秋•巨野县期中）若方程（m+2） +2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2，m+2≠0，
解得m＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数 a≠0这一条件，当a＝0时，上面的
方程就不是一元二次方程了，而b，c可以是0．
2．（2022秋•汨罗市月考）关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
【分析】根据一元二次方程定义可得m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，再解即可．
【解答】解：依题意有，m2﹣7＝2，
∴m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3，
∴当m＝﹣3时方程 是一元二次方程．
【点评】此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
整式方程叫一元二次方程．
2.一元二次方程的根
3．（2022秋•保定期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，求k的值．
【分析】把x＝0代入一元二次方程k2﹣1＝0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定
满足条件的k的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得k2﹣1＝0，
解得k ＝1，k ＝1，
1 2
因为k﹣1≠0，
所以k＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．也考查了一元二次方程的定义．
4．（2023•丰台区校级模拟）已知 x＝1 是关于 x 的方程 x2+2ax+a2＝3 的一个根，求代数式 a（a﹣
1）+a2+5a的值．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入x2+2ax+a2＝3得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2
＝3，然后解此一元二次方程即可．
【解答】解：a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a，
∵x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，
∴1+2a+a2＝3．
∴a2+2a＝2．
∴原式＝2（a2+2a）＝4．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础
题型．
【1个解法】
一元二次方程的解法
5．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x＝4或x＝﹣2；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6．（2023•普兰店区一模）解方程：x（x﹣6）＝6．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．
【解答】解：原方程变形为：x2﹣6x＝6，
则x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，
∴x﹣3＝± ，
∴x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
7．（2022秋•东莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10．
【分析】根据配方法先配成：（x﹣2）2＝7，然后解一元二次方程即可（方法不唯一）．
【解答】解：x2﹣4x+7＝10，
∴x2﹣4x+4＝7，∴（x﹣2）2＝7，
∴x﹣2＝± ，
∴ ， ．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．（2023•庐江县一模）解方程：
（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；
（2）2x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
∴（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0，
即（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0，
∴（﹣x+2）（3x﹣8）＝0，
﹣x+2＝0或3x﹣8＝0，
∴ ；
（2）2x2﹣x﹣1＝0，
∴（2x+1）（x﹣1）＝0，
2x+1＝0，x﹣1＝0，
解得： ．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【2个关系】
1.一元二次方程的根的判别式
9．（2023•陕西模拟）关于x的一元二次方程ax2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，
即Δ＝（﹣4）2﹣4a×3＞0且a≠0，解得a＜ 且a≠0，∴a的取值范围为a＜ 且a≠0．
【点评】本题主要考查根的判别式，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
10．（2023•昌平区二模）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据因式分解法可求出方程的两根，然后列出不等式即可求出k的范围．
【解答】（1）证明：由题意可知：Δ＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣kx+k﹣1＝0，
∴（x﹣k+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝k﹣1或x＝1，
∵方程有一个根小于0，
∴k﹣1＜0，
∴k＜1．
【点评】本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．
11．（2023•西城区二模）关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程
的根．
【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围，求得m＝1，进而解方程得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝9﹣4（m+1）≥0，
∴﹣4m+5≥0，
解得：m≤ ，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程可化为x2﹣3x+2＝0，
解得：x ＝2，x ＝1．
1 2
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
12．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于3，求k的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的判别式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根据判别式的意义即可解答；
（2）设方程的两个根分别为x ，x ，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系
1 2
即可求得k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×1×（2k+1）
