21.2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(讲+练)-2023考点题型精讲（原卷版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练

21.2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 一元二次方程根的判别式 ax2 bxc  0(a  0) b2 4ac 一元二次方程 中， 叫做一元 注意： 二次方程 ax2 bxc  0(a  0) 的根的判别式，通常用“”来表 利用根的判别式判定一元二次  b2 4ac 示，即 方程根的情况的步骤：①把一元二 次方程化为一般形式；②确定 a,b.c b2 4ac （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 的值；③计算 的 b2 4ac 值；④根据 的符号判定方 （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 程根的情况. （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 题型1：利用判别式判断一元二次方程根的情况 1.下列方程有两个相等的实数根的是（ ） A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0 【变式1-1】若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A．2 B．±2 C．±4 D．±2√2 【变式1-2】判断关于 x 的方程 (x−3)(x−2)=p2 根的情况，并说明理由. 一元二次方程根的判别式的逆用 注意： ax2 bxc  0  a  0  （1）逆用一元二次方程根的判别式求 在方程 中， 未知数的值或取值范围，但不能忽略二 次项系数不为0这一条件；  b2 4ac （1）方程有两个不相等的实数根 ﹥0； （2）若一元二次方程有两个实数根则 （2）方程有两个相等的实数根  b2 4ac =0； b2 4ac ≥0.  b2 4ac （3）方程没有实数根 ﹤0. 题型2：逆用判别式求未知数的值或取值范围2.已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根． 【变式2-1】关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值． 【变式2-2】已知关于x的方程x2+kx+k-2＝0，证明不论k为什么实数，这个方程总有两个不相等实数 根． 一元二次方程的根与系数的关系 ax2 bxc  0(a  0) x，x 如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2， b c x  x   x x  那么 1 2 a ， 1 2 a . 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数 所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 题型3：求一元二次方程两根的和与积 3.若x ，x 是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x +x ，x x 的值分别是 1 2 1 2 1 2 （ ） A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6 【变式3-1】已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【变式3-2】已知关于x的一元二次方程x2−bx+c=0的两根互为相反数，则（ ） A．b=0 B．c=0 C．b>0 D．b<0 一元二次方程的根与系数的关系的应用 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 、x 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要 1 2 x2 x2 (x x )2 2x x 变形；如：① 1 2 1 2 1 2； 1 1 x x   1 2 x x x x ② 1 2 1  2 ； x x 2  x2x  x x (x  x ) ③ 1 2 1 2 1 2 1 2 ；x x x2 x2 (x x )2 2x x 2  1  1 2  1 2 1 2 x x x x x x ④ 1 2 1 2 1 2 ； (x x )2 (x x )2 4x x ⑤ 1 2 1 2 1 2； (x k)(x k)  x x k(x x )k2 ⑥ 1 2 1 2 1 2 ； |x x | (x x )2  (x x )2 4x x ⑦ 1 2 1 2 1 2 1 2 ； 1 1 x2 x2 (x x )2 2x x   1 2  1 2 1 2 x2 x2 x2x2 (x x )2 ⑧ 1 2 1 2 1 2 ； x x  (x x )2  (x x )2 4x x ⑨ 1 2 1 2 1 2 1 2 ； | x || x | (| x || x |)2  x2  x2+2| x x |  (x x )2 2x x 2|x x | ⑩ 1 2 1 2 1 2 1  2 1 2 1 2 1  2 ． 题型4：已知一根求另一根或字母的值 4.关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ） A．－3 B．－6 C．3 D．6 【变式4-1】若 3+√7 是方程 x2−6x+c=0 的一个根，求方程的另一个根及c的值. 【变式4-2】若关于x的一元二次方程x2－bx＋3＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一根. 题型5：利用根与系数的关系构造方程 5.如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x =3，x =1 ，那么这个一元二次 1 2 方程是（ ） A．x2+3x+4=0 B．x2+4x−3=0 C．x2−4x+3=0 D．x2+3x−4=0 【变式5-1】若x+x =3，x2+x 2=5，则以x、x 为根的一元二次方程是（ ） 1 2 1 2 1 2 A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0 题型6：求涉根代数式的值 6.若一元二次方程 x2−2x=1 的两个实数根分别为 x ， x ，求 (x −1)(x −1) 的值. 1 2 1 2【变式6-1】已知x，x 是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 1 2 （1）（x+1）（x+1）； 1 2 （2）x2+x 2． 1 2 【变式6-2】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x、x 方程的两个实数根，请你为m选取一个合适的整数，求x2+x2+x x 的值． 1 2 1 2 1 2 题型7：根与系数的关系与三角形综合 7.一个三角形的两边为方程 2x2−kx+8=0 的两根，第三边长为4，则k的范围是（ ） A．−8√20 ）是“差根方程”，请探索a与b之 间的数量关系式. 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ） 3 3 A．1 B．﹣1 C． D．− 2 2 2．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（ ） A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6 3．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x、x，则x＋x 等于( ) 1 2 1 2 A．5 B．6 C．－5 D．－6 1 1 4．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足 + =1，则m α β 的值为（ ） A．﹣3 B．1 C．﹣3 或1 D．2 b a 5．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则 + ＝（ ） a bA．﹣6 B．2 C．16 D．16或2 6．已知x、x 是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则x+x 等于（ ） 1 2 1 2 A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 二、填空题 7．二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是1 −√3 和1 +√3 ，那么这个方程是 ． 8．已知一元二次方程x2 －5x－1=0的两根为x，x，则x+x = ． 1 2 1 2 9．已知方程 x2+2x-1=0 的两根分别为 x，x，则 x+x = . 1 2 1 2 1 1 10．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则 + 的值是 a b ． 11．方程 x2+2x−3=0 的两根为 x 、 x 则 x ⋅x 的值为 . 1 2 1 2 三、解答题 12．已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值． 13．已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x、x，不解方程求： 1 2 （1）x2+x 2的值； 1 2 （2）(x-2)(x-2) 的值 1 2 四、综合题 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x，x，且xx+x +x =15，求m的值． 1 2 1 2 1 215．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+k−1=0 ． （1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数 k 的取值范围； （2）已知 x=3 是此方程的一个根，求方程的另一个根及 k 的值．