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第21章 一元二次方程能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．用配方法解一元二次方程x2+4x+3=0，配方后的方程是（ ）
A． B．
(x+2) 2=1 (x−4) 2=1
C． D．
(x−2) 2=1 (x+4) 2=1
2．在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地
分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，
设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．(32−x)(20−x)=135 B．(32−x)(20−x)=135
1
C． (32−x)(20−x)=135 D．(32−x)(20−x)−x2=135
4
3．若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
(m−1)x2+x+1=0
5 5 5 5
A．m< B．m< 且m≠1 C．m≤ D．m≤ 且m≠1
4 4 4 4
4．若x=2025是关于x的方程ax2+bx+1=0的一个根，则关于x的方程
必有一个根为（ ）
a(x+2) 2+bx+2b=−1
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
5．对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”： aΔb=a2−2ab−b2，例如：
1 1
2Δ3=22−2×2×3−32=−17．若m，n是方程(x+3)Δ2=0的两个实数根，则 +
m n
的值为（ ）2 2 1
A． B．−3 C．− D．−
7 7 7
6．电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增
长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
5(1+x)=6 5(1+x) 2=6
C． D．
5+5(1+x)=6 5+5(1+x)+5(1+x) 2=6
7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两个根．则该三角
形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10
8．对于实数m、n定义运算“☆”为m☆n=m2−4+mn，例如：
1☆2=12−4+1×2=−1，则关于x的方程x☆3=0的根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．若一元二次方程x2+x−3=0的一个根为m，则2025−m2−m的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A出发，以2m/s
的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线CB
匀速运动，当△PCQ的面积为300m2时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．关于x的方程x2+3x−m=0的两根为x ，x ，且2x =x ，则m= ．
1 2 1 2
12．若关于x的一元二次方程x2−mx+3=0的两个根分别为−1，a，则a−1= ．
13．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过
程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长32m，宽20m，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为
540m2．则道路的宽为 m．
14．关于 的一元二次方程 的两实根 满足 ，则
x x2−(2k−1)x+k2−k=0 m、n m2+n2=5 k
的值为 ．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)x2−3x−28=0；
(2)2x2−3x+2=0．
16．（8分）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把
杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货
价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．
(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢
端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售
出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？
17．（8分）已知关于x的方程：x2+2kx+k2−3=0，其中k是常数．
(1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m、n是此方程的两个根，当k=1时，求代数式2025−m2+2m+4n的值．18．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长
方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形
（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．
(1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
(2)当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长．
19．（8分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为50元/件．
1
该商品的网上销售价定为70元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售
素材 价定为90元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持
2 不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本
价．
素材 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售量平均每天多售出40件，同时实体店
3 的销售量受网上影响，平均每天销售量减少5件．
问题解决
任务 计算所获利 当该商品网上销售价为60元/件时，求公司在网上销售该商品每1 润 天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务 拟定价格方 公司要求每天的总毛利润(总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润)
2 案 达到8640元，求每件商品的网上销售价下降多少元？
任务 优化价格方 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实
3 案 体店销售的总毛利润最大？
20．（8分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的
非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解
方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：a2+6a+5
解：原式
=a2+6a+9−4=(a+3)2−4=(a+3+2)(a+3−2)=(a+5)(a+1)
②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值．
解： ，因为不论a取何值， 总
a2+6a+5=a2+2a⋅3+32−32+5=(a+3) 2−4 (a+3) 2
是非负数，即 ，所以 ，所以当 时， 有最
(a+3) 2≥0 (a+3) 2−4≥−4 a=−3 a2+6a+5
小值，最小值是−4．
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2−12x+________=（x- ）2；
（2）将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
x2−3x+66 (x+m) 2+n x2−3x+66
【探究】若M=5a2+9a+6，N=4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并
说明理由．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以
1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，PQ的长度能否为3❑√5cm？若能，求出t的值，若不能，请说明理
由；
(2)在运动过程中，△PDQ能否为8cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