＝4k2+8k+4﹣8k﹣4
＝4k2≥0，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0，
设方程的两个根分别为x ，x ，
1 2
∴ ，
∴x ＝1，x ＝2k+1，
1 2
∵该方程有一个根大于2，
∴2k+1＞3，
∴k＞1，
∴k的取值范围k＞1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握并正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关
键．
13．（2023•城阳区一模）计算：
（1）解方程： ．
（2）关于x的一元二次方程3x2+2x﹣k＝0有实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）先把方程两边乘以（x﹣4），再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×3×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）去分母，得3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣4≠0，则x＝3为原方程的解，
所以原方程的解为x＝3；
（2）根据题意得Δ＝22﹣4×3×（﹣k）≥0，解得k≥﹣ ，
即k的取值范围为k≥﹣ ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无
实数根．也考查了解分式方程．
14.（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；
（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一个根为x＝2，
∴22﹣4m+2m﹣1＝0，
∴ ；
（2）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，
∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），
若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，
若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
2.一元二次方程的根与系数的关系
15．（2023•珠晖区一模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①当k为何值时？△ABC是等腰三角形；
②当k为何值时？△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【分析】（1）先计算出4，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）①先利用公式法求出方程的解为x/＝k+1，x ＝k+2，然后分类讨论：k+1＝5，k+2＝5，然 后
x
求出k的值；
②利用勾股定理列出方程，解之即可．
【解答】解：（1）x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∵Δ＝（2k+3）2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）①x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0，
解得：x＝k+1或x＝k+2，
即△ABC的三边为5，k+1和k+2，
当k+1＝5，则k＝4，
当k+2＝5，则k＝3，
∴当k为3或4时，△ABC是等腰三角形；
②∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（k+1）2+（k+2）2＝52，
解得：k＝2或k＝﹣5．
【点评】本题考查根与系数关系，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解题关键．
16．（2023•庐江县一模）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）若x 、x 是方程的两个实数根，且满足 ，求m的值．
1 2
【分析】（1）将x＝1代入，求得m的值，然后利用根与系数的关系可以求出另外一个根；
（2） ，即 ，把两根的和与积代入，即可得
到关于m的方程，从而求得m的值．
【解答】解：（1）∵x＝1是方程的一个根，
∴2+4+m＝0，
解得：m＝﹣6，
设方程的另一个根是x ，那么x +1＝﹣2，
1 1
∴x ＝﹣3，
1
即方程的另一根为﹣3；
（2）∵x 、x 是方程2x2+4x+m＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣2， ，
1 2又∵ ，
∴ ，
即 ，
得m＝±4，
又∵Δ＝42﹣8m＞0，
得m＜2，
∴m＝﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键
是掌握它们并熟练应用．
17．（2023•顺庆区校级二模）已知关于x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2+1＝0 有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝4时，设方程的根为 x ，x ，求代数式 的值．
1 2
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出代数式的
值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，
整理得：4m﹣3≥0，
解得：m≥ ．
故实数m的取值范围是：m≥ ；
（2）当m＝4时，方程为x2+9x+17＝0，
∵该方程的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣9，x x ＝17， +9x ＝﹣17， +9x ＝﹣17，
1 2 1 2 1 2
∴
＝（﹣17﹣x +16）（﹣17﹣14x +3）
1 2＝14（x +1）（x +1）
1 2
＝14×（x x +x +x +1）
1 2 1 2
＝14×（17﹣9+1）
＝126．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．（2023•谷城县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若 + ＝4，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式Δ＞0即可求解；
（2）根据韦达定理 ， 即可求解．
【解答】解：（1）∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝2，c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2，
∴k＜2．
（2）∵ ， ，
∴ + ＝（x +x ）2﹣2x x ＝4，
1 2 1 2
∴6﹣2k＝4，
解得k＝1，
∴k＝1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解不等式的综合运用，掌握一元二次方程中根的
判别式的含义，解一元一次不等式是解题的关键．
19．（2023•老河口市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x ，x ，且满足 + ＝14．求 +4x ﹣10的值．
1 2 2
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x +x ＝﹣2（m﹣1），x •x ＝m2，结合 + ＝14，即可得出关于m
1 2 1 2
的一元一次方程，解之即可得出实数m的值，即可求出x +x ＝4， ，代入 +4x ﹣10
1 2 2
即可得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≤ ，
∴实数m的取值范围为m≤ ．
（2）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣2（m﹣1），x •x ＝m2．
1 2 1 2
∵ + ＝14，
∴（x +x ）2﹣2x •x ＝14，
1 2 1 2
∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14，
∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14，
∴m＝5或﹣1，
当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去，
当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0，
∴x +x ＝4， ，
1 2
∴ x ﹣1，
1
∴ +4x ﹣10＝4x ﹣1+4x ﹣10＝4（x +x ）﹣11＝16﹣11＝5．
2 1 2 1 2
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有
实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x +x ）2＝18+4x x ，找出关于m的一元一次方程．
1 2 1 2
【1个应用】
一元二次方程应用20．（2023•长沙一模）受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料公司的利润逐年增高，据统计，
该公司2020年的利润为30亿元，2022年的利润为36.3亿元．
（1）求该企业从2020年至2022年利润的年均增长率；
（2）若2023年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过39.9亿元？
【分析】（1）设该企业从2020年至2022年利润的年均增长率为x，根据该企业2022年的利润＝该企
业2020年利润×（1+该企业从2020年至2022年利润的年均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其
符合题意的值即可；
（2）利用该企业2023年的利润＝该企业2022年的利润×（1+该企业从2020年至2022年利润的年均增
长率），再将其与39.9亿元比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该企业从2020年至2022年利润的年均增长率为x，
由题意得：30（1+x）2＝36.3，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
1 2
答：该企业从2020年至2022年利润的年均增长率为10%；
（2）由题意可知，36.3×（1+10%）＝39.93（亿元），
∵39.93＞39.9，
∴该企业2023年的利润能超过39.9亿元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直
的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126平方米，则修建的路宽应是多少米？
【分析】设修建的路宽应是x米，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩余部分是
一个矩形，根据绿化面积为126平方米，列出一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设修建的路宽应是x米，
由题意得：（15﹣x）（10﹣x）＝126，
解得：x ＝1，x ＝24（不合题意，舍去），
1 2
答：修建的路宽应是1米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2023•合肥模拟）渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰．据统计：2023年2
月份接待人数为30000人，4月份增加到36300人，求2月份到4月份接待人数的月平均增长率；如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待人数能否突破43500人？
【分析】（1）设这两个月的月平均增长率为 x，根据4月份增加到36300人得：30000（1+x）2＝
36300，解方程取符合题意的根即可得答案；
（2）列式计算，再和43500比较即可．
【解答】解：（1）设这两个月的月平均增长率为x，
根据题意得：30000（1+x）2＝36300，
解得：x＝0.1＝10%或x＝﹣2.1 （不合题意，舍去）；
∴这两个月的月平均增长率是10%；
（2）∵36300×（1+10%）2＝43923＞43500，
∴6月份接待人数能突破43500人．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
23．（2023•增城区二模）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利
性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读
市场规模为576万元．
（1）求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
（2）若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元？
【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，利用2022年该市数字
阅读市场规模＝2020年该市数字阅读市场规模×（1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均
增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用2023年该市数字阅读市场规模＝2022年该市数字阅读市场规模×（1+2020年到2022年该市
数字阅读市场规模的年平均增长率），可预计出2023年该市数字阅读市场规模．
【解答】解：（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2＝576，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%；
（2）576×（1+20%）＝691.2（万元），
∴预计2023年该市数字阅读市场规模691.2万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系
正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
24．（2023•漳州模拟）某中学为了提高学生的身体素质，决定在2023年5月举办“坚持锻炼，活力无
限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．经调查，某公司有 A、B两种系列的体育器材可供选择，该公司2022年每套A系列体育器材的售价为2500元，经过连续两次降价，2023年4月每
套售价为1600元．
（1）求每套A系列体育器材这两次的平均下降率n；
（2）2023年4月该学校经过招标，决定采购该公司A、B两种系列的体育器材共80套，采购专项经费
总计不超过11.2万元，采购合同规定：每套A系列体育器材售价为1600元，每套B系列体育器材售价
为1500（1﹣n）元，求A系列体育器材最多可购买多少套？
【分析】（1）利用该公司2023年4月每套A系列体育器材的售价＝该公司2022年每套A系列体育器
材的售价×（1﹣每套A系列体育器材这两次的平均下降率）2，可得出关于n的一元二次方程，解之取
其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设购买x套A系列体育器材，则购买（80﹣x）套B系列体育器材，利用总价＝单价×数量，结合
采购专项经费总计不超过11.2万元，可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的最大值，即可得出结
论．
【解答】解：（1）根据题意得：2500（1﹣n）2＝1600，
解得：n ＝0.2＝20%，n ＝1.8（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每套A系列体育器材这两次的平均下降率n为20%；
（2）设购买x套A系列体育器材，则购买（80﹣x）套B系列体育器材，
根据题意得：1600x+1500×（1﹣20%）（80﹣x）≤112000，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：A系列体育器材最多可购买40套．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（2023•杨浦区三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的
销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应
值如表：
每件售价x（元） 9 11 13
每天的销售量y（件） 105 95 85
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少
元？【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出y与x的函数解析式；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（9，105），（11，95）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣5x+150（8≤x≤15，且x为整数）；
（2）根据题意得：（x﹣8）（﹣5x+150）＝425，
整理得：x2﹣38x+325＝0，
解得：x ＝13，x ＝25（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每件生活用品的售价应定为13元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法
求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．（2023•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会
展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如
图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停
车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？
【分析】设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，根
据停车位占地面积为640m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，
根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x ＝6，x ＝34（不符合题意，舍去）．
1 2
答：通道的宽是6米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．27．（2023•建邺区一模）为落实“书香中国”的发展战略，某图书馆 2022年藏书量为10万册，计划到
2024年藏书量达到14.4万册，求图书馆藏书量的年平均增长率．
【分析】设图书馆藏书量的年平均增长率为x，利用计划该图书馆到2024年的藏书量＝该图书馆2022
年的藏书量×（1+图书馆藏书量的年平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意
的值，即可得出结论．
【解答】解：设图书馆藏书量的年平均增长率为x，
根据题意得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：图书馆藏书量的年平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【3种思想】
1.整理思想
28．（2022秋•易县期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为
2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二
次方程的根．
29．（2022秋•海淀区校级期中）若a是关于x的一元二次方程x2＝3x+10的根，求代数式（a+4）（a﹣
4）﹣3（a﹣1）的值．
【分析】将x＝a代入关于x的一元二次方程x2＝3x+10，求得a2﹣3a＝10，然后将其整体代入整理后的
代数式求值即可．
【解答】解：根据题意知，a2＝3a+10，
所以a2﹣3a＝10，
则：（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）
＝a2﹣16﹣3a+3＝a2﹣3a﹣13
＝10﹣13
＝﹣3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再
把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求
出代数式的值．
2.转化思想
30．（2022秋•大荔县期末）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，求m3+2m2﹣2025m+2022的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣2022＝0，则m2+3m＝2022，然后利用降次的方法
对原式进行化简即可．
【解答】解：∵m是方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴m3+2m2﹣2025m+2022
＝m（m2+3m﹣2025）﹣m2+2022
＝m（2022﹣2025）﹣m2+2022
＝﹣3m﹣m2+2022
＝﹣2022+2022
＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．也考查了代数式的变形．
3.分类讨论思想
31．（2023•庐江县一模）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点
出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．
设点P的运动时间为t（ s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？如果存在，求出相应的t值；
如果不存在，说明理由．【分析】（1）①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和
∠B的度数进行求解即可；
（2）先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，然后根据题意四边形APQC的面
积等于三角形ABC面积的 ，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的 t值，如果
方程有解，那么求出的t值即可．
【解答】解：（1）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP＝tcm，BQ＝tcm，
在△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时， ，
即 秒），
当∠BPQ＝90°时， ， 秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，
在△BPM中， ，∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
则 ，
∴ ，∴t2﹣3t+3＝0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、解一元二次方程，解直角三角形与三角形面积公式，根据题
意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
【检测卷】
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．3x＝1
C．（a+4）2＝9 D．﹣5x2+3y﹣2＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、由原方程得，2x3+x2+5x﹣1＝0，未知数的最高次数3．故本选项错误；
B、由原方程得，3x﹣1＝0，未知数的最高次1．故本选项错误；
C、由原方程得，a2+8a+7＝0，符合一元二次方程的定义．故本选项正确；D、本方程含有两个未知数x、y，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方
程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．用配方法解方程x2+4x+1＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
【分析】此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+4x+1＝0，
∴x2+4x＝﹣1，
x2+4x+4＝﹣1+4，
⇒∴（x+2）2＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元
二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．一元二次方程3x2﹣5x＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．3，0 D．5，0
【分析】一元二次方程的般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中，二次项的系数为a，一次项的系数为
b，常数项为c．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣5x＝0的二次项系数和一次项系数分别是：3，﹣5
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是 4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是
4，底是2，然后可以求出三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0
∴x ＝4，x ＝2，
1 2由三角形的三边关系可得：
腰长是4，底边是2，
所以周长是：4+4+2＝10．
故选：B．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后
根据三角形的三边关系求出三角形的周长．
5．关于x的方程（m﹣3）x ﹣mx+6＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，m﹣3≠0，
解得m＝﹣1或m＝3．
m＝3不符合题意，舍去，
所以它的一次项系数﹣m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元
二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视
的知识点．
6．已知关于x的一元二次方程2x2−（m+n）x+mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据数轴上表示的点的值和根的判别式Δ＝（m+n）2﹣8mn，判定根的情况有两个不相等实数
根．
【解答】解：由数轴看出m＞0，n＜0，
∵2x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的一元二次方程，∴Δ＝（m+n）2﹣8mn，
∵m＞0，n＜0，
∴﹣8mn＞0，
∴Δ＝（m+n）2﹣8mn＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关
键．
7．设x ，x 是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两个根，则 + 的值是（ ）
1 2
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】由x ，x 是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两个根得到x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，再将其代入到
1 2 1 2 1 2
+ ＝ 计算可得．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝ ，x x ＝﹣ ，
1 2 1 2
则 + ＝ ＝ ＝﹣ ，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于 a、b的相
等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即
可．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
8．已知x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，则实数b的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝3代入方程得到关于b的方程，解方程即可．【解答】解：∵x＝3是关于x的方程x2﹣bx﹣6＝0的一个根，
∴9﹣3b﹣6＝0，
∴b＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
9．某商店3月份的营业额为15万元，4月份的营业额比3月份的营业额减少了10%，商店经过加强管理，
实施各种措施．使得5，6月份的营业额连续增长，6月份的营业额达到了20万元；设5，6月份的营业
额的平均增长率为x，以题意可列方程为（ ）
A．15（1+x）2＝20 B．20（1+x）2＝15
C．15（1﹣10%）（1+x）2＝20 D．20（1﹣10%）（1+x）2＝15
【分析】设5，6月份的营业额的平均增长率为x，根据题意可得，3月份营业额×（1﹣10%）×（1+平
均增长率）2＝6月份的营业额，据此列方程．
【解答】解：设5，6月份的营业额的平均增长率为x，
由题意得，15（1﹣10%）（1+x）2＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列出方程．
10．某品牌儿童玩具原价100元，连续两次降价x%后售价为81元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x%）2＝81 B．100（1+2x%）＝81
C．81（1﹣x%）2＝100 D．100（1﹣x%）2＝81
【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），本题可先用100（1﹣x%）表示第一次降价后
商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为100﹣100x%＝100（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为100（1﹣x%）﹣100（1﹣x%）x%＝100（1﹣x%）2．
所以100（1﹣x%）2＝81．
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再
根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于81即可．
二．填空题（共6小题）
11．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的一次项系数为 ﹣ 2 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+1＝0的一次项系数为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找方程中的项和项的系数时，带着前面的符号．
12．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}
＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝ 1 或﹣ 2 ．
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣ 时，方程为（x+1）2＝1，
开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，
解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；
当（x+1）2＞x2，即x＞﹣ 时，方程为x2＝1，
开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），
综上，x＝1或﹣2，
故答案为：1或﹣2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．已知一元二次方程x2+mx﹣2＝0的两个实数根分别为x ，x ，则x •x ＝ ﹣ 2 ．
1 2 1 2
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为 x ，x ，则
1 2
x +x ＝﹣ ，x •x ＝ 即可得到答案．
1 2 1 2
【解答】解：∵一元二次方程x2+mx﹣2＝0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x •x ＝ ＝﹣2．
1 2
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x ，
1
x ，则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
2 1 2 1 2
14．若关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ± 2 ．
【分析】先计算根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得关于k的方程，求解即可．
【解答】解：△＝k2﹣4×1×2
＝k2﹣8．∵关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0有两个相等的实数根，
∴k2﹣8＝0．
∴k＝±2 ．
故答案为：±2 ．
【点评】本题主要考查了根的判别式．掌握根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键．
15．某商场今年1月份销售额为90万元，3月份的销售额达到129.6万元．设2，3月份平均每月销售额增
长的百分率为x，则根据题意可列方程为 9 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 129. 6 ．
【分析】设这两个月平均每月增长的百分率是x，1月份是90万元，二月份是：90（1+x），三月份是：
90（1+x）（1+x），由此列方程求解．
【解答】解：设这两个月平均每月增长的百分率是x，依题意．得
90（1+x）2＝129.6，
故答案为：90（1+x）2＝129.6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解此类题目时常常要先解出前一个月份的销售额，再列出所
求月份的销售额的方程，令其等于已知的条件即可．
16．若（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16＝0，那么a2+b2的值为 4 ．
【分析】令a2+b2＝t，将原方程化为关于t的一元二次方程，解得t的值即可知a2+b2的值，
【解答】解：令a2+b2＝t，则原方程可变形成：t（t﹣8）+16＝0，
即t2﹣8t+16＝0，
∴（t﹣4）2＝0，
可得：t ＝t ＝4，即a2+b2＝4，
1 2
故答案为：4．
【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程，换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整
体．
三．解答题（共9小题）
17．解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．
【分析】把常数项移到右边，然后在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方进行计算即可．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0，
x2﹣6x+9＝﹣2+9，
（x﹣3）2＝7，x﹣3＝± ，
∴x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，解决本题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
18．求方程中x的值：3x2＝75．
【分析】先把方程化为x2＝25，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：3x2＝75，
x2＝25，
x＝± ＝±5，
所以x ＝5，x ＝﹣5．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次
方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
19．解方程：
（1）﹣x2+2x+2＝0．
（2）（3x+1）2＝﹣9x﹣3．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）﹣x2+2x+2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝ ，
解得x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（2）（3x+1）2＝﹣9x﹣3，
（3x+1）2+3（3x+1）＝0，
（3x+1）（3x+4）＝0，
∴3x+1＝0或3x+4＝0，
解得， ．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，求
的值．
【分析】设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，根据一元二次方程的解的意义得到at2+bt+c＝
0①，bt2+ct+a＝0②，ct2+at+b＝0③，然后把①+②+③得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）＝
0，而 t2+t+1＝（t+ ）2+ ＞0，所以只有 a+b+c＝0，即 a+b＝﹣c；再把所求的分式通分得到
，接着把a3+b3用立方和公式分解，然后用﹣c代换a+b，原分式约分后把a2+b2配方，再
用﹣c代换a+b，最后进行约分即可得到原分式的值．
【解答】解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at2+bt+c＝0①，bt2+ct+a＝0②，ct2+at+b＝0③，
①+②+③得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）＝0，
∴（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
而t2+t+1＝（t+ ）2+ ，
∵（t+ ）2≥0，
∴t2+t+1＞0，
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c，
原式＝
＝
＝＝
＝
＝
＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的
解．也考查了分式的化简求值．
21．已知方程（m﹣5）（m﹣3）xm﹣2+（m﹣3）x+5＝0．
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不等于0且二次项的次数等于2，从而可以解
答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题，注意考虑问题一定要全面．
【解答】解：（1）∵方程（m﹣5）（m﹣3）xm﹣2+（m﹣3）x+5＝0为一元二次方程，
∴
解得：m＝4，
所以当m为4时，方程方程（m﹣5）（m﹣3）xm﹣2+（m﹣3）x+5＝0为一元二次方程；
（2）∵方程（m﹣5）（m﹣3）xm﹣2+（m﹣3）x+5＝0为一元一次方程，
∴ 或 或 或
解得，m＝5或m＝2，
故当m为5或2时，方程方程（m﹣5）（m﹣3）xm﹣2+（m﹣3）x+5＝0为一元一次方程．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二
次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
22．某家禽养殖场，用总长为108m的围栏靠墙角（BC段的墙长25m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的 ，设AD长为xm．
（1）求CD与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形区域ABCD的面积720m2
【分析】（1）根据矩形面积间的关系可得出AE＝ x，结合围栏的总长度可用含x的代数式表示出CD
的长；
（2）根据矩形的面积公式结合矩形区域ABCD的面积720m2可得出关于x的一元二次方程，解之取其
较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设AD长为xm．
∵矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的 ，
∴AG＝ BG，AG＝ AB，DE＝ AE，
∴DE＝ AD＝ xm，AE＝ x，
∴CD＝ ＝（54﹣ x）m．
（2）依题意，得：x（54﹣ x）＝720，
整理，得：x2﹣60x+800＝0．
解得：x ＝20，x ＝40（不合题意，舍去）．
1 2
答：当x为20时，矩形区域ABCD的面积720m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据面积之间的关系，
找出AE＝ x；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．两年前生产1吨甲种药品的成本是9000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是
7290元，求甲种药品成本的年平均下降率．
【分析】设甲种药品成本的年平均下降率为x，利用现在生产1吨甲种药品的成本＝两年前生产1吨甲
种药品的成本×（1﹣年平均下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可
得出结论．
【解答】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
依题意得：9000（1﹣x）2＝7290，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：甲种药品成本的年平均下降率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2009年投入1000万元，2011年投入了1210万元，
若教育经费每年增长的百分率相同．
（1）求每年平均增长的百分率；
（2）此年平均增长率，预计2012年该区教育经费应投入多少万元？
【分析】（1）设每年的增长率为x，利用2011年投入的金额＝2009年投入的金额×（1+增长率）2，即
可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每年平均增长的百分率；
（2）利用2012年投入的金额＝2011年投入的金额×（1+增长率），即可预计出2012年该区教育经费投
入金额．
【解答】解：（1）设每年的增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1210，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符题意，舍去）．
1 2
答：平均每年增长10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331 （万元）．
答：预计2012年该区教育经费将投入1331万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图，一个正方形花圃ABCD，在一次绿化改造中，该花圃在AB方向延伸了3米，AD方向上被占用
了1米后，变成一个面积为21平方米的矩形花圃．求原来花圃的边长．【分析】设原来花圃的边长为x米，由题意得AD被占用1米后长为（x﹣1）米，AE＝（x+3）米，由题
意列出方程（x﹣1）（x+3）＝21，则可得出答案．
【解答】解：如图，
设原来花圃的边长为x米，由题意得，AD被占用1米后长为（x﹣1）米，AE＝（x+3）米，
∴（x﹣1）（x+3）＝21，
解得x ＝4，x ＝﹣6（舍去），
1 2
∴原来花圃的边长为4米，
答：原来花圃的边长为4米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
